第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1根式(1)根式的概念若xna，則x叫做a的n次方根，其中n>1且nN*.式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)a的n次方根的表示：xna(2)根式的性質(zhì)()na(nN*，且n>1)2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a>0，m，nN*，且n>1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)arasars(a>0，r，sQ)；(ar)sars(a>0，r，sQ)；(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)yax(a>0，且a1)圖象0<a<1a>1圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升性質(zhì)定義域R值域(0，)單調(diào)性減增函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x0時(shí)，y1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>14.指數(shù)函數(shù)的變化特征在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx(a1，b1，0c1，0d1)的圖象，如圖所示作出直線x1，分別與四個(gè)圖象自上而下交于點(diǎn)A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底數(shù)的大小關(guān)系是：ab1cd0.根據(jù)y軸右側(cè)的圖象，也可以利用口訣：“底大圖高”來記憶疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)yax是R上的增函數(shù)()(4)函數(shù)yax21(a>1)的值域是(0，)()(5)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(6)若am<an(a>0，且a1)，則m<n.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×教材衍化1(必修1P59A組T4改編)化簡(x<0，y<0)_解析：因?yàn)閤<0，y<0，所以4(16x8·y4)(16)·(x8)·(y4)2x2|y|2x2y.答案：2x2y2(必修1P55“思考”改編)函數(shù)y2x與y2x的圖象關(guān)于_對稱解析：作出y2x與y2x的圖象(圖略)，觀察可知其關(guān)于y軸對稱答案：y軸3(必修1P56例6改編)已知函數(shù)f(x)ax22(a>0且a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為_解析：令x20，則x2，f(2)3，即A的坐標(biāo)為(2，3)答案：(2，3)易錯(cuò)糾偏(1)忽略n的范圍導(dǎo)致式子(aR)化簡出錯(cuò)；(2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯(cuò)；(3)指數(shù)函數(shù)問題時(shí)刻注意底數(shù)的兩種情況；(4)復(fù)合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯(cuò)1計(jì)算_解析：(1)(1)2.答案：22若函數(shù)f(x)(a23)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a_解析：由題意知即a2.答案：23若函數(shù)f(x)ax在1，1上的最大值為2，則a_解析：當(dāng)a>1時(shí)，a2；當(dāng)0<a<1時(shí)a12，即a.答案：2或4函數(shù)y2的值域?yàn)開解析：因?yàn)?，所以2>0且21.答案：(0，1)(1，)指數(shù)冪的運(yùn)算 化簡下列各式：(1)22·(0.01)0.5；(2)a·b2·÷(a，b>0)【解】(1)原式1×1×1.(2)原式ab3÷ab3÷a·b·.指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運(yùn)算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答提醒運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一 化簡下列各式：(1)(0.027)；(2)·.解：(1)原式0.32 .(2)原式.指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)21x的大致圖象為()(2)函數(shù)f(x)|axb|(a>0，a1，bR)的圖象如圖所示，則ab的取值范圍是_(3)若方程|3x1|k有一解，則k的取值范圍為_【解析】(1)函數(shù)f(x)21x2×，單調(diào)遞減且過點(diǎn)(0，2)，選項(xiàng)A中的圖象符合要求(2)因?yàn)楦鶕?jù)圖象得a>1，f()0，b<0.所以b0，所以aba>10.(3)函數(shù)y|3x1|的圖象是由函數(shù)y3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示當(dāng)k0或k1時(shí)，直線yk與函數(shù)y|3x1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解【答案】(1)A(2)(0，)(3)01，)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個(gè)技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解 1函數(shù)y(a>1)的圖象大致是()解析：選B.y因?yàn)閍>1，依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征可知選B.2若函數(shù)y21xm的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍為_解析：ym，函數(shù)y的圖象如圖所示，則要使其圖象不經(jīng)過第一象限，則m2.答案：(，2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(高頻考點(diǎn))指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是其單調(diào)性，特別受到高考命題專家的青睞，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)比較指數(shù)式的大?。?2)解簡單的指數(shù)方程或不等式；(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；(4)函數(shù)的值域(最值)角度一比較指數(shù)式的大小 設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aa<b<c Ba<c<bCb<a<c Db<c<a【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y0.6x是減函數(shù)，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因?yàn)楹瘮?shù)y1.5x在(0，)上是增函數(shù)，0.6>0，所以1.50.6>1.501，即c>1.綜上，b<a<c.