江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 自主加餐的3大題型 14個填空題強化練（十二）橢圓、雙曲線和拋物線（含解析）題型一橢圓的定義及標準方程1設F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1PF243，則PF1F2的面積為_解析：因為PF1PF214，又PF1PF243，所以PF18，PF26.因為F1F210，所以PF1PF2.所以SPF1F2PF1·PF2×8×624.答案：242一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓方程為_解析：設橢圓的標準方程為1(a>b>0)由點(2，)在橢圓上，知1.又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則PF1PF22F1F2，即2×2c2a，又c2a2b2，聯(lián)立得a28，b26.故橢圓方程為1.答案：1臨門一腳1求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)如若不能確定焦點的位置，則兩種情況都要考慮，這一點一定要注意，不要遺漏，此時設所求的橢圓方程為一般形式：Ax2By21(A0，B0且AB)；若AB，則焦點在x軸上；若AB，則焦點在y軸上2橢圓的定義中一定滿足“PF1PF22a，且ac”，用橢圓的定義求解a，b，c有時比用方程簡便題型二橢圓的幾何性質(zhì)1橢圓1的離心率是_解析：根據(jù)題意知，a3，b2，則c，橢圓的離心率e.答案：2橢圓x2my21的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m_.解析：由題意可得， ，所以m4.答案：43已知圓C1：x22cxy20，圓C2：x22cxy20，橢圓C：1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范圍是_解析：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價于圓C2的右頂點(2c,0)，上頂點(c，c)在橢圓內(nèi)部，只需0<.答案：4已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為_解析：以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由原點到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以C的離心率e .答案：臨門一腳1弄清楚a，b，c，e的幾何意義，以及相關的點坐標、線的方程的表示2求解幾何性質(zhì)之前方程應先化為標準式，否則會混淆a，b.3離心率求解主要是根據(jù)幾何條件建立關于a，b，c的方程或不等式題型三雙曲線的定義及標準方程1F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1的左、右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且|PF1|8，則PF1F2的周長為_解析：由雙曲線的方程可知a3，b，所以c4，則|PF2|PF1|2a2，|F1F2|2c8，據(jù)此可知PF1F2的周長為82818.答案：182已知雙曲線經(jīng)過點(2，1)，其一條漸近線方程為yx，則該雙曲線的標準方程為_解析：設雙曲線的方程為y2(0)，則12，解得1，故雙曲線的標準方程為y21.答案：y213(2018·柳州模擬)設雙曲線1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|AF2|BF2|的最小值為_解析：|AF2|BF2|2a|AF1|2a|BF1|4a|AB|4a4×316.答案：164設雙曲線與橢圓1有共同的焦點，且與橢圓相交，其中一個交點的坐標為(，4)，則此雙曲線的標準方程是_解析：法一：橢圓1的焦點坐標是(0，±3)，設雙曲線方程為1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a|4，故a2.又b232a25，故所求雙曲線的方程為1.法二：橢圓1的焦點坐標是(0，±3)設雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則a2b29，又點(，4)在雙曲線上，所以1，聯(lián)立解得a24，b25.故所求雙曲線的方程為1.法三：設雙曲線的方程為1(27<<36)，由于雙曲線過點(，4)，故1，解得132，20，經(jīng)檢驗132，20都是分式方程的根，但0不符合題意，應舍去，所以32.故所求雙曲線的方程為1.答案：1臨門一腳1先確定焦點是在x軸上還是在y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為(0)，再根據(jù)條件求的值2雙曲線的定義運用時，首先要分清楚點在雙曲線的哪一支上或在兩支上，否則會出錯題型四雙曲線的幾何性質(zhì)1在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的離心率為_解析：由已知得，a，b，則c3，所以e.答案：2已知雙曲線1(a>0)的一條漸近線方程為y2x，則該雙曲線的焦距為_解析：由題意得，2，所以a，所以c5，所以該雙曲線的焦距為10.答案：103(2018·南京高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點到一條漸近線的距離為2a，則該雙曲線的離心率為_解析：由雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為2a得b2a，則該雙曲線的離心率e .答案：4已知F是雙曲線1(a0，b0)的左焦點，E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為_解析：由題意得E(a,0)，不妨設A，B，顯然ABE是等腰三角形，故當ABE是銳角三角形時，AEB90°，從而ac，化簡得c2ac2a20，即e2e20，解得1e2，又e1，故1e2.答案：(1,2) 臨門一腳1雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，二者之間可以互求根據(jù)漸近線方程求離心率時要注意有兩解2在解析幾何中，解決求范圍問題，一般可從以下幾個方面考慮：(1)與已知范圍聯(lián)系，通過求函數(shù)值域或解不等式來完成；(2)通過一元二次方程的根的判別式的符號建立不等關系；(3)利用點在曲線內(nèi)部建立不等式關系；(4)利用解析式的結構特點，如a2，|a|，等的非負性來完成范圍的求解題型五拋物線1在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y24x上一點P到焦點的距離為3，則點P的橫坐標是_解析：因為拋物線方程為y24x，所以焦點F(1,0)，準線l的方程為x1，設PAl，A為垂足，所以PFPAxP(1)3，所以點P的橫坐標是2.