江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角 1.3 大題考法解三角形講義（含解析）題型(一)三角變換與解三角形的綜合問題主要考查利用正、余弦定理求解三角形的邊長或角的大小(或三角函數(shù)值)，且常與三角恒等變換綜合考查.所以.又由正弦定理得，所以.法二(邊化角)：因為cos B，B(0，)，所以sin B.因為c2a，由正弦定理得sin C2sin A，所以sin C2sin(BC)cos Csin C，即sin C2cos C.又因為sin2Ccos2C1，sin C0，解得sin C，所以.(2)因為cos B，所以cos 2B2cos2B1.又0B，所以sin B，所以sin 2B2sin Bcos B2××.因為CB，即CB，所以A(BC)2B，所以sin Asinsincos 2Bcossin 2B××.方法技巧三角變換與解三角形綜合問題求解策略(1)三角變換與解三角形綜合問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的，其基本步驟是：(2)三角變換與解三角形的綜合問題要關注三角形中的隱藏條件，如ABC，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C, 以及在ABC中，A>Bsin A>sin B等演練沖關1在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且bsin 2Ccsin B.(1)求角C；(2)若sin，求sin A的值解：(1)由正弦定理及bsin 2Ccsin B，得2sin Bsin Ccos Csin Csin B，因為sin B>0，sin C>0，所以cos C，又C(0，)，所以C. (2)因為C，所以B，所以B，又sin，所以cos .又AB，即AB，所以sin Asinsinsin·coscossin××.2在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的長；(2)求cos的值解：(1)因為cos B，0B，所以sin B .由正弦定理知，所以AB5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)coscos Bcossin Bsin.又cos B，sin B，故cos A××.因為0A，所以sin A.因此，coscos Acossin Asin ××.題型(二)解三角形與平面向量結合主要考查以平面向量的線性運算和數(shù)量積為背景的解三角形問題.典例感悟例2(2018·鹽城模擬)設ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ABC面積的大小為S,3·2S.(1)求sin A的值；(2)若C，·16，求b.解(1)由3·2S，得3bccos A2×bcsin A，即sin A3cos A.整理化簡得sin2A9cos2A9(1sin2A)，所以sin2A.又A(0，)，所以sin A>0，故sin A.(2)由sin A3cos A和sin A，得cos A，又·16，所以bccos A16，得bc16.又C，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.在ABC中，由正弦定理，得，即cb.聯(lián)立得b8.方法技巧解三角形與平面向量綜合問題的求解策略(1)向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數(shù)量積運算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題(2)三角形中的三角函數(shù)要結合正弦定理、余弦定理進行轉(zhuǎn)化，注意角的范圍對變形過程的影響演練沖關1(2018·南通三調(diào))已知ABC是銳角三角形，向量m，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求AB的值；(2)若cos B，AC8，求BC的長解：(1)因為mn，所以m·ncoscos Bsinsin Bcos0，又A，B，所以AB，所以AB，即AB.(2)因為cos B，B，所以sin B.所以sin Asinsin Bcoscos Bsin××.由正弦定理，得BC×AC×843.2已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m(1,2)，n，且m·n1.(1)求角A的大??；(2)若bc2a2，求sin的值解：(1)由題意得m·n2cos2A1cos A12cos2Acos A1，解得cos A或cos A1，0<A<.A.(2)在ABC中a2b2c22bccos A且a，得3b2c22bc×b2c2bc，又bc2a2，b2c，代入整理得c22c30，解得c，b，于是abc，即ABC為等邊三角形，B.sinsinsin cos cos sin .題型(三)以平面圖形為背景的解三角形問題此類問題的本質(zhì)還是主要考查利用正、余弦定理求解三角形或多邊形的邊長、角度和面積的問題. 典例感悟例3(2018·南通調(diào)研)如圖，在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ab(sin Ccos C)(1)求ABC；(2)若A，D為ABC外一點，DB2，DC1，求四邊形ABDC面積的最大值解(1)在ABC中，因為ab(sin Ccos C)，所以sin Asin B(sin Ccos C)，所以sin(BC)sin B(sin Ccos C)，所以sin Bcos Ccos Bsin Csin Bsin Csin Bcos C, 所以cos Bsin Csin Bsin C，又因為C(0，)，故sin C0，所以cos Bsin B，即tan B1. 又B(0，)，所以B.(2)在BCD中，DB2，DC1，BC212222×1×2×cos D54cos D.又A，由(1)可知ABC，所以ABC為等腰直角三角形，SABC×BC××BCBC2cos D， 又SBDC×BD×DC×sin Dsin D, 所以S四邊形ABDCcos Dsin Dsin.所以當D時，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為.方法技巧以平面圖形為背景的解三角形問題的求解思路建聯(lián)系在平面幾何圖形中求相關的幾何量時，需尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，通過公共條件形成等式，常常將所涉及的已知幾何量與所求幾何量集中到某一個三角形用定理“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應采用正弦定理；“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用余弦定理演練沖關1(2018·蘇北三市模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，且CBE，BEC，BCE成等差數(shù)列(1)求sinCED；(2)求BE的長解：設CED.