江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.4 專題提能“數(shù)列”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）1等差數(shù)列an，bn的前n項和為Sn，Tn.若(nN*)，則_.解析：.答案：2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若S27，an12Sn1，nN*，則an_.解析：由an12Sn1，得an2Sn11(n2)，兩式相減得an13an(n2)，由a22a11，得S23a117，解得a12，a25，所以an答案：3已知一個等差數(shù)列an的通項公式為an255n，則數(shù)列|an|的前n項和為_解析：由an0，得n5，an前5項為非負(fù)，當(dāng)n5時Sn|a1|a2|an|a1a2an，當(dāng)n6時，Sn|a1|a2|an|a1a2a5a6an2(a1a2a5)a1a2a3a4a5a6an100，綜上所述，Sn答案：Sn4若an是等差數(shù)列，首項a1>0，<1，則使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是_解析：an為等差數(shù)列，a1>0，<1，an表示首項為正數(shù)，公差為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減等差數(shù)列，且|a2 018|>|a2 019|，等價于a2 018>0，a2 019<0且a2 018a2 019>0.在等差數(shù)列an中，a2 018a2 019a1a4 036>0，S4 0360，S4 0374 037a2 019<0，使Sn0成立的最大自然數(shù)n是4 036.答案：4 036B組方法技巧練1設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項的和，若a32a60，則的值是_解析：由a32a60，得q3，則×1q3.答案：2若公比不為1的等比數(shù)列an滿足log2(a1a2a13)13，等差數(shù)列bn滿足b7a7，則b1b2b13的值為_解析：log2(a1a2a13)13，log2a13a72b7，b1b2b1313b726.答案：263已知數(shù)列an滿足a2n11a2n2a2n1，nN*，a11，若前n項和為Sn，則S11的最小值為_解析： 要使Sn最小，則數(shù)列各項為1,2,1,2,1,2,1,2，所以當(dāng)S11的最小值為16.答案：164各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足：a1>1，a6a7>a6a71>2，記數(shù)列an前n項積為Tn，則滿足Tn>1的最大正整數(shù)n的值為_解析：a6a7>a6a71>2因為a1>1，所以由a6a7>1a1a12a2a11a6a7>1T12>1，a7<1a1a13a2a12a6a8<1T13<1，所以n的最大值為12.答案：125已知an是遞增數(shù)列，其前n項和為Sn，a1>1，且10Sn(2an1)(an2)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)是否存在m，n，kN*，使得2(aman)ak成立？若存在，寫出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請說明理由解：(1)由10a1(2a11)(a12)，得2a5a120，解得a12或a1.又a1>1，所以a12.因為10Sn(2an1)(an2)，所以10Sn2a5an2，故10an110Sn110Sn2a5an122a5an2，整理，得2(aa)5(an1an)0，即(an1an)2(an1an)50.因為an是遞增數(shù)列且a12，所以an1an0，因此an1an.所以數(shù)列an是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，所以an2(n1)(5n1)(2)滿足條件的正整數(shù)m，n，k不存在，理由如下：假設(shè)存在m，n，kN*，使得2(aman)ak，則5m15n1(5k1)，整理，得2m2nk，(*)顯然，(*)式左邊為整數(shù)，所以(*)式不成立故滿足條件的正整數(shù)m，n，k不存在6數(shù)列an，bn，cn滿足：bnan2an1，cnan12an22，nN*.(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列bn，cn都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列an從第二項起為等差數(shù)列；(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)b1a30時，數(shù)列an是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論解：(1)證明：設(shè)數(shù)列an的公差為d，bnan2an1，bn1bn(an12an2)(an2an1)(an1an)2(an2an1)d2dd，數(shù)列bn是公差為d的等差數(shù)列(2)證明：當(dāng)n2時，cn1an2an12，bnan2an1，an1，an11，an1an，數(shù)列bn，cn都是等差數(shù)列，為常數(shù)，數(shù)列an從第二項起為等差數(shù)列(3)數(shù)列an成等差數(shù)列bnan2an1，b1a30，令n1，a12a2a3，即a12a2a30，bn1an12an2，bn2an22an3，2bn1bnbn2(2an1anan2)2(2an2an1an3)，數(shù)列bn是等差數(shù)列，2bn1bnbn20，2an1anan22(2an2an1an3)，a12a2a30，2an1anan20，數(shù)列an是等差數(shù)列C組創(chuàng)新應(yīng)用練1數(shù)列an中，an(nN*)，則最大項是第_項解析：因為an1，所以an在1,9單調(diào)遞減，10，)單調(diào)遞減，所以n>0且最小時，an最大；n<0且最大時，an最小所以當(dāng)n10時an最大答案：102對于一切實數(shù)x，令x為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)x稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)若anf，nN*，Sn為數(shù)列an的前n項和，則S3n_.解析：由題意，當(dāng)n3k，n3k1，n3k2時均有anf k，所以S3n00,n3××(n1)nn2n.答案：n2n3等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若S410，S515，則a4的最大值為_解析：法一：設(shè)a13dm(2a13d)n(a12d)，于是a13d(2mn)a1(3m2n)d，由解得所以a13d(2a13d)3(a12d)53×34，所以a4的最大值是4.法二：設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，因為S410，S515, 所以即而a4a13d.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系a1Od，作出可行域及目標(biāo)函數(shù)a4a13d.當(dāng)直線a4a13d過可行域內(nèi)點A(1,1)時截距最大，此時目標(biāo)函數(shù)a4a13d取得最大值4.答案：44設(shè)某數(shù)列的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”若一個首項為1，公差為d(d0)的等差數(shù)列an為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d_.解析：由k(k為常數(shù))，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0.對任意正整數(shù)n，上式恒成立，解得數(shù)列an的公差d2.答案：25設(shè)數(shù)列an滿足aan1an1(a2a1)2，其中n2，且nN*，為常數(shù)(1)若an是等差數(shù)列，且公差d0，求的值；(2)若a11，a22，a34，且存在r3,7，使得m·annr對任意的nN*都成立，求m的最小值；(3)若0，且數(shù)列an不是常數(shù)列，如果存在正整數(shù)T，使得anTan對任意的nN*均成立求所有滿足條件的數(shù)列an中T的最小值解：(1)由題意，可得a(and)(and)d2，化簡得(1)d20，又d0，所以1.(2)將a11，a22，a34代入條件，可得41×4，解得0，所以aan1an1，所以數(shù)列an是首項為1，公比q2的等比數(shù)列，所以an2n1.若存在r3,7，使得m·2n1nr，即rnm·2n1對任意nN*都成立，則7nm·2n1，所以m對任意的nN*都成立令bn，則bn1bn，所以當(dāng)n8時，bn1bn；當(dāng)n8時，b9b8；當(dāng)n8時，bn1bn.所以bn的最大值為b9b8，所以m的最小值為.(3)因為數(shù)列an不是常數(shù)列，所以T2.若T2，則an2an恒成立，從而a3a1，a4a2，所以所以(a2a1)20，又0，所以a2a1，可得an是常數(shù)列，矛盾所以T2不合題意若T3，取an(*)滿足an3an恒成立由aa1a3(a2a1)2，得7.則條件式變?yōu)閍an1an17.由221×(3)7，知aa3k2a3k(a2a1)2；由(3)22×17，知aa3k1a3k1(a2a1)2；由12(3)×27，知aa3ka3k2(a2a1)2.所以數(shù)列(*)適合題意所以T的最小值為3.