答案：22若點P到直線y1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是_解析：由題意可知點P到直線y3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y3為準線的拋物線，且p6，所以其標準方程為x212y.答案：x212y3一個頂點在原點，另外兩點在拋物線y22x上的正三角形的面積為_解析：如圖，根據(jù)對稱性：A，B關于x軸對稱，故AOx30°.直線OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐標為(6,2)，所以AB4.故正三角形OAB的面積為×4×612.答案：124在平面直角坐標系xOy中，拋物線y26x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足若直線AF的斜率k，則線段PF的長為_解析：拋物線方程為y26x，焦點F，準線l的方程為x.直線AF的斜率為，直線AF的方程為y，當x時，y3，由此可得A點坐標為.PAl，A為垂足，P點縱坐標為3，代入拋物線方程，得P點坐標為，PFPA6.答案：6臨門一腳1一次項的變量與焦點所在的坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即“對稱軸看一次項，符號決定開口方向”2拋物線標準方程形式要記清楚，求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置和開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程3求解幾何性質(zhì)時，首先要把方程化為標準方程，其次拋物線方程的p幾何意義要明確B組高考提速練1若雙曲線x21的離心率為，則實數(shù)m_.解析：由雙曲線的標準方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以e，解得m2.答案：22在矩形ABCD中，AB4，BC3，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的短軸的長為_解析：依題意得AC5，所以橢圓的焦距為2cAB4，長軸長2aACBC8，所以短軸長為2b224.答案：43拋物線y22px(p0)的準線截圓x2y22y10所得的弦長為2，則p_.解析：拋物線y22px(p0)的準線方程為x，而圓化成標準方程為x2(y1)22，圓心坐標為(0,1)，半徑為，圓心到準線的距離為，所以21()2，解得p2.答案：24已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓1(a>b>0)上的一點，若1·20，tanPF1F2，則此橢圓的離心率為_解析：因為1·20，tanPF1F2，所以12，sinPF1F2，cosPF1F2.所以PF1c，PF2c，則PF1PF2c2a，所以e.答案：5(2018·蘇北四市質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x2y0，則該雙曲線的離心率為_解析：由雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x2y0，得，則該雙曲線的離心率e.答案：6已知橢圓1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構成正三角形，則此橢圓的方程為_解析：由FMN為正三角形，得cOFMN×b1.解得b，a2b2c24.故橢圓的方程為1.答案：17已知雙曲線C：y21與直線l：xky40，若直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，則雙曲線C的右焦點到直線l的距離是_解析：由題意得，雙曲線C：y21的右焦點F(2,0)，其漸近線方程為y±x，又直線l：xky40與雙曲線C的一條漸近線平行，所以k±，所以直線l的方程為x±y40，所以雙曲線C的右焦點到直線l的距離d3.答案：38(2018·鎮(zhèn)江高三期末)已知雙曲線y21的左焦點與拋物線y212x的焦點重合，則雙曲線的右準線方程為_解析：由題意知雙曲線y21的左焦點為(3,0)，所以a28，因此雙曲線的右準線方程為x.答案：x9已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(5,4)，則橢圓的方程為_解析：設橢圓的方程為1(a>b>0)，將點P(5,4)代入得1.又離心率e，即e2，解得a245，b236，故橢圓的方程為1.答案：110已知拋物線x22py(p0)的焦點F是橢圓1(ab0)的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經(jīng)過焦點F，則該橢圓的離心率為_解析：設點P在第一象限，由題意，p2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入橢圓方程，可得1，整理可得e46e210，0e1，e1.答案：111.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點分別為A，B，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_解析：連結AF1，依題意得AF1AF2，AF2F130°，AF1c，AF2c，因此該雙曲線的離心率e1.答案：112.如圖，已知過橢圓1(a>b>0)的左頂點A(a,0)作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若AOP是等腰三角形，且2，則橢圓的離心率為_解析：法一：因為AOP是等腰三角形，所以OAOP，故A(a,0)，P(0，a)，又2，所以Q，由點Q在橢圓上得1，解得，故離心率e .法二：因為AOP是等腰三角形，所以OAOP，故直線AP的方程為yxa，與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(a2b2)x22a3xa2c20，從而(a)xQ，即xQ，又由A(a,0)，P(0，a)，2，得xQ，故，即5c24a2，e2，故e.答案：13(2018·南京四校聯(lián)考)已知右焦點為F的雙曲線的離心率為，過點F且與一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線交于點A，AF2，則該雙曲線的標準方程為_解析：法一：由e知，雙曲線的漸近線方程為y±x，不妨設直線l：yxc，聯(lián)立得解得A，AF2，解得c28，又由e知，a2b24，故雙曲線的標準方程為1.法二：由e知，雙曲線的漸近線方程為y±x，且兩條漸近線互相垂直，此時AF2ba，故雙曲線的標準方程為1.答案：114.如圖所示，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，離心率為，點P為橢圓在第一象限內(nèi)的一點若SPF1ASPF1F221，則直線PF1的斜率為_解析：連結AF2交PF1于點B.由SPF1ASPF1F221得.而A(0，b)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，所以由A，B，F(xiàn)2三點共線得B，kPF1.又因為離心率為，所以a2c，bc，故kPF1.答案：