（江蘇專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何學(xué)案 理高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)空間概念、空間想象能力、點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷、表面積與體積計(jì)算等，A級要求；(2)線線、線面、面面平行與垂直的證明，B級要求.真 題 感 悟 1.(2018·江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_.解析正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長都是，則該正八面體的體積為×()2×1×2.答案2.(2018·江蘇卷)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B.又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.3.(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.4.(2016·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.考 點(diǎn) 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系.2.空間幾何體的兩組常用公式(1)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式：S柱側(cè)ch(c為底面周長，h為高)；S錐側(cè)ch(c為底面周長，h為斜高)；S臺側(cè)(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高)；S球表4R2(R為球的半徑).(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；V球R3.3.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a，b，aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.4.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala.熱點(diǎn)一空間幾何體的有關(guān)計(jì)算【例1】 (1)(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_.(2)(2018·徐州、連云港、宿遷三檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1平面AB1C1，AA11，底面三角形ABC是邊長為2的正三角形，則此三棱柱的體積為_.(3)(2017·南通模擬)設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為_.解析(1)設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R.又V1R2·2R2R3，V2R3，所以.(2)因?yàn)锳A1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1AB1，又知AA11，A1B12，所以AB1，同理可得AC1，又知在AB1C1中，B1C12，所以AB1C1的邊B1C1上的高為h，其面積SAB1C1×2×，于是三棱錐AA1B1C1的體積V三棱錐AA1B1C1V三棱錐A1AB1C1×SAB1C1×AA1，進(jìn)而可得此三棱柱ABCA1B1C1的體積V3V三棱錐AA1B1C13×.(3)由題意可得正四棱錐的高為2，體積為×(2)2×28，則正方體的體積為8，所以棱長為2.答案(1)(2)(3)2探究提高(1)涉及柱、錐及其簡單組合體的計(jì)算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，再分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從而進(jìn)行解題.(2)求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.(3)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法求解.【訓(xùn)練1】 (1)(2014·江蘇卷)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_.(2)(2012·江蘇卷)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，則四棱錐A BB1D1D的體積為_cm3.(3)(2018·蘇州調(diào)研)將半徑為5的圓分割成面積之比為123的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1r2r3_.解析(1)設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，則，所以.(2)關(guān)鍵是求出四棱錐A BB1D1D的高，連接AC交BD于O(圖略)，在長方體中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO為四棱錐A BB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBD×BB13×26，VA BB1D1DS矩形BB1D1D·AO×6×6(cm3).(3)由題意可得三個(gè)扇形的弧長分別為，5，分別等于三個(gè)圓錐底面圓的周長，由l2r，則r1，r2，r3，所以r1r2r35.答案(1)(2)6(3)5熱點(diǎn)二空間中的平行和垂直的判斷與證明考法1空間線面位置關(guān)系的判斷【例21】 (1)(2017·南京、鹽城模擬)設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是_(填上所有正確命題的序號).若，m，則m；若m，n，則mn；若，n，mn，則m；若n，n，m，則m.(2)(2018·鎮(zhèn)江期末)設(shè)b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題：若b，c，則bc；若b，bc，則c；若c，則c；若c，c，則.其中正確的命題是_(寫出所有正確命題的序號).解析(1)由面面平行的性質(zhì)可得正確；若m，n，則m，n平行或異面，錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)定理可知中缺少條件“m”，錯(cuò)誤；若n，n，則，又m，則m，正確.綜上，命題正確的是.(2)b和c可能異面，故錯(cuò)；可能c，故錯(cuò)；可能c，c，故錯(cuò)；根據(jù)面面垂直判定定理判定，故正確.答案(1)(2)探究提高長方體(或正方體)是一類特殊的幾何體，其中蘊(yùn)含著豐富的空間位置關(guān)系.因此，對于某些研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直關(guān)系問題，常構(gòu)造長方體(或正方體)，把點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)移到長方體(或正方體)中，對各條件進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，根據(jù)條件在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，判斷條件的真?zhèn)?，可使此類問題迅速獲解.考法2平行、垂直關(guān)系的證明【例22】 (2015·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DEAC.又因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC，所以ACCC1.又因?yàn)锳CBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1AC.因?yàn)锽CCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1AB1.【例23】 (2018·全國卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn).(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.(1)證明因?yàn)锳PCPAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.連接OB.因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，OB，AC平面ABC，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足為H.