江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 2.2 大題考法平行與垂直講義（含解析）題型(一)線線、線面位置關(guān)系的證明平行、垂直關(guān)系的證明是高考的必考內(nèi)容，主要考查線面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.方法技巧立體幾何證明問題的2個(gè)注意點(diǎn)(1)證明立體幾何問題的主要方法是定理法，解題時(shí)必須按照定理成立的條件進(jìn)行推理如線面平行的判定定理中要求其中一條直線在平面內(nèi)，另一條直線必須說明它在平面外；線面垂直的判定定理中要求平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線等，如果定理的條件不完整，則結(jié)論不一定正確(2)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，因此需要多畫出一些圖形輔助使用演練沖關(guān)1.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在四棱錐P­ABCD中，ADB90°，CBCD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)(1)若PBPD，求證：PCBD；(2)求證：CE平面PAD.證明：(1)取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)CO，PO，因?yàn)镃DCB，所以BDCO.因?yàn)镻BPD，所以BDPO.又POCOO，所以BD平面PCO.因?yàn)镻C平面PCO，所以PCBD.(2)由E為PB中點(diǎn)，連結(jié)EO，則EOPD，又EO平面PAD，PD平面PAD，所以EO平面PAD.由ADB90°，以及BDCO，所以COAD，又CO平面PAD，所以CO平面PAD.又COEOO，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面PAD.2(2018·蘇州模擬)在如圖所示的空間幾何體ABCDPE中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PAAD4，EB2.(1)若點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，求證：AQ平面PCD；(2)證明：BD平面PEC.證明：(1)因?yàn)镻AAD，Q是PD的中點(diǎn)，所以AQPD.又PA平面ABCD，所以CDPA.又CDDA，PADAA，所以CD平面ADP.又因?yàn)锳Q平面ADP，所以CDAQ，又PDCDD，所以AQ平面PCD.(2)如圖，取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)N，連結(jié)MN，ME，在PAC中，易知MNPA，MNPA，又PAEB，EBPA，所以MNEB，MNEB，所以四邊形BEMN是平行四邊形，所以EMBN.又EM平面PEC，BN平面PEC，所以BN平面PEC，即BD平面PEC.題型(二)兩平面之間位置關(guān)系的證明考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本質(zhì)是考查線面垂直和平行. 典例感悟例2(2018·南京模擬)如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，M為線段PB的中點(diǎn)，N為線段BC的中點(diǎn)求證：(1)平面MON平面PAC；(2)平面PBC平面MON.證明(1)因?yàn)镸，O，N分別是PB，AB，BC的中點(diǎn)，所以MOPA，NOAC，又MONOO，PAACA，所以平面MON平面PAC.(2)因?yàn)镻A平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.由(1)知，MOPA，所以MOBC.連結(jié)OC，則OCOB，因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)NBC.又MOONO，MO平面MON，ON平面MON，所以BC平面MON.又BC平面PBC，所以平面PBC平面MON.方法技巧證明兩平面位置關(guān)系的求解思路(1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決. 演練沖關(guān)(2018·江蘇高考)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明：(1)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B.因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.因?yàn)锳1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.題型(三)空間位置關(guān)系的綜合問題主要考查空間線面、面面平行或垂直的位置關(guān)系的證明與翻折或存在性問題相結(jié)合的綜合問題.典例感悟例3如圖1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1­ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)證明：BE平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：四邊形ABCD為矩形且ADDEECBC2，AEBE2.又AB4，AE2BE2AB2，AEB90°，即BEAE.又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)，理由如下：取D1E的中點(diǎn)L，連接FL，AL，F(xiàn)LEC，F(xiàn)LEC1.又ECAB，F(xiàn)LAB，且FLAB，M，F(xiàn)，L，A四點(diǎn)共面若MF平面AD1E，則MFAL.四邊形AMFL為平行四邊形，AMFLAB，即.方法技巧與平行、垂直有關(guān)的存在性問題的解題步驟演練沖關(guān)(2018·全國(guó)卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90°.以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQDA，求三棱錐Q­ABP的體積解：(1)證明：由已知可得，BAC90°，即BAAC.又因?yàn)锽AAD，ACADA，所以AB平面ACD.因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如圖，過點(diǎn)Q作QEAC，垂足為E，則QE綊DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐Q­ABP的體積為VQ­ABP×SABP×QE××3×2sin 45°×11.課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練A組大題保分練1.如圖，在三棱錐V­ABC中，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，平面VAB平面ABC，VAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ACBC且ACBC.(1)求證：VB平面MOC；(2)求線段VC的長(zhǎng)解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以MOVB.又MO平面MOC，VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，ACBC，AB2，所以O(shè)CAB，且CO1.