江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個填空題強(qiáng)化練（六）解三角形（含解析）題型一正弦定理和余弦定理1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a4，b5，c6，則_.解析：由正弦定理得，由余弦定理得cos A，a4，b5，c6，2··cos A2××1.答案：12在銳角ABC中，AB3，AC4.若ABC的面積為3，則BC的長是_解析：因為SABCAB·ACsin A，所以3×3×4×sin A，所以sin A，因為ABC是銳角三角形，所以A60°，由余弦定理得，BC2AB2AC22AB·ACcos A，解得BC.答案：3已知在ABC中，A120°，AB，角B的平分線BD，則BC_.解析：在ABD中，由正弦定理得，sinADB，ADB45°，ABD15°，ABC30°，ACB30°，ACAB.在ABC中，由余弦定理得BC .答案：4在斜三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若，則的最大值為_解析：由可得，即，即，sin2Csin Asin Bcos C.根據(jù)正弦定理及余弦定理可得，c2ab·，整理得a2b23c2.，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立答案：臨門一腳1正弦定理的應(yīng)用：(1)已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角2利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知三邊，求三個角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角3要注意運用a>bA>Bsin A>sin B對所求角的限制，控制解的個數(shù)4對邊、角混合的問題的處理辦法一般是實施邊、角統(tǒng)一，而正弦定理、余弦定理在實施邊和角相互轉(zhuǎn)化時有重要作用，如果邊是一次式，一般用正弦定理轉(zhuǎn)化，如果邊是二次式，一般用余弦定理5對“銳角三角形”的概念要充分應(yīng)用，必須三個角都是銳角的三角形才是銳角三角形，防止角范圍的擴(kuò)大題型二解三角形的實際應(yīng)用1.如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，則A、B兩點的距離為_m.解析：B180°ACBCAB30°，由正弦定理得，AB50(m)答案：502.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD的大小是_解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD中，由余弦定理得cosCAD，CAD45°.答案：45°3.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米解析：依題意得OD100米，CD150米，連接OC，易知ODC180°AOB60°，因此由余弦定理有OC2OD2CD22OD·CD·cosODC，即OC2100215022×100×150×17 500，OC50(米)答案：50臨門一腳1理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等2測量問題和追擊問題關(guān)鍵是構(gòu)建三角形，利用正余弦定理研究3幾何圖形中長度和面積的最值問題的研究關(guān)鍵是選好參數(shù)(邊、角或者建立坐標(biāo)系)，構(gòu)建函數(shù)來研究，不要忽視定義域的研究B組高考提速練1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a，b1，c2，則A等于_解析：cos A，又0°<A<180°，A60°.答案：60°2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a18，b24，A45°，則此三角形有_個解析：，sin Bsin Asin 45°，sin B.又a<b，B有兩個答案：23在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a5，b2，C30°，則c_.解析：由余弦定理得c2a2b22abcos C52(2)22×5×2cos 30°7，所以c.答案：4.如圖，一艘船上午8：00在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8：30到達(dá)B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距4 n mile，則此船的航行速度是_n mile/h.解析：在ABS中，由正弦定理，有，AB8，故此船的航行速度是8÷16(n mile/h)答案：165在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B45°，C60°，c2，則最短邊的邊長等于_解析：可知A75°，角B最小，所以b邊最小，由正弦定理，得，解得b.答案：6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，則角A的大小為_解析：由sin Bcos B，得sin1，所以B，B，由正弦定理，得sin A.又因為b>a，所以B>A，所以A.答案：7在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若a2c23b，且sin B8cos Asin C，則邊b_.解析：由sin B8cos Asin C及正、余弦定理，知b8c·，整理得a2b2c2，與a2c23b聯(lián)立解得b4.答案：48.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高度是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 67°0.92，cos 67°0.39，sin 37°0.60，cos 37°0.80，1.73)解析：過A作BC邊上的高AD，D為垂足在RtACD中，AC92，在ABC中，由正弦定理，得BC×sinBAC×sin 37°×0.6060(m)答案：609在ABC中，已知AB，C，則·的最大值為_解析：因為AB，C，設(shè)角A，B，C所對的邊為a，b，c，所以由余弦定理得3a2b22abcosa2b2abab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，又·abcos Cab，所以當(dāng)ab時，(·)max.答案：10在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為S，且2S(ab)2c2，則tan C_.解析：因為2S(ab)2c2a2b2c22ab，由面積公式與余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)答案：11在銳角三角形ABC中，A2B，B，C的對邊長分別是b，c，則的取值范圍是_解析：A2B<，AB3B>，所以<B<.在ABC中，sin Csin(AB)sin 3B，由正弦定理可得.又<cos B<，所以的取值范圍是.答案：12在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2，bc1，ABC的面積為，則·_.解析：以BC為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因為a2，所以B(1,0)，C(1,0)，設(shè)A(x，y)，又ACAB1<BC，所以點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支上又ABC的面積為，所以×2×yA，即yA，又雙曲線方程為1，代入可得xA，所以··13.答案：13在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a23b23c22bcsin A，則C_.解析：因為a23b23c22bcsin Ab2c22bccos A，所以sin Acos A2sin.又22(當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號)，2sin2，當(dāng)且僅當(dāng)A時取等號，故2sin2，所以bc，A，故C.答案：14在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ABC為銳角三角形，且滿足b2a2ac，則的取值范圍是_解析：由余弦定理得b2a2(a2c22accos B)(b2c22bccos A)a2b22c(bcos Aacos B)，即b2a2c(bcos Aacos B)acbcos Aacos Basin(BA)sin AB2A.又ABC為銳角三角形，所以<B<.則.答案：