湖南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練08 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題練習(xí) 08二次函數(shù)與幾何圖形綜合題1.xx·賀州 如圖ZT8-1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,與y軸交于點C(0,3),拋物線的頂點坐標(biāo)為D(-1,4).(1)求A,B兩點的坐標(biāo).(2)求拋物線的表達(dá)式.(3)過點D作直線DEy軸,交x軸于點E,點P是拋物線上B,D兩點間的一個動點(點P不與B,D兩點重合),PA,PB與直線DE分別交于點F,G,當(dāng)點P運動時,EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.圖ZT8-12.xx·連云港 如圖ZT8-2,圖形ABCD是由兩個二次函數(shù)y1=kx2+m(k<0)與y2=ax2+b(a>0)的部分圖象圍成的封閉圖形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3).(1)直接寫出這兩個二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形(正方形的四個頂點在圖形ABCD上),并說明理由;(3)如圖,連接BC,CD,AD,在坐標(biāo)平面內(nèi),求使得BDC與ADE相似(其中點C與點E是對應(yīng)頂點)的點E的坐標(biāo).圖ZT8-23.xx·益陽 如圖ZT8-3,已知拋物線y=x2-x-n(n>0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.(1)如圖,若ABC為直角三角形,求n的值;(2)如圖,在(1)的條件下,點P在拋物線上,點Q在拋物線的對稱軸上,若以BC為邊,以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的坐標(biāo);(3)如圖,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點D,交y軸于點E,若AEED=14,求n的值.圖ZT8-34.xx·齊齊哈爾 綜合與探究:如圖ZT8-4所示,直線y=x+c與x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A,C.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)點E在拋物線的對稱軸上,求CE+OE的最小值;(3)如圖所示,M是線段OA上的一個動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P,N.若以C,P,N為頂點的三角形與APM相似,則CPN的面積為; 若點P恰好是線段MN的中點,點F是直線AC上一個動點,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點D,使以點D,F,P,M為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.圖ZT8-45.xx·濰坊 如圖ZT8-5,拋物線y1=ax2-x+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C0,拋物線y1的頂點為G,GMx軸于點M.將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2.(1)求拋物線y2的解析式.(2)如圖,在直線l上是否存在點T,使TAC是等腰三角形?若存在,請求出所有點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(3)點P為拋物線y1上一動點,過點P作y軸的平行線,交拋物線y2于點Q,點Q關(guān)于直線l的對稱點為R.若以P,Q,R為頂點的三角形與AMG全等,求直線PR的解析式.圖ZT8-56.xx·樂山 如圖ZT8-6,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點,交y軸于點C0,-,OA=1,OB=4,直線l過點A,交y軸于點D,交拋物線于點E,且滿足tanOAD=.(1)求拋物線的解析式.(2)動點P從點B出發(fā),沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度向點A運動,動點Q從點A出發(fā),沿射線AE以每秒1個單位長度的速度向點E運動,當(dāng)點P運動到點A時,點Q也停止運動,設(shè)運動時間為t秒.在P,Q的運動過程中,是否存在某一時刻t,使得ADC與PQA相似?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.在P,Q的運動過程中,是否存在某一時刻t,使得APQ與CAQ的面積之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.圖ZT8-6參考答案1.