【答案】C角度二解簡單的指數(shù)方程或不等式 設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，3) B(1，)C(3，1) D(，3)(1，)【解析】當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為7<1，即<8，即<，因?yàn)?<<1，所以a>3，此時(shí)3<a<0；當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)<1可化為<1，所以0a<1.故a的取值范圍是(3，1)故選C.【答案】C角度三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 (1)函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_(2)(2020·金華十校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于_【解析】(1)設(shè)ux22x1，因?yàn)閥在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間又ux22x1的增區(qū)間為(，1，所以f(x)的減區(qū)間為(，1(2)因?yàn)閒(x)2|xa|，所以f(x)的圖象關(guān)于xa對稱又由f(1x)f(1x)，知f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，故a1，且f(x)的增區(qū)間是1，)，由函數(shù)f(x)在m，)上單調(diào)遞增，知m，)1，)，所以m1，故m的最小值為1.【答案】(1)(，1(2)1角度四函數(shù)的值域(最值) 如果函數(shù)ya2x2ax1(a>0，a1)在區(qū)間1，1上的最大值是14，則a的值為()A. B1C3 D.或3【解析】令axt，則ya2x2ax1t22t1(t1)22.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，所以ymax(a1)2214，解得a3(負(fù)值舍去)當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，則ymax214，解得a(負(fù)值舍去)綜上知a3或a.【答案】D有關(guān)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的問題類型及解題思路(1)比較指數(shù)冪大小問題，常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)(2)求解簡單的指數(shù)不等式問題，應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論(3)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決提醒在研究指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)與“1”的大小關(guān)系不明確時(shí)，要分類討論 1已知函數(shù)f(x)axb(a0，a1)的定義域和值域都是1，0，則ab_解析：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)axb在1，0上為增函數(shù)，由題意得無解當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)axb在1，0上為減函數(shù)，由題意得解得所以ab.答案：2已知函數(shù)f(x)的值域是8，1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)0x4時(shí)，f(x)8，1，當(dāng)ax<0時(shí)，f(x)，所以8，1，即8<1，即3a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，0)答案：3，0)基礎(chǔ)題組練1函數(shù)f(x)1e|x|的圖象大致是()解析：選A.將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)1e|x|是偶函數(shù)，且值域是(，0，只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)2化簡4a·b÷的結(jié)果為()A BC D6ab解析：選C.原式ab6ab1，故選C.3下列各式比較大小正確的是()A1.72.5>1.73 B0.61>0.62C0.80.1>1.250.2 D1.70.3<0.93.1解析：選B.A中，因?yàn)楹瘮?shù)y1.7x在R上是增函數(shù)，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因?yàn)閥0.6x在R上是減函數(shù)，1<2，所以0.61>0.62.C中，因?yàn)?.811.25，所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小因?yàn)閥1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.80.1<1.250.2.D中，因?yàn)?.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.4(2020·寧波效實(shí)中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)a|2x4|(a>0，a1)滿足f(1)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：選B.由f(1)得a2.又a>0，所以a，因此f(x).因?yàn)間(x)|2x4|在2，)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是2，)5已知函數(shù)yf(x)與yF(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)函數(shù)yf(x)和yF(x)在區(qū)間a，b同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間a，b叫作函數(shù)yf(x)的“不動(dòng)區(qū)間”，若區(qū)間1，2為函數(shù)y|2xt|的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A(0，2 B.C. D.解析：選C.因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)與yF(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以F(x)f(x)|2xt|，因?yàn)閰^(qū)間1，2為函數(shù)f(x)|2xt|的“不動(dòng)區(qū)間”，所以函數(shù)f(x)|2xt|和函數(shù)F(x)|2xt|在1，2上單調(diào)性相同，因?yàn)閥2xt和函數(shù)y2xt的單調(diào)性相反，所以(2xt)(2xt)0在1，2上恒成立，即1t(2x2x)t20在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，即t2，故答案為C.6指數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(m，3)，則f(0)f(m)_解析：設(shè)f(x)ax(a0且a1)，所以f(0)a01.且f(m)am3.所以f(0)f(m)1am1.