2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 壓軸大題搶分練1 文1已知拋物線y22px(p0)上點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)F的距離為4.(1)求拋物線方程；(2)點(diǎn)P為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，AB為拋物線上過焦點(diǎn)的任意一條弦，設(shè)直線PA，PB，PF的斜率為k1，k2，k3，問是否存在實(shí)數(shù)，使得k1k2k3恒成立若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為x，由拋物線的定義可知：43，p2，拋物線方程為y24x.(2)由于拋物線y24x的焦點(diǎn)F為(1,0)，準(zhǔn)線為x1，設(shè)直線AB：xmy1，與y24x聯(lián)立，消去x，整理得：y24my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1，t)，有易知k3，而k1k2t2k3，存在實(shí)數(shù)2，使得k1k2k3恒成立2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：y21，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m，n，m·n0.(1)求證：k1·k2；(2)試探求OPQ的面積S是否為定值？并說明理由解(1)k1，k2存在，x1x20，m·n0，m，n，y1y20，k1·k2.(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2時(shí)，由得，y0，又由P(x1，y1)在橢圓上，得y1，|x1|，|y1|.SPOQ|x1|y1y2|1.當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為ykxb.由得(4k21)x28kbx4b240，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，SPOQ··|PQ|b|2|b|1.綜上可得，POQ的面積S為定值3已知f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：對(duì)一切x(0，)都有l(wèi)n x.解(1)f(x)1ln x，在上，f(x)0，f(x)遞減，在上，f(x)0，f(x)遞增，所以f(x)在x時(shí)，取得最小值f.(2)要證：ln x只需證：xln x，因?yàn)閒(x)xln x在(0，)最小值為，所以構(gòu)造函數(shù)g(x)(x0)，g(x)，因此g(x)在(0,1)遞增，在(1，)遞減，所以g(x)最大值為g(1)，又因?yàn)閒(x)與g(x)的最值不同時(shí)取得，所以f(x)g(x)，即xln x，所以ln x.4已知函數(shù)f(x)ln xa.(1)若曲線f(x)在x1處的切線l過點(diǎn)(1,0)，求a的值及切線l的方程；(2)若存在唯一整數(shù)x0，使得f(x0)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并判斷此時(shí)方程f(x)0的實(shí)根個(gè)數(shù)解(1)因?yàn)閒(x)2，所以f(1)a6，f(1)2，由曲線f(x)在x1處的切線過點(diǎn)(1,0)，可得切線l的斜率kf(1)，即2，所以a2，且切線l的方程為y2(x1)，即2xy20.(2)由題可知：f(x)(x0)，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增若存在唯一整數(shù)x0，使得f(x0)0，則x01，所以即所以ln 2a6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.結(jié)合f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且f(1)0，f(2)0，fe3a0，可知f(x)0在上及上各有1個(gè)實(shí)根，所以f(x)0有2個(gè)實(shí)根