江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 二項式定理與數(shù)學(xué)歸納法（理）8.2 數(shù)學(xué)歸納法達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）1(2018·南通三模)已知函數(shù)f0(x)(a0，bcad0)設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，nN*.(1)求f1(x)，f2(x)；(2)猜想fn(x)的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論解：(1)f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x).(2)猜想fn(x)，nN*.證明：當(dāng)n1時，由(1)知結(jié)論成立，假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時結(jié)論成立，即有fk(x).當(dāng)nk1時，fk1(x)fk(x)(1)k1·ak1·(bcad)·k！(axb)(k1).所以當(dāng)nk1時結(jié)論成立由得，對一切nN*結(jié)論都成立2(2018·鎮(zhèn)江模擬)證明：對一切正整數(shù)n,5n2·3n11都能被8整除證明：(1)當(dāng)n1時，原式等于8，能被8整除；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，結(jié)論成立，即5k2·3k11能被8整除設(shè)5k2·3k118m，mN*，當(dāng)nk1時，5k12·3k15(5k2·3k11)4·3k145(5k2·3k11)4(3k11)，而當(dāng)k1，kN*時，3k11顯然為偶數(shù)，設(shè)為2t，tN*，故5k12·3k15(5k2·3k11)4(3k11)40m8t(m，tN*)，也能被8整除，故當(dāng)nk1時結(jié)論也成立；由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n,5n2·3n11都能被8整除3已知Sn1(n2，nN*)，求證：S2n1(n2，nN*)證明：(1)當(dāng)n2時，S2nS411，即n2時命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時命題成立，即S2k11，則當(dāng)nk1時，S2k111111，故當(dāng)nk1時，命題成立由(1)和(2)可知，對n2，nN*不等式S2n1都成立4(2018·常州期末)記(x1)···(n2且nN*)的展開式中含x項的系數(shù)為Sn，含x2項的系數(shù)為Tn.(1)求Sn；(2)若an2bnc，對n2,3,4成立，求實數(shù)a，b，c的值；(3)對(2)中的實數(shù)a，b，c，用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意n2且nN*，an2bnc都成立解：(1)因為(x1)···(1x)(12x)··(1nx)1(12n)xn！xn，所以Sn.(2)由題意及(1)可知，又an2bnc，則解得a，b，c.(3)證明：當(dāng)n2時，由(2)知等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且k2)時，等式成立，即k2k.當(dāng)nk1時，由f(x)(x1)···知Tk1SkTk，所以.又(k1)2(k1)上式，即等式(k1)2(k1)也成立綜上可得，對任意n2且nN*，都有an2bnc成立B組大題增分練1(2018·南通、泰州一調(diào))用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)xN*時，cos xcos 2xcos 3xcos nx(xR，且x2k，kZ)證明：當(dāng)n1時，等式右邊cos x等式左邊，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，即cos xcos 2xcos 3xcos kx.那么，當(dāng)nk1時，有cos xcos 2xcos 3xcos kxcos(k1)xcos(k1)xsin(k1)xcosxcos(k1)xsinx2sinxcos(k1)x÷2sinx，這就是說，當(dāng)nk1時等式也成立根據(jù)和可知，對任何nN*等式都成立2已知數(shù)列an共有3n(nN*)項，記f(n)a1a2a3n.對任意的kN*,1k3n，都有ak0,1，且對于給定的正整數(shù)p (p2)，f(n)是p的整數(shù)倍把滿足上述條件的數(shù)列an的個數(shù)記為Tn.(1)當(dāng)p2時，求T2的值；(2)當(dāng)p3時，求證：Tn8n2(1)n解：(1)由題意，當(dāng)n2時，數(shù)列an共有6項要使得f(2)是2的整數(shù)倍，則這6項中，只能有0項、2項、4項、6項取1，故T2CCCC2532. (2)證明：由題意及(1)的分析可知，當(dāng)p3時，TnCCCC .當(dāng)1kn，kN*時，CCCCCCC2CCC2(CC)CCCC3(CC)CC， 于是Tn1CCCCCC3(CCCCCC)TnCTnC2Tn3(23nTn)3×8nTn. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明Tn8n2(1)n當(dāng)n1時，T1CC2812(1)1，即n1時，命題成立假設(shè)nk (k1，kN*) 時，命題成立，即Tk8k2(1)k則當(dāng)nk1時，Tk13×8kTk3×8k8k2(1)k9×8k8k2(1)k8k12(1)k1，即nk1時，命題也成立于是當(dāng)nN*，有Tn8n2(1)n3(2018·揚(yáng)州調(diào)研)在數(shù)列an中，ancos(nN*)(1)試將an1表示為an的函數(shù)關(guān)系式；(2)若數(shù)列bn滿足bn1(nN*)，猜想an與bn的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1)ancoscos221，an2a1，an1± ，又nN*，n12，an1>0，an1 .(2)當(dāng)n1時，a1，b1121，a1>b1；當(dāng)n2時，a2，b21，a2b2；當(dāng)n3時，a3，b31，a3<b3.猜想：當(dāng)n3時，an<bn，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時，由上知，a3<b3，結(jié)論成立假設(shè)nk，k3，nN*時，ak<bk成立，即ak<1，則當(dāng)nk1，ak1 < ，bk11.要證ak1<bk1，即證2<2，即證1<12，即證2>0，即證2>0，顯然成立nk1時，結(jié)論也成立綜合可知：當(dāng)n3時，an<bn成立綜上可得：當(dāng)n1時，a1<b1；當(dāng)n2時，a2b2；當(dāng)n3，nN*時，an<bn.4(2018·南通二調(diào))設(shè)n2，nN*.有序數(shù)組(a1，a2，an)經(jīng)m次變換后得到數(shù)組(bm,1，bm,2，bm，n)，其中b1，iaiai1，bm，ibm1，ibm1，i1(i1,2，n)，an1a1，bm1，n1bm1,1(m2)例如：有序數(shù)組(1,2,3)經(jīng)1次變換后得到數(shù)組(12,23,31)，即(3,5,4)；經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組(8,9,7)(1)若aii(i1,2，n)，求b3,5的值；(2)求證：bm，iijC，其中i1,2，n.(注：當(dāng)ijknt時，kN*，t1,2，n，則aijat)解：(1)當(dāng)n2,3,4時，b3,5值不存在；當(dāng)n5時，依題意，有序數(shù)組為(1,2,3,4,5)經(jīng)1次變換為：(3,5,7,9,6)，經(jīng)2次變換為：(8,12,16,15,9)，經(jīng)3次變換為：(20,28,31,24,17)，所以b3,517；當(dāng)n6時，同理得b3,528；當(dāng)n7時，同理得b3,545；當(dāng)n8時，nN*時，依題意，有序數(shù)組為(1,2,3,4,5,6,7,8，n)經(jīng)1次變換為：(3,5,7,9,11,13,15，n1)，經(jīng)2次變換為：(8,12,16,20,24,28，n4)，經(jīng)3次變換為：(20,28,36,44,52，n12)，所以b3,552. (2)證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對mN*，bm，iijC，其中i1,2，n.當(dāng)m1時，b1，iaiai1ijC，其中i1，2，n，結(jié)論成立；假設(shè)mk(kN*)時，bk，iijC，其中i1，2，n. 則mk1時，bk1，ibk，ibk，i1ijCij1CijCijCaiCij(CC)aik1CaiCijCaik1CijC，所以結(jié)論對mk1時也成立由知，mN*，bm，iijC，其中i1,2，n.