答案：7(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知exx3x10，27y33y10，則ex3y的值為_解析：因?yàn)閑xx3x10，27y33y10等價(jià)于e3y(3y)3(3y)10，所以x3y，即x3y0，所以ex3ye01.答案：18若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：依題意，a應(yīng)滿足解得<a.答案：9當(dāng)x(，1時(shí)，不等式(m2m)·4x2x<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：原不等式變形為m2m<，因?yàn)楹瘮?shù)y在(，1上是減函數(shù)，所以2，當(dāng)x(，1時(shí)，m2m<恒成立等價(jià)于m2m<2，解得1<m<2.答案：(1，2)10已知函數(shù)f(x).(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而y在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值1，因此必有解得a1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值為1.11已知函數(shù)f(x)a|xb|(a>0，a1，bR)(1)若f(x)為偶函數(shù)，求b的值；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件解：(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對任意的xR，都有f(x)f(x)，即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.(2)記h(x)|xb|當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，所以b2，b2.當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間2，)上是減函數(shù)，但h(x)在區(qū)間b，)上是增函數(shù)，故不存在a，b的值，使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)所以f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)時(shí)，a，b應(yīng)滿足的條件為a>1且b2.綜合題組練1已知函數(shù)f(x)|2x1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()Aa<0，b<0，c<0 Ba<0，b0，c>0C2a<2c D2a2c<2解析：選D.作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象，如圖，因?yàn)閍<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.所以f(a)|2a1|12a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.所以1<2c<2，所以f(c)|2c1|2c1，又因?yàn)閒(a)>f(c)，所以12a>2c1，所以2a2c<2，故選D.2(2020·衢州市高考模擬)已知函數(shù)f(x)，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有()A0對 B1對C2對 D3對解析：選B.作出函數(shù)yf(x)圖象如圖所示：再作出yf(x)，即yx24x，恰好與函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)部分(對數(shù)函數(shù)的圖象)關(guān)于原點(diǎn)對稱，記為曲線C，發(fā)現(xiàn)y與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此滿足條件的對稱點(diǎn)只有一對，圖中的A、B就是符合題意的點(diǎn)故選B.3(2020·杭州模擬)已知函數(shù)yaxb(a>0，且a1，b>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，如圖所示，則的最小值為_，此時(shí)a，b的值分別為_解析：由函數(shù)yaxb(a>0且a1，b>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，得ab3，所以1，又a>1，則22，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)取等號，所以的最小值為.答案：，4(2020·紹興一中高三期中)已知函數(shù)f(x)e|x|，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位后，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，函數(shù)h(x)若對于任意的x3，(>3)，都有h(x)g(x)，則實(shí)數(shù)的最大值為_解析：依題意，g(x)f(x3)2e|x3|2，在同一坐標(biāo)系中分別作出g(x)，h(x)的圖象如圖所示，觀察可得，要使得h(x)g(x)，則有4e6x2e(x3)2，故4e2x9，解得2x9ln 4，故xln 2，實(shí)數(shù)的最大值為ln 2.答案：ln 25已知函數(shù)f(x)2a·4x2x1.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x3，0上的值域；(2)若關(guān)于x的方程f(x)0有解，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)2·4x2x12(2x)22x1，令t2x，x3，0，則t.故y2t2t12，t，故值域?yàn)?(2)關(guān)于x的方程2a(2x)22x10有解，設(shè)2xm>0，等價(jià)于方程2am2m10在(0，)上有解，記g(m)2am2m1，當(dāng)a0時(shí)，解為m1<0，不成立當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，對稱軸m<0，過點(diǎn)(0，1)，不成立當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，對稱軸m>0，過點(diǎn)(0，1)，必有一個(gè)根為正，綜上得a>0.6(2020·寧波效實(shí)中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)，x1，1，函數(shù)g(x)f(x)22af(x)3的最小值為h(a)(1)求h(a)；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列條件：m>n>3；當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閚，m時(shí)，值域?yàn)閚2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由解：(1)因?yàn)閤1，1，所以f(x)，設(shè)t.則y(t)t22at3(ta)23a2.當(dāng)a<時(shí)，yminh(a)；當(dāng)a3時(shí)，yminh(a)(a)3a2；當(dāng)a>3時(shí)，yminh(a)(3)126a.所以h(a)(2)假設(shè)存在m，n滿足題意因?yàn)閙>n>3，h(a)126a在(3，)上是減函數(shù)，又因?yàn)閔(a)的定義域?yàn)閚，m，值域?yàn)閚2，m2，所以兩式相減得6(mn)(mn)(mn)，即mn6，與m>n>3矛盾，所以滿足題意的m，n不存在16