連結(jié)VO，因?yàn)閂AB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以VO.又平面VAB平面ABC，OCAB，平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，所以O(shè)C平面VAB，所以O(shè)CVO，所以VC2.2(2018·南通二調(diào))如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACBC，A1B與AB1交于點(diǎn)D，A1C與AC1交于點(diǎn)E. 求證：(1)DE平面B1BCC1；(2)平面A1BC平面A1ACC1.證明：(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，四邊形A1ACC1為平行四邊形又E為A1C與AC1的交點(diǎn)， 所以E為A1C的中點(diǎn). 同理，D為A1B的中點(diǎn)，所以DEBC. 又BC平面B1BCC1，DE平面B1BCC1，所以DE平面B1BCC1. (2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1平面ABC，又BC平面ABC，所以AA1BC.又ACBC，ACAA1A，AC平面A1ACC1，AA1平面A1ACC1，所以BC平面A1ACC1.因?yàn)锽C平面A1BC，所以平面A1BC平面A1ACC1.3.如圖，在三棱錐A­BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點(diǎn)，且BD平面AEF.(1)求證：EF平面ABD；(2)若BDCD，AE平面BCD，求證：平面AEF平面ACD.證明：(1)因?yàn)锽D平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF.因?yàn)锽D平面ABD，EF平面ABD，所以 EF平面ABD.(2)因?yàn)锳E平面BCD，CD平面BCD，所以AECD.因?yàn)锽DCD，BDEF，所以 CDEF，又AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF.又CD平面ACD，所以平面AEF平面ACD.4(2018·無錫期末)如圖，ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.求證：(1)AC平面BDE；(2)AC平面BEF.證明：(1)因?yàn)镈E平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD，因?yàn)镈E平面BDE，BD平面BDE，且DEBDD，所以AC平面BDE.(2)設(shè)ACBDO，取BE中點(diǎn)G，連結(jié)FG，OG，易知OGDE且OGDE.因?yàn)锳FDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，從而四邊形AFGO是平行四邊形，所以FGAO.因?yàn)镕G平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.B組大題增分練1(2018·鹽城三模)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分別是棱A1D1，D1C1的中點(diǎn)求證：(1)AC平面DMN；(2)平面DMN平面BB1D1D.證明：(1)連結(jié)A1C1，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，因?yàn)锳A1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1AC.又M，N分別是棱A1D1，D1C1的中點(diǎn)，所以MNA1C1，所以ACMN.又AC平面DMN，MN平面DMN，所以AC平面DMN.(2)因?yàn)樗睦庵鵄BCD­A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1平面A1B1C1D1，而MN平面A1B1C1D1，所以MNDD1.又因?yàn)槔庵牡酌鍭BCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形，所以A1C1B1D1，而MNA1C1，所以MNB1D1.又MNDD1，DD1平面BB1D1D，B1D1平面BB1D1D，且DD1B1D1D1，所以MN平面BB1D1D.而MN平面DMN，所以平面DMN平面BB1D1D.2.如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ABBC，ABBC1，DC2，點(diǎn)E在PB上(1)求證：平面AEC平面PAD；(2)當(dāng)PD平面AEC時(shí)，求PEEB的值解：(1)證明：在平面ABCD中，過A作AFDC于F，則CFDFAF1，DACDAFFAC45°45°90°，即ACDA.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，ACPA.PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA，AC平面PAD.又AC平面AEC，平面AEC平面PAD.(2)連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO.PD平面AEC，PD平面PBD，平面PBD平面AECEO，PDEO，則PEEBDOOB.又DOCBOA，DOOBDCAB21，PEEB的值為2.3.(2018·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知ABAC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上(均異于端點(diǎn))，且ABEACF，AEBB1，AFCC1.求證：(1)平面AEF平面BB1C1C；(2)BC平面AEF.證明：(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1CC1.因?yàn)锳FCC1，所以AFBB1.又AEBB1，AEAFA，AE平面AEF，AF平面AEF，所以BB1平面AEF.又因?yàn)锽B1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C.(2)因?yàn)锳EBB1，AFCC1，ABEACF，ABAC，所以RtAEBRtAFC.所以BECF.又BECF，所以四邊形BEFC是平行四邊形從而BCEF.又BC平面AEF，EF平面AEF，所以BC平面AEF.4(2018·常州期末)如圖，四棱錐P­ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC平面ABCD，PBPD，點(diǎn)Q是棱PC上異于P，C的一點(diǎn)(1)求證：BDAC；(2)過點(diǎn)Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點(diǎn)F在棱PB上)，求證：QFBC.證明：(1)因?yàn)镻C平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPC.記AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，則O為BD的中點(diǎn)在PBD中，PBPD，所以BDOP.又PCOPP，PC平面PAC，OP平面PAC.所以BD平面PAC，又AC平面PAC，所以BDAC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ADBC.又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又AD平面ADQF，平面ADQF平面PBCQF，所以ADQF，所以QFBC.