江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 解析幾何 3.2 大題考法直線與圓講義（含解析）題型(一)直線與圓的位置關(guān)系 主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及復雜背景下直線、圓的方程.點B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC所在直線方程為x7y20.(2)因為RtABC斜邊中點為M(2,0)，所以M為RtABC外接圓的圓心又AM2，從而RtABC外接圓的方程為(x2)2y28.設(shè)P(a，b)，因為動圓P過點N，所以該圓的半徑r，圓方程為(xa)2(yb)2r2.由于P與M相交，則公共弦所在直線m的方程為(42a)x2bya2b2r240.因為公共弦長為4，M半徑為2，所以M(2,0)到m的距離d2，即2，化簡得b23a24a，所以r .當a0時，r最小值為2，此時b0，圓的方程為x2y24.方法技巧解決有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的問題的方法(1)直線與圓的方程求解通常用的待定系數(shù)法，由于直線方程和圓的方程均有不同形式，故要根據(jù)所給幾何條件靈活使用方程(2)對直線與直線的位置關(guān)系的相關(guān)問題要用好直線基本量之一斜率，要注意優(yōu)先考慮斜率不存在的情況(3)直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系在處理時幾何法優(yōu)先，有時也需要用代數(shù)法即解方程組演練沖關(guān)已知以點C(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點M，N，若OMON，求圓C的方程解：(1)證明：因為圓C過原點O，所以O(shè)C2t2.設(shè)圓C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOA·OB××|2t|4，即OAB的面積為定值(2)因為OMON，CMCN，所以O(shè)C垂直平分線段MN.因為kMN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d>.圓C與直線y2x4不相交，所以t2不符合題意，舍去所以圓C的方程為(x2)2(y1)25.題型(二)圓中的定點、定值問題主要考查動圓過定點的問題其本質(zhì)是含參方程恒有解，定值問題是引入?yún)?shù)，再利用其滿足的約束條件消去參數(shù)得定值.典例感悟例2已知圓C：x2y29，點A(5,0)，直線l：x2y0.(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2)在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標解(1)設(shè)所求直線方程為y2xb，即2xyb0.因為直線與圓C相切，所以3，解得b±3.所以所求直線方程為2xy±30.(2)法一：假設(shè)存在這樣的點B(t,0)當點P為圓C與x軸的左交點(3,0)時，；當點P為圓C與x軸的右交點(3,0)時，.依題意，解得t或t5(舍去)下面證明點B對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)設(shè)P(x，y)，則y29x2，所以.從而為常數(shù)法二：假設(shè)存在這樣的點B(t,0)，使得為常數(shù)，則PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290對x3,3恒成立，所以解得或(舍去)故存在點B對于圓C上任一點P，都有為常數(shù).方法技巧關(guān)于解決圓中的定點、定值問題的方法(1)與圓有關(guān)的定點問題最終可化為含有參數(shù)的動直線或動圓過定點解這類問題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出動直線或動圓的方程(2)與圓有關(guān)的定值問題，可以通過直接計算或證明，還可以通過特殊化，先猜出定值再給出證明演練沖關(guān)1已知圓C：(x3)2(y4)24，直線l1過定點A(1,0)(1) 若l1與圓相切，求直線l1的方程；(2) 若l1與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x2y20的交點為N，判斷AM·AN是否為定值若是，則求出定值；若不是，請說明理由解：(1)若直線l1的斜率不存在，即直線l1的方程為x1，符合題意；若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為yk(x1)，即kxyk0.由題意知，圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2，即2，解得k，則l1：3x4y30.所求直線l1的方程是x1或3x4y30.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線l1方程為kxyk0.由得N.又因為直線CM與l1垂直，故可得M.所以AM·AN··6，為定值故AM·AN是定值，且為6.2已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.(1)若APB60°，求點P的坐標；(2)若P點的坐標為(2,1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點，當CD時，求直線CD的方程；(3)求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標解：(1)設(shè)P(2m，m)，因為APB60°，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求點P的坐標為P(0,0)或P.(2)易知直線CD的斜率存在，可設(shè)直線CD的方程為y1k(x2)，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得k1或k，故所求直線CD的方程為xy30或x7y90.(3)證明：設(shè)P(2m，m)，MP的中點Q，因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(xm)22m22，化簡得x2y22ym(2xy2)0，此式是關(guān)于m的恒等式，故解得或所以經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點(0,2)或.題型(三)與直線、圓有關(guān)的最值或范圍問題主要考查與直線和圓有關(guān)的長度、面積的最值或有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題. 