解:(1)由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,得點A的坐標(biāo)為(-3,0),點B的坐標(biāo)為(1,0).(2)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1).把點C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,得a(0+3)(0-1)=3.解得a=-1.故拋物線的表達(dá)式為y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值).理由如下:過點P作PQy軸,交x軸于Q,如圖.設(shè)P(t,-t2-2t+3),則PQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t.PQEF,AEFAQP.=,EF=×(-t2-2t+3)=2(1-t).PQEG,BEGBQP.=.EG=2(t+3).EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.2.解:(1)二次函數(shù)y1=kx2+m的圖象經(jīng)過點A,B,解得二次函數(shù)y1=kx2+m的解析式為:y1=-x2+1.二次函數(shù)y2=ax2+b的圖象經(jīng)過點A,D,解得二次函數(shù)y2=ax2+b的解析式為y2=3x2-3.(2)設(shè)M(x,-x2+1)為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點,M'(x,3x2-3)為第四象限內(nèi)的圖形ABCD上一點,MM'=(1-x2)-(3x2-3)=4-4x2.由拋物線的對稱性知,若有內(nèi)接正方形,則2x=4-4x2,即2x2+x-2=0.解得x=或x=(舍),0<<1,存在內(nèi)接正方形,此時其邊長為.(3)在RtAOD中,OA=1,OD=3,AD=,同理CD=.在RtBOC中,OB=OC=1,BC=.如圖,當(dāng)DBCDAE時,CDB=ADO,在y軸上存在一點E滿足條件.由=,得=.DE=.D(0,-3),E0,-.由對稱性知,在直線DA右側(cè)還存在一點E'使得DBCDAE',連接EE',交DA于點F,作E'MOD,垂足為M,連接E'D.E,E'關(guān)于DA對稱,DF垂直平分EE'.DEFDAO.=,即=.DF=,EF=.SDEE'=DE·E'M=EF·DF=,E'M=.又DE'=DE=,在RtDE'M中,DM=2,OM=1,得E',-1.所以,使得DBCDAE的點E的坐標(biāo)為0,-或,-1.如圖,當(dāng)DBCADE時,有BDC=DAE,=,即=,得AE=.當(dāng)E在直線DA左側(cè)時,設(shè)AE交y軸于點P,作EQAC,垂足為Q.BDC=DAE=ODA,PD=PA.設(shè)PD=x,則PO=3-x,PA=x.在RtAOP中,由PA2=OA2+OP2,得x2=(3-x)2+1.解得x=.PA=,PO=.AE=,PE=.OPEQ,=.OQ=.又=,QE=2.E-,-2.當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時,DAE'=BDC,又BDC=BDA,BDA=DAE'.AE'OD.E'1,-.使得DBCADE的點E的坐標(biāo)為-,-2或1,-.綜上,使得BDC與ADE相似(其中點C與點E是對應(yīng)頂點)的點E有4個,其坐標(biāo)為0,-或,-1或-,-2或1,-.3.解:(1)若ABC為直角三角形,則AOCCOB.=,即OC2=OA·OB.由拋物線y=x2-x-n(n>0),可得OC=n,OA·OB=2n.n2=2n.解得n1=2,n2=0(舍去).n=2.(2)由(1)可知,拋物線的對稱軸為直線x=,拋物線的解析式為y=x2-x-2.令y=0,得x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=4,A(-1,0),B(4,0).設(shè)點Pm,m2-m-2.當(dāng)直線PQBC,點P在點Q的左側(cè)時(如圖所示),當(dāng)BOC平移到QNP的位置時,四邊形PQBC為平行四邊形,此時NQ=OB,即-m=4,m=-,m2-m-2=,此時點P的坐標(biāo)為-,;當(dāng)點P在點Q的右側(cè)時(如圖所示),同理可得m-=4,m=,m2-m-2=,此時點P的坐標(biāo)為,.綜上所述,滿足條件的點P的坐標(biāo)為-,.(3)如圖,過點D作DFx軸,垂足為F,則AOOF=AEED=14.設(shè)A(a,0),B(b,0),則AO=-a,OF=-4a.ADBC,OBC=DAO.BOC=AFD=90°,BOCAFD.=,即=.=.由題意,得ab=-2n.=-.DF=-5a·=-5a·-=a2.點A,D在拋物線上,解得n的值為.4.解:(1)將A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.點C的坐標(biāo)為(0,4).