(全國通用版)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六單元 圓 滾動小專題(七)與圓有關(guān)的計算與證明練習(xí)
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(全國通用版)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六單元 圓 滾動小專題(七)與圓有關(guān)的計算與證明練習(xí)
(全國通用版)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六單元 圓 滾動小專題(七)與圓有關(guān)的計算與證明練習(xí)類型1與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計算與證明1如圖,O是ABC的外接圓,AB是O的直徑,D為O上一點,ODAC,垂足為E,連接BD.(1)求證:BD平分ABC;(2)當(dāng)ODB30°時,求證:BCOD.證明:(1)ODAC,OD為半徑,.CBDABD.BD平分ABC.(2)OBOD,OBDODB30°.AODOBDODB30°30°60°.又ODAC于E,OEA90°.A180°OEAAOD30°.又AB為O的直徑,ACB90°.在RtACB中,BCAB.又ODAB,BCOD.2(xx·溫州)如圖,D是ABC的BC邊上一點,連接AD,作ABD的外接圓,將ADC沿直線AD折疊,點C的對應(yīng)點E落在O上(1)求證:AEAB;(2)若CAB90°,cosADB,BE2,求BC的長解:(1)證明:由題意,得ADEADC,AEDACD,AEAC.ABDAED,ABDACD.ABAC,AEAB.(2)過點A作AHBE于點H.ABAE,BE2.BHEH1.ABEAEBADB,cosADB,cosABEcosADB.ACAB3.BAC90°,ACAB,BC3.3(xx·包頭)如圖,在RtACB中,ACB90°,以點A為圓心,AC長為半徑的圓交AB于點D,BA的延長線交A于點E,連接CD,CE,F(xiàn)是A上一點,點F與點C位于BE兩側(cè),且FABABC,連接BF.(1)求證:BCDBEC;(2)若BC2,BD1,求CE的長及sinABF的值解:(1)證明:ACB90°,BCDACD90°.DE是A的直徑,DCE90°.BECCDE90°.ADAC,CDEACD.BCDBEC.(2)BCDBEC,CBDEBC,BDCBCE.BC2,BD1,BE4,EC2CD.DEBEBD3.在RtDCE中,DE2CD2CE29.CD.CE.過點F作FMAB于點M,F(xiàn)ABABC,F(xiàn)MAACB90°,AFMBAC.DE3,ADAFAC,AB.FM.過點F作FNBC于點N,F(xiàn)NC90°.FABABC,F(xiàn)ABC.FACACB90°.四邊形FNCA是矩形FNAC,NCAF,BN.在RtFBN中,BF,在RtFBM中,sinABF.類型2與圓的切線有關(guān)的計算與證明4(xx·濱州)如圖,AB為O的直徑,點C在O上,ADCD于點D,且AC平分DAB.求證:(1)直線DC是O的切線;(2)AC22AD·AO.證明:(1)連接OC.OAOC,OACOCA.AC平分DAB,OACDAC.DACOCA.OCAD.又ADCD,OCDC.OC為O的半徑,DC是O的切線(2)連接BC.AB為O的直徑,AB2AO,ACB90°.ADDC,ADCACB90°.又DACCAB,DACCAB.,即AC2AB·AD.AC22AD·AO.5(xx·金華)如圖,已知:AB是O的直徑,點C在O上,CD是O的切線,ADCD于點D,E是AB延長線上一點,CE交O于點F,連接OC,AC.(1)求證:AC平分DAO;(2)若DAO105°,E30°.求OCE的度數(shù);若O的半徑為2,求線段EF的長解:(1)證明:直線CD與O相切,OCCD.又ADCD,ADOC.DACOCA.又OCOA,OACOCA.DACOAC.AC平分DAO.