典例感悟例3已知ABC的三個頂點A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為圓H.(1)若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30.所以外接圓圓心H(0,3)，半徑為.圓H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因為直線l被圓H截得的弦長為2，所以d3.當直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x3為所求；當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k.所以直線l的方程為y2(x3)，即4x3y60.綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.(2) 直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)因為點M是線段PN的中點，所以M，又M，N都在半徑為r的圓C上，所以即因為該關(guān)于x，y的方程組有解，即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m,4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2對任意的m0,1成立而f(m)10m212m10在0,1上的值域為，所以r2且109r2.又線段BH與圓C無公共點，所以(m3)2(33m2)2>r2對任意的m0,1成立，即r2<.故圓C的半徑r的取值范圍為.方法技巧1隱形圓問題有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題2隱形圓的確定方法(1)利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱形圓；(2)動點P 對兩定點A，B張角是90°(kPA·kPB1)確定隱形圓；(3)兩定點A，B，動點P滿足·確定隱形圓；(4)兩定點A，B，動點P滿足PA2PB2是定值確定隱形圓；(5)兩定點A，B，動點P滿足PAPB(0，1)確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)；(6)由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓3與圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解策略與圓有關(guān)的最值或取值范圍問題的求解，要對問題條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘，要掌握解決問題常使用的思想方法，如要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何知識，求最值或范圍，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值或范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系求解演練沖關(guān)1.(2018·蘇北四市期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2y24x0及點A(1,0)，B(1,2)(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MNAB，求直線l的方程；(2)在圓C上是否存在點P，使得PA2PB212？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，說明理由解：(1)因為圓C的標準方程為(x2)2y24，所以圓心C(2,0)，半徑為2.因為lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為xym0，則圓心C到直線l的距離為d.因為MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設(shè)圓C上存在點P，設(shè)P(x，y)，則(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，x2(y1)24，因為|22|<<22，所以圓(x2)2y24與圓x2(y1)24相交，所以點P的個數(shù)為2.2在等腰ABC中，已知ABAC，且點B(1,0)點D(2,0)為AC的中點(1)求點C的軌跡方程；(2)已知直線l：xy40，求邊BC在直線l上的射影EF長的最大值解：(1)設(shè)C(x，y)，D(2,0)為AC的中點A(4x，y)，B(1,0)，由ABAC，得AB2AC2.(x5)2y2(2x4)2(2y)2，整理得(x1)2y24.A，B，C三點不共線，y0，則點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)法一：由條件，易得BE：xy10.設(shè)CF：xyb0.當EF取得最大值時，直線CF與圓(x1)2y24相切，設(shè)M(1,0)，則M到CF的距離為2.b21(舍去)或b21.CF：xy210.EFmax等于點B到CF的距離2.法二：設(shè)點M(1,0)，如圖，過點C的軌跡圓心M作BE，CF的垂線，垂足分別為G，H，則四邊形EFHG是矩形EFGHGMMH.由條件，得MG.MH的最大值為半徑2.EFmax2.3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍解：圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2,4)，T(t,0)，所以因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以5555，解得22t22.因此，實數(shù)t的取值范圍是22，22 課時達標訓練A組大題保分練1已知圓O：x2y24交y軸正半軸于點A，點B，C是圓O上異于點A的兩個動點(1)若B與A關(guān)于原點O對稱，直線AC和直線BC分別交直線y4于點M，N，求線段MN長度的最小值；(2)若直線AC和直線AB的斜率之積為1，求證：直線BC與x軸垂直解：(1)由題意，直線AC和直線BC的斜率一定存在且不為0，且A(0,2)，B(0，2)，ACBC.設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為，所以直線AC的方程為ykx2，直線BC的方程為yx2，故它們與直線y4的交點分別為M，N(6k,4)所以MN4，當且僅當k±時取等號，所以線段MN長度的最小值為4.(2)證明：易知直線AC和直線AB的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線AC的方程為ykx2，則直線AB的方程為yx2.由解得C，同理可得B.