江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（八）不等式（含解析）題型一一元二次不等式1已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)<0的解集為，則f(ex)>0(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集是_解析：法一：依題意可得f(x)a(x3)(a<0)，則f(ex)a(ex3)(a<0)，由f(ex)a(ex3)>0可得<ex<3，解得ln 2<x<ln 3.法二：由題知，f(x)>0的解集為，令<ex<3，得ln 2<x<ln 3.答案：x|ln 2<x<ln 32已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)>3的解集為_(kāi)解析：當(dāng)x>0時(shí)，2x1>3，解得x>2，當(dāng)x0時(shí)，x24x>3，即x24x3<0，解得3<x<1，所以所求不等式的解集為x|x>2或3<x<1答案：x|x>2或3<x<13(2018·鎮(zhèn)江高三期末)已知函數(shù)f(x)x2kx4，對(duì)任意的x1,3，不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為_(kāi)解析：由題意得x2kx40對(duì)任意的x1,3恒成立，所以kx對(duì)任意的x1,3恒成立，因?yàn)閤4(當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號(hào))，所以k4，故實(shí)數(shù)k的最大值為4.答案：44已知函數(shù)f(x)則關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2x)的解集是_解析：由x20，得f(x2)x21，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為f(2x)<x21，則當(dāng)2x0，即x2時(shí)，由(2x)1<x21，得2<x<1，所以2<x<1；當(dāng)2x<0，即x>2時(shí)，由(2x)21<x21，得x.綜上得，關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2x)的解集是x|2<x<1答案：x|2<x<1臨門(mén)一腳1一元二次不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)2不等式(xa)(xb)<0(a<b)的解集是(a，b)；不等式(xa)(xb)>0(a<b)的解集是(，a)(b，)3對(duì)于含參數(shù)的不等式ax2bxc<0的求解，應(yīng)注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論的常見(jiàn)情況有：(1)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)(包含是否為0)；(2)計(jì)算判別式，判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況：若有兩根，則需要比較兩根的大小題型二基本不等式1若x>1，則x的最小值為_(kāi)解析：由x>1，得x1>0，則xx11415.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時(shí)等號(hào)成立故x的最小值為5.答案：52已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為_(kāi)解析：由0<x<1，故33x>0，則x(33x)×3x(33x)×，當(dāng)且僅當(dāng)3x33x，即x時(shí)等號(hào)成立答案：3已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足5，則ab的最小值為_(kāi)解析：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿(mǎn)足5，所以52，可化為()2560，解得6，即ab36，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b18時(shí)取等號(hào)即ab的最小值為36.答案：364已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x24y2x2y24xy，則的最小值為_(kāi)解析：由題意得(x2y)2(x2y)20，且x>0，y>0，所以0<x2y1，所以·1·(x2y)332，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值32.答案：325(2018·南京高三模擬)若正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)解析：由正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，知2bac，則，令5acm,2a4cn，m>0，n>0，則a，c，故，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.答案：臨門(mén)一腳1利用基本不等式時(shí)，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都是正數(shù)；“定”，即不等式另一邊為定值；“等”，即當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)2利用基本不等式時(shí)，要注意“積定和最大，和定積最小”這一口訣，并且適當(dāng)運(yùn)用拆、拼、湊等技巧，但應(yīng)該注意，一般不要出現(xiàn)兩次不等號(hào)，若出現(xiàn)，則要看兩次等號(hào)成立的條件是否同時(shí)成立3利用基本不等式解決二元多項(xiàng)式之間的大小關(guān)系，符合極值定理時(shí)，才能夠求最值4求一元函數(shù)最值時(shí)如等號(hào)取不到時(shí)，要借助函數(shù)圖象，利用函數(shù)單調(diào)性求解最值題型三簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題1已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為_(kāi)解析：根據(jù)題意，畫(huà)出可行域如圖所示，易知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zxy經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4)時(shí)，取得最小值3.答案：32(2018·南京高三模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則的取值范圍為_(kāi)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中點(diǎn)A(1,2)，B(5,2)，C.表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)O連線(xiàn)的斜率連接OA，OC，則kOA2，kOC，結(jié)合圖形可知的取值范圍是.答案：3設(shè)不等式表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線(xiàn)l：ykx2上存在M內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示因?yàn)橹本€(xiàn)l：ykx2的圖象過(guò)定點(diǎn)A(0，2)，且斜率為k，由圖知，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,3)時(shí)，k取最大值5，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C(2,2)時(shí)，k取最小值2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,5答案：2,54已知約束條件表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若區(qū)域D內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在函數(shù)yex的圖象上，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：由題意作出約束條件表示的平面區(qū)域及函數(shù)yex的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象知，當(dāng)x1時(shí)，ye，把點(diǎn)(1，e)代入axy0，則ae.