浙江省2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 微專題五 以特殊三角形為背景的計(jì)算與證明訓(xùn)練1如圖，在RtABC中，ACB90°，BAC30°，E為AB邊的中點(diǎn)，以BE為邊作等邊BDE，連結(jié)AD，CD.(1)求證：ADECDB；(2)若BC，在AC邊上找一點(diǎn)H，使得BHEH最小，并求出這個(gè)最小值2如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別同時(shí)從點(diǎn)A，B，C出發(fā)，以相同的速度在AB，BC，CA上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DE，EF，DF.(1)證明：DEF是等邊三角形；(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CEF是直角三角形時(shí)，試求的值3從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線(1)如圖1，在ABC中，CD為角平分線，A40°，B60°，求證：CD為ABC的完美分割線；(2)在ABC中，A48°，CD是ABC的完美分割線，且ACD為等腰三角形，求ACB的度數(shù)；(3)如圖2，在ABC中，AC2，BC，CD是ABC的完美分割線，且ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)4如圖，ABC和ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，BACDAE90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)(1)求證：BDCE；(2)若AB2，AD1，把ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EAC90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)5如圖，直角ABC中，A為直角，AB6，AC8.點(diǎn)P，Q，R分別在AB，BC，CA邊上同時(shí)開始作勻速運(yùn)動(dòng)，2秒后三個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R由點(diǎn)C出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：(1)求證：APR，BPQ，CQR的面積相等；(2)求PQR面積的最小值；(3)用t(秒)(0t2)表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間，是否存在t，使PQR90°？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6問(wèn)題：(1)如圖1，在RtABC中，ABAC，D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為_；探索：(2)如圖2，在RtABC與RtADE中，ABAC，ADAE，將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：(3)如圖3，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45°.若BD9，CD3，求AD的長(zhǎng) 參考答案1(1)證明：在RtABC中，BAC30°，E為AB邊的中點(diǎn)，BCEA，ABC60°.DEB為等邊三角形，DBDE，DEBDBE60°，DEA120°，DBC120°，DEADBC，ADECDB.(2)解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)H，連結(jié)EH，AE，則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn)由作圖可知，EHHE，AEAE，EACBAC30°，EAE60°，EAE為等邊三角形，EEEAAB，AEB90°.在RtABC中，BAC30°，BC，AB2，AEAE，BE3，BHEH的最小值為3.2(1)證明：ABC是等邊三角形，ABC60°，ABBCCA.ADBECF，BDCEAF.在ADF，BED和CFE中，ADFBEDCFE，F(xiàn)DDEEF，DEF是等邊三角形(2)解：ABC和DEF是等邊三角形，DEFABC.當(dāng)DEBC時(shí)(EFBC時(shí)，同理)，BDE30°，BEBD，即BEBC，CEBC.EFEC·sin 60°BC·BC，()2()2.3(1)證明：A40°，B60°，ACB80°，ABC不是等腰三角形CD平分ACB，ACDBCDACB40°，ACDA40°，ACD為等腰三角形DCBA40°，CBDABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割線 (2)解：當(dāng)ADCD時(shí)，如圖，則ACDA48°.BDCBCA，BCDA48°，ACBACDBCD96°.當(dāng)ADAC時(shí)，如圖，則ACDADC66°.BDCBCA，BCDA48°，ACBACDBCD114°.當(dāng)ACCD時(shí)，如圖，則ADCA48°.BDCBCA，BCDA48°.ADCBCD48°與ADC>BCD矛盾，ACCD不成立綜上所述，ACB96°或114°.(3)解：由已知得ADAC2.BCDBAC，.設(shè)BDx(x>0)，則()2x(x2)，解得x1(負(fù)值舍去)，CD×2.4(1)證明：ABC和ADE是等腰直角三角形，BACDAE90°，ABAC，ADAE，DABEAC，ADBAEC，BDCE.(2)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BEABAE1.EAC90°，CE.同(1)可證ADBAEC，DBAECA.PEBAEC，PEBAEC，PB.如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE3.EAC90°，CE.同(1)可證ADBAEC，DBAECA.BEPCEA，PEBAEC，PB.綜上所述，PB的長(zhǎng)為或.5(1)證明：在RtABC中，AB6，AC8，BC10，sinB，sinC.如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QEAB于點(diǎn)E，作QDAC于點(diǎn)D.在RtBQE中，BQ5t，sinB，QE4t.在RtCDQ中，CQBCBQ105t，QDCQ·sinC(105t)3(2t)，QEBQ·sinB5t·4t.由運(yùn)動(dòng)知AP3t，CR4t，BPABAP63t3(2t)，ARACCR84t4(2t)，SAPRAP·AR×3t×4(2t)6t(2t)，SBPQBP·QE×3(2t)×4t6t(2t)，SCQRCR·QD×4t×3(2t)6t(2t)，SAPRSBPQSCQR，APR，BPQ，CQR的面積相等(2)解：由(1)知，SAPRSBPQSCQR6t(2t)AB6，AC8，SPQRSABC(SAPRSBPQSCQR)×6×83×6t(2t)2418(2tt2)18(t1)26.0t2，當(dāng)t1時(shí)，SPQR最小6.(3)解：存在由(1)知QE4t，QD3(2t)，AP3t，CR4t，AR4(2t)，BPABAP63t3(2t)，ARACCR84t4(2t)A90°，四邊形AEQD是矩形，AEDQ3(2t)，ADQE4t，DR|ADAR|4t4(2t)|4(2t2)|，PE|APAE|3t3(2t)|3(2t2)|.DQE90°，PQR90°，DQREQP，tanDQRtanEQP.在RtDQR中，tanDQR，在RtEQP中，tanEQP，t或1.6解：(1) BCDCEC(2)BD2CD22AD2，理由如下：如圖，連結(jié)CE.BACBADDAC90°，DAECAEDAC90°，BADCAE.在BAD與CAE中，BADCAE，BDCE，ACEB，DCE90°，CE2CD2ED2.在RtADE中，AD2AE2ED2，ADAE，BD2CD2ED2，EDAD，BD2CD22AD2.(3)如圖，作AEAD，使AEAD，連結(jié)CE，DE.BACCADDAECAD，即BADCAE.在BAD與CAE中，BADCAE(SAS)，BDCE9.ADC45°，EDA45°，EDC90°，DE6.DAE90°，ADAEDE6.