因為CBE，BEC，BCE成等差數(shù)列，所以2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BEC.(1)在CDE中，由余弦定理得EC2CD2DE22CD·DE·cosEDC，由題設知7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理得，于是sin ，即sinCED.(2)由題設知0<<，由(1)知cos ，又AEBBEC，所以cosAEBcoscoscos sin·sin cos sin ××.在RtEAB中，cosAEB，所以BE4.2(2018·鹽城中學調(diào)研)如圖， 在ABC中，B，BC2，點D在邊AB上，ADDC，DEAC，E為垂足(1)若BCD的面積為，求CD的長；(2)若ED，求A的大小解：(1)由已知得SBCDBC·BD·sin B，又BC2，B，BD，在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BC·BD·cos B，CD.(2)在RtCDE中，CD.ADDC，ADCE，CD.在BCD中，由正弦定理，得，又BDC2A，得，CD，CD，解得cos A，A.課時達標訓練A組大題保分練1(2018·徐州摸底測試)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2c2bcos A.(1)求角B的大??；(2)若b2，ac4，求ABC的面積解：(1)因為a2c2bcos A，由正弦定理，得sin A2sin C2sin Bcos A.因為C(AB)，所以sin A2sin(AB)2sin Bcos A.即sin A2sin Acos B2cos Asin B2sin Bcos A，所以sin A·(12cos B)0.因為sin A0，所以cos B.又因為0<B<，所以B.(2)由余弦定理a2c22accos Bb2及b2得，a2c2ac12，即(ac)2ac12.又因為ac4，所以ac4，所以SABCacsin B×4×.2(2018·海門中學周練)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a1，b2，BA.(1)求sin A的值；(2)求c的值解：(1)在ABC中，因為a1，b2，BA，由正弦定理得，于是2sin Asin Acos cos Asin ，即3sin Acos A，又sin2Acos2A1，所以sin A.(2)由(1)知，cos A，則sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A，在ABC中，因為ABC，BA，所以C2A.則sin Csinsincos 2Acossin 2A××.由正弦定理得，c.3(2018·鹽城三模)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AD為邊BC上的中線(1)若a4，b2，AD1，求邊c的長；(2)若·c2，求角B的大小解：(1)在ADC中，因為AD1，AC2，DCBC2，由余弦定理得cos C.故在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C42222×4×2×6，所以c.(2)因為AD為邊BC上的中線，所以()，所以c2··2·c2cbcos A，cbcos A.ABBC，B90°.4.如圖，在梯形ABCD中，已知ADBC，AD1，BD2，CAD，tanADC2.求：(1)CD的長；(2)BCD的面積解：(1)因為tanADC2，所以sinADC，cosADC.所以sinACDsinsinsinADCcoscosADCsin，在ADC中，由正弦定理得CD.(2)因為ADBC，所以cosBCDcosADC，sinBCD.在BDC中，由余弦定理BD2BC2CD22·BC·CD·cosBCD，得BC22BC350，解得BC7(負值舍去)，所以SBCD·BC·CD·sinBCD×7××7.B組大題增分練1(2018·蘇北四市期初調(diào)研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為 a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值解：(1)由正弦定理，得.從而2sin Acos Csin B可化為2acos Cb.由余弦定理，得2a×b.整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化為sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理，得4sin Acos C2cos Asin C，因為ABC是斜三角形，所以sin Acos Acos C0，所以.2(2018·全國卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由題設知，ADB<90°，所以cos ADB .(2)由題設及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BD·DC·cos BDC2582×5×2×25，所以BC5.3(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設ABC的面積為S，且4S(a2c2b2)(1)求B的大小；(2)設向量m(sin 2A,3cos A)，n(3，2cos A)，求m·n的取值范圍解：(1)由題意，有4×acsin B(a2c2b2)，則sin B·cos B.因為sin B0，所以cos B0，所以tan B.又0<B<，所以B.(2)由向量m(sin 2A,3cos A)，n(3，2cos A)，得m·n3sin 2A6cos2A3sin 2A3cos 2A33sin3.由(1)知B，所以0<A<.所以2A，所以sin，所以m·n，即m·n取值范圍是.4在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2acos B2cb.(1)若cos(AC)，求cos C的值；(2)若b5，·5，求ABC的面積；(3)若O是ABC外接圓的圓心，且··m，求m的值解：由2acos B2cb，得2sin Acos B2sin Csin B，即2sin Acos B2sin(AB)sin B，化簡得cos A，則A60°.(1)由cos(AC)cos B，得cos B，所以sin B.所以cos Ccos(120°B)cos Bsin B.(2)因為··()·2|·|·cos A|2bcb25，又b5，解得c8，所以ABC的面積為bcsin A10.(3)由··m，可得····m2.(*)因為O是ABC外接圓的圓心，所以·2，·2，又|，所以(*)可化為·c2·b2m·，所以m2(cos Bsin Csin Bcos C)2sin(BC)2sin A.