廣西柳州市2022年中考數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練06 分類討論思想1.xx·聊城如圖ZT6-1是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA,PB,那么使ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()圖ZT6-1A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)2.xx·義烏如圖ZT6-2,AOB=45°,點(diǎn)M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn),若使P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè),則x的值是. 圖ZT6-23.xx·齊齊哈爾如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形,用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是. 圖ZT6-34.xx·綏化在等腰三角形ABC中,ADBC交直線BC于點(diǎn)D,若AD=BC,則ABC的頂角的度數(shù)為. 5.xx·安徽矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿足PBEDBC,若APD是等腰三角形,則PE的長(zhǎng)為. 6.xx·眉山如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知A(3,0),且M1,-是拋物線上一點(diǎn).圖ZT6-4 (1)求a,b的值;(2)連接AC,設(shè)點(diǎn)P是y軸上任一點(diǎn),若以P,A,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(不與O,A重合),過(guò)點(diǎn)N作NHAC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H.設(shè)ON=t,ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.7.xx·煙臺(tái)如圖ZT6-5,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E.圖ZT6-5 (1)求拋物線的表達(dá)式.(2)如圖ZT6-5,點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G,作PHEO,垂足為H.設(shè)PH的長(zhǎng)為l,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值.(3)如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以M,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.8.從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.圖ZT6-6 (1)如圖ZT6-6,在ABC中,CD為角平分線,A=40°,B=60°,求證:CD為ABC的完美分割線.(2)在ABC中,A=48°,CD是ABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求ACB的度數(shù).(3)如圖,ABC中,AC=2,BC=,CD是ABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng).參考答案1.B解析 由圖可知,矩形的長(zhǎng)是寬的2倍,以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有2個(gè),以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有1個(gè),滿足條件的有3個(gè).2.0或4-4或4<x<43.10或4或2解析 AB=AC=10,BC=12,底邊BC上的高是AD,ADB=ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,AD=8.用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形,可以分三種情況:(1)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是10.(2)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是=4.(3)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是=2.綜上所述,這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是10或4或2.4.30°或90°或150°解析 應(yīng)分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖,AD=BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°(2)若角A不是頂角,當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí),如圖,則在ACD中,AD=BC=AC,所以頂角為30°若三角形是鈍角三角形,如圖,則ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°.5.3或解析 由題意知,點(diǎn)P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點(diǎn)P在AD的垂直平分線上,故點(diǎn)P為BD的中點(diǎn),PEBC,故PECD,故PE=DC=3;(2)如圖所示,若DA=DP,則DP=8,在RtBCD中,BD=10,BP=BD-DP=2.PBEDBC,=,PE=CD=.綜上所述,PE的長(zhǎng)為3或.6.解:(1)由題意,得解得(2)由(1)得,拋物線的關(guān)系式為y=x2-x-2,當(dāng)x=0時(shí),y=-2,C(0,-2).以P,A,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,分三種情況:若AC=AP(如圖),由AOCP,得OP=OC=2,P1(0,2);若CA=CP(如圖),AC=,P2(0,-2+),P3(0,-2-);若AP=PC(如圖),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,(m+2)2=m2+32,解得m=,P40,.綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有4個(gè),坐標(biāo)分別為P1(0,2),P2(0,-2+),P3(0,-2-),P40,.(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,拋物線y=x2-x-2的對(duì)稱軸為直線x=1,D(1,0).又tanOAC=,=,DE=.NHAC,DHNDEA,=,即=,DH=|t-1|.分兩種情況:當(dāng)0<t<1時(shí)(如圖),S=·t·(1-t)=-t2+t;當(dāng)1<t<3時(shí)(如圖),S=·t·(t-1)=t2-t.綜上所述,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=7.解:(1)將x=0代入拋物線的解析式,得y=2.C(0,2).四邊形OBDC為矩形,OB=CD=1.B(1,0).又AB=4,A(-3,0).設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1).將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得-3a=2,解得a=-,拋物線的解析式為y=-x2-x+2.(2)點(diǎn)E在CD上,yE=2.將y=2代入拋物線的解析式,得-x2-x+2=2,解得x=0或x=-2.E(-2,2).EC=OC=2,COE=45°.PGy軸,PGH=COE=45°.又PHOE,PH=PG.設(shè)直線OE的解析式為y=kx,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入,得-2k=2,解得k=-1.直線OE的解析式為y=-x.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,-m2-m+2,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,-m).PG=-m2-m+2+m=-m2-m+2.l=×-m2-m+2=-m2-m+=-m+2+.l的最大值為.(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=-1.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1,n),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知=,解得x=-2.將x=-2代入拋物線的解析式得y=2.M(-2,2).當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知=,解得x=2.將x=2代入拋物線的解析式得y=-×4-×2+2=-.M2,-.當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知=,解得x=-4.將x=-4代入拋物線的解析式得y=-.M-4,-.綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,2)或2,-或-4,-.8.解:(1)證明:A=40°,B=60°,ACB=80°,ABC不是等腰三角形,CD平分ACB,ACD=BCD=ACB=40°,ACD=A=40°,ACD為等腰三角形,DCB=A=40°,CBD=ABC,BCDBAC,CD是ABC的完美分割線.(2)當(dāng)AD=CD時(shí),如圖,ACD=A=48°,BDCBCA,BCD=A=48°,ACB=ACD+BCD=96°.當(dāng)AD=AC時(shí),如圖,ACD=ADC=66°,BDCBCA,BCD=A=48°,ACB=ACD+BCD=114°.當(dāng)AC=CD時(shí),如圖,ADC=A=48°,BDCBCA,BCD=A=48°,ADC>BCD,矛盾,舍去.ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,BCDBAC,=,設(shè)BD=x,()2=x(x+2),x>0,x=-1,BCDBAC,=,CD=×2=-.