（全國(guó)通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 滾動(dòng)小專(zhuān)題（六）與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí)1(xx·大慶)如圖，在RtABC中，ACB90°，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)E作EFDC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.(1)證明：四邊形CDEF是平行四邊形；(2)若四邊形CDEF的周長(zhǎng)是25 cm，AC的長(zhǎng)為5 cm，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度 解：(1)證明：D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，ED是RtABC的中位線(xiàn)EDFC.BC2DE.又 EFDC，四邊形CDEF是平行四邊形(2)四邊形CDEF是平行四邊形，DCEF.DC是RtABC斜邊AB上的中線(xiàn)，AB2DC.四邊形CDEF的周長(zhǎng)ABBC.四邊形CDEF的周長(zhǎng)為25 cm，AC的長(zhǎng)5 cm，BC25AB.在RtABC中，ACB90°，AB2BC2AC2，即AB2(25AB)252.解得AB13.線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為13 cm.2如圖，在ABCD中，直線(xiàn)EF繞對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接AE，CF.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若AC2，CAF30°，則當(dāng)AF時(shí)，四邊形AECF是矩形證明：在ABCD中，ADBC，OAFOCE.點(diǎn)O是ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，OAOC.在AOF和COE中，AOFCOE(ASA)AFCE.AFCE，四邊形AECF是平行四邊形. 3(xx·揚(yáng)州)如圖，在ABCD中，DBDA，點(diǎn)F 是AB的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE. (1)求證：四邊形AEBD是菱形；(2)若DC，tanDCB3，求菱形AEBD的面積解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADCE，DAFEBF.AFDBFE，AFBF，AFDBFE(ASA)ADEB.ADEB，四邊形AEBD是平行四邊形BDAD，四邊形AEBD是菱形(2)四邊形ABCD是平行四邊形，CDAB10，ABCD.ABEDCB.tanABEtanDCB3.四邊形AEBD是菱形，ABDE，AFFB，EFDF.tanABE3.DC，BF，EF.DE3.S菱形AEBD·AB·DE××315.4(xx·上海)如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADCD，E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，且EAEC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BEBC，且CBEBCE23，求證：四邊形ABCD是正方形 證明：(1)在ADE和CDE中，ADECDE(SSS)ADECDE.ADBC，ADEDBC.BDCDBC.CDBCAD.又ADBC.四邊形ABCD是菱形(2)BEBC，BECBCE.設(shè)CBE2x°，BCEBEC3x°，則2x3x3x180，解得x22.5.CBDCDB45°.BCD90°.四邊形ABCD是正方形5(xx·荊州)如圖，對(duì)折矩形ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn)D落在MN上的點(diǎn)F處，折痕AP交MN于點(diǎn)E；延長(zhǎng)PF交AB于點(diǎn)G.求證：(1)AFGAFP；(2)APG為等邊三角形證明：(1)由折疊可知M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)DCMNAB，F(xiàn)為PG的中點(diǎn)，即PFFG.又PFAD90°，AFPAFG90°.在AFG和AFP中，AFGAFP(SAS)(2)由題意知，APDAPFAGF.12330°，APAG.PAG60°.APG為等邊三角形6(xx·吉林)如圖1，在ABC中，ABAC，過(guò)AB上一點(diǎn)D作DEAC交BC于點(diǎn)E，以E為頂點(diǎn)，ED為一邊作DEFA，另一邊EF交AC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形；(2)當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，ADEF的形狀為菱形；(3)延長(zhǎng)圖1中的DE到點(diǎn)G，使EGDE，連接AE，AG，F(xiàn)G，得到圖2.若ADAG，試判斷四邊形AEGF的形狀，并說(shuō)明理由圖1圖2解：(1)證明：DEAC，ADEDEF180°，AAFE180°.又DEFA，ADEAFE.四邊形ADEF為平行四邊形(3)四邊形AEGF為矩形證明如下：四邊形ADEF為平行四邊形；DEAF.又DEEG，EGAF.四邊形AEGF為平行四邊形又ADAG，DEEG，AEG90°.平行四邊形AEGF為矩形7(xx·北京)如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EHDE交DG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連接BH.(1)求證：GFGC；(2)用等式表示線(xiàn)段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明解：(1)證明：連接DF.點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，AEFE，DADF.在DAE和DFE中，DAEDFE(SSS)DFEA90°.DADC，DCDF.在RtDCG和RtDFG中，RtDCGRtDFG(HL)GFGC.(2)BHAE.證明：過(guò)點(diǎn)H作HIAB于點(diǎn)I.由(1)可知，EDFFDG45°.EHDE，DEH為等腰直角三角形DEAHEI90°.又DEAADE90°，ADEIEH.在DAE和EIH中，DAEEIH(AAS)AEIH，ADEI.AEBEBEBI.BIAE.AEIHBI，BHI是等腰直角三角形BHBIAE.8(xx·臨沂)將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°360°)，得到矩形AEFG.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：DFCD；(2)當(dāng)為何值時(shí)，GCGB？畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由圖1圖2解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可得，AEAB，AEFABCDAB90°，EFBCAD，AEBABE.又ABEEDAAEBDEF90°，EDADEF.又DEED，AEDFDE(SAS)DFEA.又AEABCD，CDDF.(2)當(dāng)GBGC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線(xiàn)上，分兩種情況討論： 當(dāng)點(diǎn)G在AD的右側(cè)時(shí)，取BC的中點(diǎn)H，連接GH交AD于點(diǎn)M.GCGB，GHBC.四邊形ABHM是矩形AMBHADAG.GM垂直平分AD.GDGADA.ADG是等邊三角形DAG60°，旋轉(zhuǎn)角60°.當(dāng)點(diǎn)G在AD的左側(cè)時(shí)，同理可得，ADG是等邊三角形DAG60°，旋轉(zhuǎn)角360°60°300°.