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為e，)答案：e，)臨門(mén)一腳1簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題解題步驟：一畫(huà)二移三算四答，充分挖掘目標(biāo)對(duì)象的幾何意義，通常與直線(xiàn)的縱截距、斜率，圓的半徑或半徑的平方有關(guān)2畫(huà)可行域要特別注意邊界能否取到，當(dāng)區(qū)域不包含邊界時(shí)，取值范圍中等號(hào)取不到，如果忽視這一點(diǎn)，容易在等號(hào)上出錯(cuò)B組高考提速練1不等式<2的解集為_(kāi)解析：<2，2<0，即<0，<0等價(jià)于x(x1)0，解得x0或x1，不等式<2的解集為x|x0或x1答案：x|x0或x12若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則z3x2y的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由z3x2y得yxz，平移直線(xiàn)yxz，由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)yxz的截距最大，此時(shí)z最大由解得A(1,2)，代入目標(biāo)函數(shù)z3x2y，得z3×12×27.即目標(biāo)函數(shù)z3x2y的最大值為7.答案：73已知函數(shù)f(x)4x(x0，a0)在x2時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)a_.解析：當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)4x有最小值，由基本不等式知取等號(hào)的條件為4x，即4×2，得a16.答案：164函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)開(kāi)解析：由題意得20，即0，從而0<lg x，故1<x，從而函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1， 答案：(1， 5若a，b均為大于1的正數(shù)，且ab100，則lg a·lg b的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)閍>1，b>1，所以lg a>0，lg b>0.lg a·lg b1.當(dāng)且僅當(dāng)ab10時(shí)取等號(hào)，故lg a·lg b的最大值為1.答案：16不等式x2ax4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)椴坏仁絰2ax4<0的解集不是空集，所以a24×4>0，即a2>16.所以a>4或a<4.答案：(，4)(4，)7若關(guān)于x的不等式ax26xa2<0的解集是(1，m)，則m的值為_(kāi)解析：根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程ax26xa20的一個(gè)根，即a2a60，解得a2或a3，當(dāng)a2時(shí)，不等式ax26xa2<0的解集是(1,2)，符合要求；當(dāng)a3時(shí)，不等式ax26xa2<0的解集是(，3)(1，)，不符合要求，舍去故m2.答案：28已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x22xy30，則2xy的最小值是_解析：因?yàn)閤22xy30，所以y，所以2xy2x2 3.當(dāng)且僅當(dāng)，即x1時(shí)取等號(hào)，故2xy的最小值為3.答案：39已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)1log2x，則不等式f(x)<0的解集是_解析：當(dāng)x<0時(shí)，f(x)f(x)log2(x)1，f(x)<0，即log2(x)1<0，得2<x<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)1log2x，f(x)<0，即1log2x<0，解得x>2.綜上所述，不等式f(x)<0的解集是(2,0)(2，)答案：(2,0)(2，)10已知點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，且mn，m，nR，則(m2)2(n2)2 的取值范圍是_解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，且mn，所以m，n滿(mǎn)足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示因?yàn)?m2)2(n2)2表示的是區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(m，n)到點(diǎn)A(2,2)的距離的平方因?yàn)辄c(diǎn)A到直線(xiàn)mn1的距離為，故2(m2)2(n2)2OA2，即(m2)2(n2)2的取值范圍是.答案：11若關(guān)于x的不等式(ax1)(ln xax)0在(0，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：(ax1)(ln xax)00或設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出它們的圖象如圖所示，由圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是e答案：e12已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿(mǎn)足：a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得 4a1，則的最小值為_(kāi)解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q，由a7a62a5，得q2q20，解得q2(q1，舍去)由4a1，即24，得2mn224，即mn6.故(mn)，當(dāng)且僅當(dāng)即m2，n4時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為.答案：13已知A，B，C是平面上任意三點(diǎn)，BCa，CAb，ABc，則y的最小值是_解析：y要取最小值，則a要最大，而a的最大值是bc，所以y ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即y的最小值是.答案：14在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a不是最大邊，已知a2b22bcsin A，則tan A9tan B的最小值為_(kāi)解析：由余弦定理，a2b2c22bccos A及a2b22bcsin A，得c22bccos A2bcsin A，即c2bcos A2bsin A，再由正弦定理，得sin C2sin Bcos A2sin Bsin A，即sin(AB)2sin Bcos A2sin Bsin A，即sin Acos Bcos Asin B2sin Asin B，所以tan Atan B2tan Atan B.所以tan B，由題意知tan A>0，所以2tan A1>0，所以tan A9tan Btan A(2tan A1)5252.當(dāng)且僅當(dāng)(2tan A1)，即tan A1時(shí)取“”故tan A9tan B的最小值為2.答案：2