（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第2講 圓錐曲線的概念與性質(zhì)、與弦有關(guān)的計算問題練習(xí)A組1拋物線y22px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線方程為( B )Ay26xBy28xCy216x Dy2x解析依題意，設(shè)M(x，y)，因為|OF|，所以|MF|2p，即x2p，解得x，yp.又MFO的面積為4，所以××p4，解得p4.所以拋物線方程為y28x.2若雙曲線1(a>0，b>0)和橢圓1(m>n>0)有共同的焦點F1、F2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2| ( D )Am2a2 B C(ma) Dma解析不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點，P在雙曲線的右支上，由題意得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，|PF1|，|PF2|，故|PF1|·|PF2|ma.3(文)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為( D )A BC D解析由題利用雙曲線的漸近線經(jīng)過點(3，4)，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可因為雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e，故選D(理)已知雙曲線1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為( D )A1 B1C1 D1解析根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，不妨設(shè)交點A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四邊形ABCD的面積為4xAyA2b，解得b212，故所求的雙曲線方程為1，故選D4(2018·重慶一模)已知圓(x1)2y2的一條切線ykx與雙曲線C：1(a>0，b>0)有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( D )A(1，) B(1,2)C(，) D(2，)解析由題意，圓心到直線的距離d，所以k±，因為圓(x1)2y2的一條切線ykx與雙曲線C：1(a>0，b>0)有兩個交點，所以>，所以1>4，所以e>2.5(2018·濟南一模)已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|( B )AB3CD2解析如圖所示，因為4，所以，過點Q作QMl垂足為M，則MQx軸，所以，所以|MQ|3，由拋物線定義知|QF|QM|3.6(2018·泉州一模)已知拋物線C：y22px(p>0)的準線l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與點C的一個交點為點B，若，則p2.解析設(shè)直線AB：yx，代入y22px得：3x2(62p)x30，又因為，即M為A，B的中點，所以xB()2，即xB2，得p24p120，解得p2，p6(舍去)7已知雙曲線x21的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為2.解析由已知得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)設(shè)P(x，y)(x1)，則·(1x，y)·(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，則f(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為2.8已知橢圓C：1，點M與橢圓C的焦點不重合若M關(guān)于橢圓C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在橢圓C上，則|AN|BN|12.解析取MN的中點G，G在橢圓C上，因為點M關(guān)于C的焦點F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，故有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF|1|GF|2)4a12.9(2018·郴州三模)已知拋物線E：y28x，圓M：(x2)2y24，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)點Q(x0，y0)(x05)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求QAB面積的最小值解析(1)設(shè)P(x，y)，則點N(2x,2y)在拋物線E：y28x上，所以4y216x，所以曲線C的方程為y24x.(2)設(shè)切線方程為yy0k(xx0)令y0，可得xx0，圓心(2,0)到切線的距離d2，整理可得(x4x0)k2(4y02x0y0)ky40，設(shè)兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1k2，k1k2，所以QAB面積S|(x0)(x0)|y02·22(x01)2設(shè)tx014，)，則f(t)2(t2)在4，)上單調(diào)遞增，所以f(t)，即QAB面積的最小值為.B組1若a>1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是( C )A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)解析由題意得雙曲線的離心率e.e21.a>1，0<<1，1<1<2，1<e<.故選C2已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為( A )A B C D解析解法一：設(shè)E(0，m)，則直線AE的方程為1，由題意可知M(c，m)，(0，)和B(a,0)三點共線，則，化簡得a3c，則C的離心率e.