因為B，C兩點的橫坐標相等，所以BCx軸2已知圓x2y24x2y30和圓外一點M(4，8)(1)過M作直線交圓于A，B兩點，若|AB|4，求直線AB的方程；(2)過M作圓的切線，切點分別為C，D，求切線長及CD所在直線的方程解：(1)圓即(x2)2(y1)28，圓心為P(2，1)，半徑r2.若割線斜率存在，設(shè)AB：y8k(x4)，即kxy4k80，設(shè)AB的中點為N，則|PN|，由|PN|22r2，得k，AB：45x28y440.若割線斜率不存在，AB：x4，代入圓方程得y22y30，y11，y23符合題意綜上，直線AB的方程為45x28y440或x4.(2)切線長為3.以PM為直徑的圓的方程為(x2)(x4)(y1)(y8)0，即x2y26x9y160.又已知圓的方程為x2y24x2y30，兩式相減，得2x7y190，所以直線CD的方程為2x7y190.3已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方(1)求圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)圓心C(a,0)，則2a0或a5(舍去)所以圓C的方程為x2y24.(2)當直線ABx軸時，x軸平分ANB.當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x軸平分ANB，則kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以當點N為(4,0)時，能使得ANMBNM總成立4在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24.(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，求所有滿足條件的點P的坐標解：(1)由于直線x4與圓C1不相交，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d.l被圓C1截得的弦長為2，d 1.又由點到直線的距離公式得d，k(24k7)0，解得k0或k，直線l的方程為y0或7x24y280.(2)設(shè)點P(a，b)滿足條件，由題意分析可得直線l1，l2的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線l1的方程為ybk(xa)，則直線l2的方程為yb(xa)圓C1和圓C2的半徑相等，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|.13kakb±(5k4abk)，即(ab2)kba3或(ab8)kab5.k的取值有無窮多個，或解得或故這樣的點只可能是點P1或點P2，.B組大題增分練1.如圖，已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.(1)求圓A的方程；(2)當MN2時，求直線l的方程解：(1)設(shè)圓A的半徑為r.由于圓A與直線l1：x2y70相切，r2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.連結(jié)AQ，則AQMN.MN2，AQ1，則由AQ1，得k，直線l：3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.2已知點P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點(1)求M的軌跡方程；(2)當OPOM時，求證：POM的面積為定值解：(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x,2y)由題設(shè)知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)證明：由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓由于OPOM，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPM.因為ON的斜率為3，所以PM的斜率為，故PM的方程為yx.又OMOP2，O到l的距離d為，所以PM2，所以POM的面積為SPOMPM·d.3.如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(0,1)，且被x軸分成的兩段弧長之比為21，過點H(0，t)的直線l與圓C相交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O.(1)求圓C的方程；(2)當t1時，求直線l的方程；(3)求直線OM的斜率k的取值范圍解：(1)因為位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(0,1)，所以圓心C在直線y1上又圓C與x軸的交點分別為A，B，由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為21，得ACB.所以CACB2，圓心C的坐標為(2,1)所以圓C的方程為(x2)2(y1)24.(2)當t1時，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ymx1.由消去y，得(m21)x24x0，解得或不妨令M，N(0,1)因為以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過O(0,0)，所以··(0,1)0，解得m2±，故所求直線l的方程為y(2)x1或y(2)x1.(3)設(shè)直線OM的方程為ykx，由題意，知2，解得k.同理得，解得k或k>0.由(2)知，k0也滿足題意所以k的取值范圍是.4已知過點A(1,0)的動直線l與圓C：x2(y3)24相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x3y60相交于N.(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；(2)當PQ2時，求直線l的方程；(3)探索·是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由解：(1)l與m垂直，且km，kl3，故直線l方程為y3(x1)，即3xy30.圓心坐標(0,3)滿足直線l方程，當l與m垂直時，l必過圓心C.(2)當直線l與x軸垂直時， 易知x1符合題意當直線l與x軸不垂直時， 設(shè)直線l的方程為yk(x1)，即kxyk0，PQ2，CM1，則由CM1，得k， 直線l：4x3y40. 故直線l的方程為x1或4x3y40.(3)CMMN，·()····.當l與x軸垂直時，易得N，則，又(1,3)，··5.當l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，則由得N，則，··5.綜上所述，·與直線l的斜率無關(guān)，且·5.