2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 文熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：三角恒等變換2018全國卷T4；2018全國卷T11；2018全國卷T152017全國卷T4；2017全國卷T151.重點(diǎn)考查三角函數(shù)圖象的變換，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題.題型2：三角函數(shù)的圖象與解析式2016全國卷T6；2016全國卷T3；2016全國卷T142015全國卷T8題型3：三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2018全國卷T8；2018全國卷T10；2018全國卷T62017全國卷T3；2017全國卷T13；2017全國卷T62016全國卷T11；2014全國卷T142.主要以選擇、填空題的形式考查，難度中等偏下.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin ；(2)cos(±)cos cos sin sin ；(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.3輔助角公式asin xbcos xsin(x).高考考法示例·【例1】(1)(2018·全國卷)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A.B.C.D1(2)(2018·洛陽模擬)若sin，則cos2_.(3)(2018·石家莊模擬)若cos(2)，sin(2)，0，則的值為_(1)B(2)(3)(1)由題可知tan ba，又cos 2cos2sin2，5(ba)21，得(ba)2，即|ba|，故選B.(2)由sin得cos12sin212×2，則coscoscos.(3)因?yàn)閏os(2)且2，所以sin(2).因?yàn)閟in(2)且2，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)·cos(2)sin(2)sin(2)××.因?yàn)椋?方法歸納1三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45°等(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦2解決條件求值問題的關(guān)注點(diǎn)(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示(3)求解三角函數(shù)中的給值求角問題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小(教師備選)(2018·佛山模擬)已知tan，則cos2()A. B. C. D.Btan，解得tan ，故cos2sin cos ，其中sin cos ，故sin cos .對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1(2018·黃山模擬)若cos，則sin 2()A.B.CDD由cos得，sin 2cos2cos212×1，故選D.2已知sin ，sin()，均為銳角，則角等于()A. B. C. D.C由sin ，是銳角知cos ，由sin()，均為銳角知，0，從而cos().故cos cos()cos cos()sin sin()××所以3(2018·全國卷)已知tan，則tan _.法一：因?yàn)閠an ，所以，即，解得tan .法二：因?yàn)閠an，所以tan tan題型2三角函數(shù)的圖象與解析式核心知識(shí)儲(chǔ)備·1“五點(diǎn)法”作圖用五點(diǎn)法畫yAsin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，一般先列表，后描點(diǎn)，連線，其中所列表如下：x02xAsin(x)0A0A02.圖象變換高考考法示例·【例2】(1)(2018·合肥模擬)函數(shù)ysin的圖象可由函數(shù)ycosx的圖象至少向右平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則m()A1B.C.D.(2)(2015·全國卷)函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖2­1­1所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()圖2­1­1A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(1)A(2)D(1)因?yàn)閥sincoscos，所以只需將函數(shù)ycosx的圖象向右至少平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)ysin的圖象(2)由圖象知，周期T22，2，.由×2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.故選D.方法歸納1三角函數(shù)圖象平移問題處理策略(1)統(tǒng)一函數(shù)名稱，當(dāng)原函數(shù)與所要變換得到的目標(biāo)函數(shù)的名稱不同時(shí)，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一(2)將ysin x(>0)的圖象變換成ysin(x)的圖象時(shí)，只需進(jìn)行平移變換，應(yīng)把x變換成，根據(jù)確定平移量的大小，根據(jù)的符號(hào)確定平移的方向2函數(shù)yAsin(x)的解析式的確定方法(1)A由最值確定，A；(2)由周期確定；(3)由圖象上的特殊點(diǎn)確定通常利用峰點(diǎn)、谷點(diǎn)或零點(diǎn)列出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍解得的值，所列方程如下：峰點(diǎn)：x2k；谷點(diǎn)：x2k，利用零點(diǎn)時(shí)，要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))：x2k；降零點(diǎn)(圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))：x2k.(以上kZ)對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1為了得到函數(shù)ysin的圖象，可以將函數(shù)ycos 2x的圖象()A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度Bycos 2xsin，ycos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得ysinsin的圖象，故選B.2函數(shù)f(x)Asin x(A0，0)的部分圖象如圖2­1­2所示，則f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值為()圖2­1­2A0B22C6DB由題圖可得，A2，T8，8，f(x)2sinx.f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 0198×2523，f(1)f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)22.