（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第3講 定點(diǎn)、定值、存在性問題練習(xí)A組1平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(1,3)，若點(diǎn)C滿足12(O為原點(diǎn))，其中1，2R，且121，則點(diǎn)C的軌跡是( A )A直線B橢圓C圓D雙曲線解析設(shè)C(x，y)，因?yàn)?2，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以點(diǎn)C的軌跡為直線故選A2過雙曲線x21的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：(x4)2y24和圓C2：(x4)2y21作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2|PN|2的最小值為( B )A10 B13 C16 D19解析由題意可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故選B3已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|2，若P是該雙曲線右支上的一點(diǎn)，且滿足|PF1|2|PF2|，則PF1F2面積的最大值是( B )A1 B C D2解析|PF1|4a，|PF2|2a，設(shè)F1PF2，cos，S2PF1F2(×4a×2a×sin)216a4(1)9(a2)2，當(dāng)且僅當(dāng)a2時，等號成立，故SPF1F2的最大值是.故選B4已知雙曲線M的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，直線x3y0是雙曲線M的一條漸近線，點(diǎn)P在雙曲線M上，且·0，如果拋物線y216x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線M的一個焦點(diǎn)，那么|·|( B )A21 B14 C7 D0解析設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，直線x3y0是雙曲線M的一條漸近線，又拋物線的準(zhǔn)線為x4，c4又a2b2c2.由得a3.設(shè)點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，由雙曲線定義得6又·0，在RtPF1F2中|2|282聯(lián)立，解得|·|14.5已知直線yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|2|FB|，則k的值為( D )A B C D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，|FA|x12，|FB|x22，x122x24，x12x22.由，得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，x1x24.由，得xx220，x21，x14，45，k2，k.6已知斜率為的直線l與拋物線y22px(p>0)交于位于x軸上方的不同兩點(diǎn)A，B，記直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則k1k2的取值范圍是(2，).解析設(shè)直線l：x2yt，聯(lián)立拋物線方程消去x得y22p(2yt)y24py2pt0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，16p28pt>0t>2p，y1y24p，y1y22pt>0t<0，即2p<t<0.x1x2(2y1t)(2y2t)4y1y22t(y1y2)t24(2pt)2t·4pt2t2，k1k2.2p<t<0，>2，即k1k2的取值范圍是(2，)7已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2y23a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)，P是拋物線y28ax與雙曲線的一個交點(diǎn)，若|PF1|PF2|12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x2.解析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得1，拋物線的準(zhǔn)線為x2a，聯(lián)立x3a，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由|PF2|6a，又易知F2為拋物線的焦點(diǎn)，|PF2|3a2a6a，得a1，拋物線的準(zhǔn)線方程為x2.8設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若tanAMB2，則|AB|8.解析依題意作出圖象如圖所示，設(shè)l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x2·1，x1x2m(y1y2)24m22.tanAMBtan(AMFBMF)，2，2，y1y24m2，44m2，m21，|AB|AF|BF|x11x214m248.9(2018·撫州一模)已知動圓C與圓x2y22x0外切，與圓x2y22x240內(nèi)切(1)試求動圓圓心C的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)P(0,2)且斜率為k(k0)的直線l與(1)中軌跡交于不同的兩點(diǎn)M，N，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的范圍；若不存在，請說明理由解析(1)由x2y22x0得(x1)2y21，由x2y22x240得(x1)2y225，設(shè)動圓C的半徑為R，兩圓的圓心分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，所以c1，a3，所以b2a2c2918，所以動圓圓心C的軌跡方程為1.(2)存在直線l的方程為ykx2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為E(x0，y0)假設(shè)存在點(diǎn)A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AEMN，由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因?yàn)锳EMN，所以kAE，即，所以m，當(dāng)k>0時，9k212，所以m<0；當(dāng)k<0時，9k12，所以0<m.因此，存在點(diǎn)A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，且實(shí)數(shù)m的取值范圍為，0)(0，B組1如圖，橢圓E：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.()求橢圓E的方程；()經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.解析()由題意知，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以，橢圓的方程為y21.()證明：由題設(shè)知，直線PQ的方程為yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2.從而直線AP與AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)×2k(2k)×2k2(k1)2.2設(shè)點(diǎn)P是曲線C：x22py(p>0)上的動點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)的距離和它到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為.(1)求曲線C的方程；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過P作斜率為k(k0)的直線交C于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點(diǎn)N，問是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線MN與曲線C相切？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由解析(1)依題意知1，解得p.所以曲線C的方程為x2y.(2)由題意直線PQ的方程為：yk(x1)1，則點(diǎn)M(1，0)聯(lián)立方程組，消去y得x2kxk10，得Q(k1，(k1)2)所以得直線QN的方程為y(k1)2(xk1)代入曲線方程yx2中，得x2x1(1k)20.解得N(1k，(1k)2)所以直線MN的斜率kMN.過點(diǎn)N的切線的斜率k2(1k)由題意有2(1k)解得k.故存在實(shí)數(shù)k使命題成立