2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 解析幾何 第5講 橢圓課時(shí)作業(yè) 理 1．從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 2．橢圓＋＝1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 3．點(diǎn)P在橢圓＋＝1(a＞b＞0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 4．(2016年新課標(biāo)Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 5．(2016年湖南常德模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OB的垂直平分線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)直線PA，PB，PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，k3，k4，若k1·k2＝－，則k3·k4＝(　　) A. B．－ C．－ D．－4 6．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2＝________. 7．(2016年江蘇)如圖X7­5­1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0) 的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________． 圖X7­5­1 8．(2015年陜西)如圖X7­5­2，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. 圖X7­5­2 9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4且過點(diǎn)(，－2)． (1)求橢圓C的方程； (2)過橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求·的取值范圍． 第5講　橢　圓 1．C　解析：左焦點(diǎn)為F1(－c,0)，PF1⊥x軸． 當(dāng)x＝－c時(shí)，＋＝1?y＝b2＝?yP＝(負(fù)值不合題意，已舍去)，點(diǎn)P. 由斜率公式，得kAB＝－，kOP＝－. ∵AB∥OP，∴kAB＝kOP?－＝－?b＝c. ∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝?e＝＝. 2．C　解析：方法一， ①2－②，得|PF1|·|PF2|＝48. 則＝×48＝24. 方法二，利用公式＝b2tan ，得 ＝b2tan ＝24×tan 45°＝24.故選C. 3．A　解析：設(shè)|PF1|＝m＜|PF2|，則由橢圓的定義可得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－m，而|F1F2|＝2c.因?yàn)椤鱂1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，所以2|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|，即2(2a－m)＝m＋2c. 解得m＝(4a－2c)．即|PF1|＝(4a－2c)． 所以|PF2|＝2a－(4a－2c)＝(2a＋2c)． 又∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2＋2＝(2c)2. 整理，得5a2－2ac－7c2＝0， 解得a＝c或a＝－c(舍去)．故e＝＝. 4．A　解析：方法一，設(shè)點(diǎn)M(－c，y0)，OE的中點(diǎn)為N， 則直線AM的斜率k＝. 從而直線AM的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝. 同理，OE的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN＝. ∵2yN＝y(tǒng)E，∴＝.∴a＝3c. ∴e＝＝. 方法二，如圖D133，設(shè)OE的中點(diǎn)為N，由題意知 |AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a. 圖D133 ∵PF∥y軸， ∴＝＝，＝＝. 又＝，即＝. ∴a＝3c.故e＝＝. 5．C　解析：設(shè)P(m，n)，A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，由于線段OB的垂直平分線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，因此m＝.若k1·k2＝－，則·＝－.解得n＝a，即P.代入橢圓方程，可得＋·＝1，即a＝2b，則c＝＝b，則k3·k4＝·＝＝－. 6．2　120°　解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝.∴|F1F2|＝2 .又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－.∴∠F1PF2＝120°. 7.　解析：由題意，得B，C，·＝0，因此·＝0，即c2－2＋2＝0?3c2＝2a2?e＝. 8．(1)解：由題設(shè)知，＝，b＝1. 結(jié)合a2＝b2＋c2，解得a＝. 所以橢圓的方程為＋y2＝1. (2)證明：由題設(shè)知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0. 由已知得Δ＞0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 從而直線AP，AQ的斜率之和為 kAP＋kAQ＝＋ ＝＋ ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k－2(k－1)＝2. 9．解：(1)因?yàn)闄E圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－2)，(0,2)． 則2a＝＋＝4 . 解得a＝2 .又由b2＝a2－c2，得b＝2. 所以橢圓C的方程是＋＝1. (2)若直線l垂直于x軸， 則點(diǎn)E(0,2 )，F(xiàn)(0，－2 )． 則·＝－8. 若直線l不垂直于x軸，不妨設(shè)其方程為y＝kx＋2，點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)． 將直線l的方程代入橢圓C的方程得到： (2＋k2)x2＋4kx－4＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8. 因?yàn)?<≤10，所以－8<·≤2. 所以·的取值范圍是(－8,2]．