題型3三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用核心知識(shí)儲(chǔ)備·1三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性(1)yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由xk(kZ)求得，對(duì)稱點(diǎn)、橫坐標(biāo)可由xk(kZ)求得(2)yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由xk(kZ)求得，對(duì)稱點(diǎn)、橫坐標(biāo)可由xk(kZ)求得(3)yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)尤其注意其對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)可由x(kZ)求得2三角函數(shù)的最值函數(shù)類型求解方法yasin xbcos xc轉(zhuǎn)化為ysin(x)c的最值問題yasin2xbsin xcos xccos2x轉(zhuǎn)化為yAsin 2xBcos 2xC的最值問題yasin2xbsin xc換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題高考考法示例·角度一三角函數(shù)的定義域、周期性及單調(diào)性的判斷【例31】(1)(2018·全國卷)若f(x)cos xsin x在0，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A.B.C.DC法一：f(x)cos xsin xcosx.當(dāng)x0，a時(shí)，x，所以結(jié)合題意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故選C.法二：f(x)sin xcos xsin.于是，由題設(shè)得f(x)0，即 sin0在區(qū)間0，a上恒成立當(dāng)x0，a時(shí)，x，所以a，即a，故所求a的最大值是.故選C.(2)已知函數(shù)f(x)4tan x·sin·cos.求f(x)的定義域與最小正周期；討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tan xcos xcos4sin xcosx4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.設(shè)A，B，易知AB，.所以當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減角度二三角函數(shù)的最值問題【例32】(1)(2016·全國卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos的最大值為()A4 B5 C6 D7Bf(x)12sin2x6sin x22，又sin x1,1，所以當(dāng)sin x1時(shí)，f(x)有最大值5，故選B.(2)(2018·青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)sinsin，其中03.已知f0.求；將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的最小值解因?yàn)閒(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由題設(shè)知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又03，所以2.由得f(x)sin所以g(x)sinsin.因?yàn)閤，所以x，當(dāng)x，即x時(shí)，g(x)取得最小值.角度三三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性【例33】(1)將函數(shù)ycos xsin x(xR)的圖象向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()A.B.C.D.(2)將函數(shù)f(x)cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì)A最大值為1，圖象關(guān)于直線x對(duì)稱B在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)C在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D周期為，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(1)A(2)B(1)設(shè)f(x)cos xsin x2cos xsin x2sin，向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得g(x)2sin.g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，g(x)為偶函數(shù)，mk(kZ)，mk(kZ)，又m0，m的最小值為.(2)由題意可得將f(x)cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位得到g(x)coscossin 2x的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為奇函數(shù)，所以排除C，又當(dāng)x時(shí)函數(shù)值為0，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值為，所以A和D中對(duì)稱的說法不正確，選B.方法歸納函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1(2018·全國卷)函數(shù)f(x)的最小正周期為()A. B. C D2Cf(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.故選C.2(2018·沈陽模擬)已知f(x)2sin2x2sin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間分別為()A2， B，C2， D，Bf(x)2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2xsin1，則T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，令k0得f(x)在上單調(diào)遞減，故選B.3(2018·哈爾濱模擬)若函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是()A1 BC DBf(x)2sin，又圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以2×k，kZ，所以k，又0，所以，所以f(x)2sin 2x，因?yàn)閤.所以2x，f(x)，2，所以f(x)的最小值是.1(2014·全國卷)在函數(shù)ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x，ytan中，最小正周期為的所有函數(shù)為()ABC DCycos|2x|cos 2x，T.由圖象知，函數(shù)的周期T.T.T.綜上可知，最小正周期為的所有函數(shù)為.2(2016·全國卷)將函數(shù)y2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sinD函數(shù)y2sin的周期為，將函數(shù)y2sin的圖象向右平移個(gè)周期即個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2sin2sin，故選D.3(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()Af(x)的最小正周期為，最大值為3Bf(x)的最小正周期為，最大值為4Cf(x)的最小正周期為2，最大值為3Df(x)的最小正周期為2，最大值為4B易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)xk(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4.4(2016·全國卷)函數(shù)ysin xcos x的圖象可由函數(shù)y2sin x的圖象至少向右平移_個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)sin xcos x2sin，函數(shù)ysin xcos x的圖象可由函數(shù)y2sin x的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到5(2016·全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.由題意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tan.