(2)ADOC,EOCDAO105°,E30°,OCE45°.過點O作OGCE于點G,可得FGCG.OC2,OCE45°,OGCG2.FG2.在RtOGE中,E30°,GE2.EFGEFG22.6(xx·蘇州)如圖,AB是O的直徑,點C在O上,AD垂直于過點C的切線,垂足為D,CE垂直AB,垂足為E,延長DA交O于點F,連接FC,F(xiàn)C與AB相交于點G,連接OC.(1)求證:CDCE;(2)若AEGE,求證:CEO是等腰直角三角形證明:(1)連接AC.CD為O的切線,OCCD.又ADCD,DCOD90°.ADOC,DACACO.又OCOA,CAOACO.DACCAO.又CEAB,CEA90°.在CDA和CEA中,CDACEA(AAS)CDCE.(2)證法一:連接BC.CDACEA,DCAECA.CEAG,AEEG,CACG.ECAECG.AB是O的直徑,ACB90°.又CEAB,ACEB.又BF,F(xiàn)ACEDCAECG.又D90°,DCFF90°.FDCAACEECG22.5°.AOC2F45°.CEO是等腰直角三角形證法二:設(shè)Fx°,則AOC2F2x°.ADOC,OAFAOC2x°.CGAOAFF3x°.CEAG,AEEG,CACG.EACCGA.DACEACCGA3x°.又DACEACOAF180°,3x°3x°2x°180°.x22.5.AOC2x°45°.CEO是等腰直角三角形7(xx·孝感)如圖,O的直徑AB10,弦AC6,ACB的平分線交O于D,過點D作DEAB交CA的延長線于點E,連接AD,BD.(1)由AB,BD,圍成的曲邊三角形的面積是;(2)求證:DE是O的切線;(3)求線段DE的長解:(2)證明:連接OD.CD平分ACB,ACDBCD.ADDB.又AB為直徑,ADDB,ADB90°.ODAB.DEAB,ODDE.又OD為O的半徑,DE是O的切線(3)AB10,AC6,BC8.過點A作AFDE于點F,則四邊形AODF是正方形,AFODFD5,BAF90°.EAFCAB90°,ABCCAB90°,EAFABC.tanEAFtanABC.,即.EF.DEDFEF5.8(xx·株洲)如圖,已知AB為O的直徑,AB8,點C和點D是O上關(guān)于直線AB對稱的兩個點,連接OC,AC,且BOC90°,直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且GAFGCE.(1)求證:直線CG為O的切線;(2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CBCH.求證:CBHOBC;求OHHC的最大值解:(1)證明:C,D關(guān)于AB對稱, GAFCAF.GAFGCE,GCECAF.OAOC,CAFACO.GCEACO.AB為直徑,ACOOCB90°.GCEOCB90°,即OCG90°.又OC為O的半徑,CG為O的切線(2)證明:OCOB,CHBC,OCBOBC,CHBCBH,CBHOBCOCBCHB.CBHOBC.CBHOBC,.BH.設(shè)BCx,則CHx,BH.OHHCx2x4(x2)25.當(dāng)x2時,OHHC的最大值為5.9(xx·婁底)如圖,C,D是以AB為直徑的O上的點,弦CD交AB于點E.(1)當(dāng)PB是O的切線時,求證:PBDDAB;(2)求證:BC2CE2CE·DE;(3)已知OA4,E是半徑OA的中點,求線段DE的長解:(1)證明:AB是O的直徑,ADB90°,即DABABD90°.PB是O的切線,ABP90°,即PBDABD90°.DABPBD.(2)證明:AC,AEDCEB,ADECBE.,即DE·CEAE·BE.連接OC.設(shè)圓的半徑為r,則OAOBOCr,則DE·CEAE·BE(OAOE)(OBOE)r2OE2.,AOCBOC90°.CE2OE2OC2OE2r2,BC2BO2CO22r2,則BC2CE22r2(OE2r2)r2OE2.BC2CE2DE·CE.(3)OA4,OBOCOA4.BC4.又E是半徑OA的中點,AEOE2.則CE2.BC2CE2DE·CE,(4)2(2)2DE·2.DE.