解法二：如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)由PFx軸得P(c，)設(shè)E(0，m)，又PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故選A3(文)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為( B )A2 B4 C6 D8解析由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，由|AB|4，|DE|2，可取A(，2)，D(，)，設(shè)O為坐標原點，由|OA|OD|，得85，得p4.故選B(理)已知橢圓C1：y21(m>1)與雙曲線C2：y21(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則( A )Am>n且e1e2>1 Bm>n且e1e2<1Cm<n且e1e2>1 Dm<n且e1e2<1解析由于m21c2，n21c2，則m2n22，故m>n，又(e1e2)2··1>1，所以e1e2>1.故選A4已知M(x0，y0)是曲線C：y0上的一點，F(xiàn)是曲線C的焦點，過M作x軸的垂線，垂足為點N，若·<0，則x0的取值范圍是( A )A(1,0)(0,1) B(1,0)C(0,1) D(1,1)解析由題意知曲線C為拋物線，其方程為x22y，所以F(0，)根據(jù)題意，可知N(x0,0)，x00，(x0，y0)，(0，y0)，所以·y0(y0)<0，即0<y0<.因為點M在拋物線上，所以有0<<.又x00，解得1<x0<0或0<x0<1.故選A5已知橢圓1的右焦點為F，P是橢圓上一點，點A(0,2)，當(dāng)APF的周長最大時，APF的面積等于( B )A B C D解析由橢圓1知a3，b，c2，RtAOF中，|OF|2，|OA|2，則|AF|4.設(shè)橢圓的左焦點為F1，則APF的周長為|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF1|46|PA|PF1|10|AF1|(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點共線，P在線段AF1的延長線上時取“”)此時直線AF1的方程為1，與橢圓的方程為5x29y2450聯(lián)立并整，得32y220y750，解得yP(正值舍去)，則APF的周長最大時，SAPF|F1F|·|yAyP|×4×|2|.故選B6設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為.解析設(shè)雙曲線方程：1(a>0，b>0)，由題意可知，將xc代入，解得：y±，則|AB|，由|AB|2×2a，則b22a2，所以雙曲線離心率e.7已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為點C，若SABC3SBCF2，則橢圓的離心率為.解析如圖所示，因為SABC3SBCF2，所以|AF2|2|F2C|.A(c，)，直線AF2的方程為：y0(xc)，化為：y(xc)，代入橢圓方程1(a>b>0)，可得：(4c2b2)x22cb2xb2c24a2c20，所以xC·(c)，解得xC.因為2，所以c(c)2(c)，化為：a25c2，解得e.8設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1(a>b>0)的焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，AF1AB且AF1AB，則橢圓C的離心率為.解析設(shè)|AF1|t，則|AB|t，|F1B|t，由橢圓定義有：|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以|AF1|AB|F1B|4a，化簡得(2)t4a，t(42)a，所以|AF2|2at(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2(2c)2，所以(42)a2(22)a2(2c)2，所以()296()2，所以e.9(文)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A、B兩點，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E的離心率解析(1)由|AF1|3|F1B|及|AB|4得|AF1|3，|F1B|1，又ABF2的周長為16，由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8.|AF2|2a|AF1|835.(2)設(shè)|F1B|k，則k>0且|AF1|3k，|AB|4k，由橢圓定義知：|AF2|2a3k，|BF2|2ak，在ABF2中，由余弦定理得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，(ak)(a3k)0，而ak>0，a3k，于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k，|BF2|2|F2A|2|AB|2F2AAB，F(xiàn)2AAF1，AF1F2是等腰直角三角形，從而ca，所以橢圓離心率為e.(理)設(shè)點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：y21(a>1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且·的最小值為0.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，動直線l：ykxm與橢圓C有且僅有一個公共點，作F1Ml，F(xiàn)2Nl分別交直線l于M，N兩點，求四邊形F1MNF2面積S的最大值解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、基本不等式(1)設(shè)P(x，y)，則(cx，y)，(cx，y)，·x2y2c2x21c2，xa，a，由題意得，1c20，c1，則a22，橢圓C的方程為y21.(2)將直線l的方程l：ykxm代入橢圓C的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，由直線l與橢圓C有且僅有一個公共點知16k2m24(2k21)(2m22)0，化簡得：m22k21.設(shè)d1|F1M|，d2|F2N|.當(dāng)k0時，設(shè)直線l的傾斜角為，則|d1d2|MN|·|tan|，|MN|·|d1d2|，S··|d1d2|·(d1d2)，m22k21，當(dāng)k0時，|m|>1，|m|>2，即S<2.當(dāng)k0時，四邊形F1MNF2是矩形，此時S2.四邊形F1MNF2面積S的最大值為2.