將(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.拋物線的解析式為y=-x2-3x+4.(2)如圖所示,作點C關(guān)于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C',連接OC'交直線l于點E,連接CE,此時CE+OE的值最小,且CE+OE=OC'.拋物線的對稱軸為直線x=-=-,則C'C=3,在RtC'CO中,由勾股定理,得OC'=5.CE+OE的最小值為5.(3)由題意易知APM為等腰直角三角形.設(shè)M(a,0),則N(a,-a2-3a+4),P(a,a+4).當(dāng)AMPCNP時,=,得=,解得a=-4(舍去)或a=-3或a=0(舍去).CN=3,PN=3.CPN的面積為·CN·PN=.當(dāng)AMPNCP時,=,得=,解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去).CN=CP=2.CPN的面積為·CN·PC=4.故答案為或4.存在.D1,D2,-,D3(-4,3),D4,.理由如下:當(dāng)點P是線段MN的中點時,-a2-3a+4=2(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-1.M(-1,0),P(-1,3),N(-1,6).設(shè)F(f,f+4),過點M作AC的平行線,易知此直線的解析式為y=x+1.易知PM=3,當(dāng)PM為菱形的邊時,作PF=PM,過F作FDPM,交直線y=x+1于點D,D(f,f+1).32=2(f+1)2,解得f=.則D1,D2,-.PM=AM=3,當(dāng)點F與點A重合時,過點F作DFPM(D在x軸上方),且DF=PM,連接DP,可得出四邊形DPMF為菱形.點D的坐標(biāo)為(-4,3).當(dāng)PM為菱形的對角線時,作PM的垂直平分線,交直線AC于點F,作點F關(guān)于PM的對稱點D,連接MF,MD,PD,此時四邊形DMFP為菱形.將y=代入直線AC的解析式可得x=-,點F的坐標(biāo)為-,.直線PM的解析式為x=-1,點D的坐標(biāo)為,.綜上所述,滿足條件的點為D1,D2,-,D3(-4,3),D4,.5.解:(1)將B(1,0)和C0,代入拋物線y1=ax2-x+c,得解得所以拋物線的解析式為y1=-x2-x+.由題意可知平移后拋物線y2的頂點為B(1,0),故拋物線y2的解析式為y2=-(x-1)2,即y2=-x2+x-.(2)存在.令y1=0,解得x=-3或x=1.由題意知B(1,0),故A(-3,0).設(shè)T(1,t),又C0,所以AC2=32+2=,AT2=(1+3)2+t2=t2+16,CT2=12+t-2=t2-t+.若AC=AT,則t2+16=,方程無解,故此時不存在;若AC=CT,則t2-t+=,解得t=,此時點T的坐標(biāo)為1,或1,;若AT=CT,則t2-t+=t2+16,解得t=-,此時點T的坐標(biāo)為1,-.故點T的坐標(biāo)為1,或1,或1,-.(3)由題意知G(-1,1),則AM=2,GM=1.若PQR與AMG全等,則PQ=1,QR=2或PQ=2,QR=1.分類一:若QR=2,由拋物線y2的對稱軸為直線x=1,得點Q的橫坐標(biāo)為0或2.當(dāng)x=0時,y1=,y2=-,此時PQ=-=1,滿足題意,則P0,R2,-,直線PR的解析式為y=-x+.當(dāng)x=2時,y1=-,y2=-,此時PQ=-=1,滿足題意,則P2,-,R0,-,直線PR的解析式為y=-x-.分類二:若QR=1,由拋物線y2的對稱軸為直線x=1,得點Q的橫坐標(biāo)為或.當(dāng)x=時,y1=,y2=-,此時PQ=-=2,不滿足題意.當(dāng)x=時,y1=-,y2=-,此時PQ=-=2,不滿足題意.綜上所述,滿足題意的直線PR的解析式為y=-x+或y=-x-.6.解:(1)OA=1,OB=4,A(1,0),B(-4,0).設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-1).C0,-在拋物線上,-=a×4×(-1).解得a=.拋物線的解析式為y=(x+4)(x-1),即y=x2+x-.(2)存在t,使得ADC與PQA相似.其理由如下:在RtAOC中,OA=1,OC=,則AC=,tanACO=.又tanOAD=,OAD=ACO.在RtAOD中,tanOAD=,OA=1,OD=.CD=-=.在AQP中,AP=AB-PB=5-2t,AQ=t.由PAQ=ACD,要使ADC與PQA相似,只需=或=,則有=或=,解得t1=,t2=.t1<2.5,t2<2.5,存在t=或,使得ADC與PQA相似.存在t,使得APQ與CAQ的面積之和最大,其理由如下:作PFAQ于點F,CNAQ于點N,如圖所示.在RtAPF中,tanPAF=,sinPAF=.PF=AP·sinPAF=(5-2t).在RtAOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=.在ADC中,由SADC=AD·CN=CD·OA,得CN=.SAPQ+SCAQ=AQ(PF+CN)=t=-t-2+.0<<,當(dāng)t=時,APQ與CAQ的面積之和最大.