江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 選修4系列強化練（一）選修4-2 矩陣與變換（理）（含解析）題型一常見平面變換1已知變換T把平面上的點(3，4)，(5,0)分別變換成(2，1)，(1,2)，試求變換T對應(yīng)的矩陣M.解：設(shè)M，由題意得， ，解得即M.2平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x2y10在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到直線m：xy20，求實數(shù)a，b的值解：設(shè)坐標(biāo)(x，y)在矩陣M的變換后的坐標(biāo)為(x，y)，則有，于是有解得將上述結(jié)果代入直線l的方程得10.化簡得(b6)x(2a2)yab60.(*)于是有.解得或當(dāng)a1，b6時，代入(*)式得0·x0·y00，不符合題意，舍去綜上所述a1，b2.3設(shè)矩陣M(其中a>0，b>0)，若曲線C：x2y21在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到曲線C：y21，求ab的值解：設(shè)曲線C：x2y21上任意一點P(x，y)，在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到點P1(x1，y1)，則，即又點P1(x1，y1)在曲線C：y21上，所以y1，則(by)21為曲線C的方程又曲線C的方程為x2y21，故a24，b21，因為a>0，b>0，所以a2，b1，所以ab3.臨門一腳1把點A(x，y)繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)角的變換，對應(yīng)的矩陣是，這個矩陣不能遺忘2求點被矩陣變換后的點的坐標(biāo)或求曲線被矩陣變換后的曲線所用方法是求軌跡中的相關(guān)點法3求直線在矩陣作用下所得直線方程，可以取兩個特殊點求解比較簡便題型二矩陣的復(fù)合、矩陣的乘法及逆矩陣1已知a，b是實數(shù)，如果矩陣A所對應(yīng)的變換T把點(2,3)變成點(3,4)(1)求a，b的值；(2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2.解：(1)由題意，得，即解得(2)由(1)，得A.由矩陣的逆矩陣公式得B.所以B2.2設(shè)二階矩陣A，B滿足A1，(BA)1，求B1.解：設(shè)B1，因為(BA)1A1B1，所以，即解得所以B1.臨門一腳1矩陣的行列式adbc，如果adbc0，則矩陣存在逆矩陣2矩陣的逆矩陣為.3逆矩陣求解可以用定義法求解也可以用公式求解，用公式求解時要寫出原始公式4若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)1B1A1，乘法順序不能顛倒題型三特征值和特征向量1已知二階矩陣M有特征值8及對應(yīng)的一個特征向量e1，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的另一個特征值解：(1)設(shè)M，由題意，M8，M，解得即M.(2)令特征多項式f()(6)·(4)80，解得18，22.矩陣M的另一個特征值為2.2已知矩陣A，A的兩個特征值為12，23.(1)求a，b的值；(2)求屬于2的一個特征向量.解：(1)令f()(a)(4)b2(a4)4ab0，于是12a4，1·24ab.解得a1，b2.(2)設(shè)，則A3，故解得xy.所以屬于2的一個特征向量為.3已知矩陣M，計算M6.解：矩陣M的特征多項式為f()223.令f()0，解得13，21，對應(yīng)的一個特征向量分別為1，2.令m1n2，得m4，n3.所以M6M6(4132)4(M61)3(M62)4×363×(1)6.臨門一腳1A是一個二階矩陣，則f()2(ad)adbc稱為A的特征多項式2矩陣M的特征值滿足(a)(d)bc0，屬于的特征向量滿足M.3特征值和特征向量，可以用定義求解也可以用公式求解4Mn的計算流程要熟悉，這也是求特征值和特征向量的應(yīng)用