又由(1)可得OPCH，OMOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OCAC2，CMBC，ACB45°.所以O(shè)M，又由OM·CHOC·MC·sinACB，CH.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.探究提高垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.【訓(xùn)練2】 (2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn).求證：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.證明(1)法一如圖1，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.圖1又因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EHAB，且EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，且EHCD.所以四邊形DCEH是平行四邊形.所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD.圖2法二如圖2，連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF，CF平面CEF，EF平面CEF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MNDC，又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.1.求解幾何體的表面積或體積(1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算.(2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.(4)求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表S側(cè)S底.2.錐體體積公式為VSh，在求解錐體體積中，不能漏掉.3.空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定(1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會找特例、反例.(2)可以借助長方體，在理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義.4.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.一、填空題1.(2015·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_.解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得r2·4r2·8×52×4×22×8，解得r.答案2.(2017·蘇北四市調(diào)研)已知圓錐的母線長為10 cm，側(cè)面積為60 cm2，則此圓錐的體積為_cm3.解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線為l，則側(cè)面積rl10r60，解得r6，則高h(yuǎn)8，則此圓錐的體積為r2h×36×896.答案963.(2018·南京、鹽城、徐州二模)已知平面，直線m，n，給出下列命題：若m，n，mn，則；若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若，m，n，則mn.其中是真命題的是_(填序號).解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD平面ABC1D1，BC平面ADC1B1，且BCCD，又因?yàn)槠矫鍭BC1D1與平面ADC1B1不垂直，故不正確；因?yàn)槠矫鍭BCD平面A1B1C1D1，且B1C1平面ABCD，AB平面A1B1C1D1，但AB與B1C1不平行，故不正確.同理，我們以正方體的模型來觀察，可得正確.答案4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°且面積為3的扇形，則該圓錐的體積等于_.解析設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，則側(cè)面展開圖扇形的面積為l2·3，l3，弧長為2rl2，故r1，則該圓錐的高為h2，體積為r2h.答案5.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為_.解析連接EG，HF，交點(diǎn)為O，正方形EFGH的對角線EG2，EO1，則點(diǎn)E到線段AB的距離為1，EB，SO2，故正四棱錐SEFGH的體積為×()2×2.答案6.(2018·天津卷)如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1BB1D1D的體積為_.解析法一連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1EB1D1，A1EBB1，則A1E平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的長和寬分別為，1，故VA1BB1D1D×1××.法二連接BD1，則四棱錐A1BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐BA1DD1與BA1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1××1×1×1××1×1×1.答案7.設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_.解析棱長為a的正方體的體積V1a3，表面積S16a2，底面半徑和高均為r的圓錐的體積V2r3，側(cè)面積S2r2，則，則ar，所以.答案8.如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OAOB，且OAVO1，則O到平面VAB的距離為_.解析由題意可得三棱錐VAOB的體積為V三棱錐VAOBSAOB·VO.VAB是邊長為的等邊三角形，其面積為×()2，設(shè)點(diǎn)O到平面VAB的距離為h，則V三棱錐OVABSVAB·h×hV三棱錐VAOB，解得h，即點(diǎn)O到平面VAB的距離是.答案二、解答題9.(2014·江蘇卷)如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求證：(1)直線PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.證明(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因?yàn)镈F5，故DF2DE2EF2，所以DEF90°，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.10.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).(1)求證：CDAE；(2)求證：PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，因?yàn)镻A底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.因?yàn)锳CCD，PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.因?yàn)镻A平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又因?yàn)锳BAD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因?yàn)锳BAEA，AB平面ABE，AE平面ABE，所以PD平面ABE.11.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD，PA平面PAD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE.所以ABED為平行四邊形.所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，且四邊形ABED為平行四邊形.所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因?yàn)镻AADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD，從而CDPD，且CD平面PCD，又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)，所以EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.