（貴陽(yáng)專用）2022中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對(duì)訓(xùn)練1如圖，直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3)，B(3，b)兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BDx軸于點(diǎn)D(1)求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線yx2上，且SACPSBDP，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)M，使得MAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(1)直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3)，B(3，b)兩點(diǎn)，a23，32b，解得a1，b1，A(1,3)，B(3，1)點(diǎn)A(1,3)在反比例函數(shù)y圖象上，k1×33，反比例函數(shù)的解析式為y.(2)設(shè)點(diǎn)P(n，n2)A(1,3)，C(1,0)B(3，1)，D(3,0)SACPAC·|xPxA|×3·|n1|，SBDPBD·|xBxP|×1·|3n|.SACPSBDP，×3·|n1|×1·|3n|，解得n0或n3，P(0,2)或(3,5)(3)存在設(shè)M(m,0)(m0)，A(1,3)，B(3，1)，MA2(m1)29，MB2(m3)21，AB232，MAB是等腰三角形，當(dāng)MAMB時(shí)，(m1)29(m3)21，m0(舍)；當(dāng)MAAB時(shí)，(m1)2932，m1或m1(舍)，M(1，0)；當(dāng)MBAB時(shí)，(m3)2132，m3或m3(舍)，M(3，0)則滿足條件的M(1，0)或(3，0)2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtAOB的斜邊OB在x軸上，直線y3x4經(jīng)過等腰RtAOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線y也經(jīng)過A點(diǎn)，連接BC(1)求k的值；(2)判斷ABC的形狀，并求出它的面積；(3)若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使得PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)如答圖1，過點(diǎn)A分別作AQy軸于Q點(diǎn)，ANx軸于N點(diǎn)答圖1AOB是等腰直角三角形，AQAN.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，a)，點(diǎn)A在直線y3x4上，a3a4，解得a2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)雙曲線y也經(jīng)過A點(diǎn)，k4.(2)由(1)知，A(2,2)，B(4,0)直線y3x4與y軸的交點(diǎn)為C，C(0，4)，AB2BC2(42)22242(4)240，AC222(24)240，AB2BC2AC2，ABC是直角三角形，且ABC90°，SABCAB·BC×2×48.(3)存在如答圖2，假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)M，使得PAM是等腰直角三角形答圖2PAM90°OAB，APAM，連接BM.k4，反比例函數(shù)的解析式為y.OABPAM90°，OAPBAM.在AOP和ABM中，AOPABM(ASA)，AOPABM，OBMOBAABM90°，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，M(4,1)則在雙曲線上存在一點(diǎn)M(4,1)，使得PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形3如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點(diǎn)P(n，2)，與x軸交于點(diǎn)A(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C，PBx軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(1)求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)；(3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，說明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由解：(1)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，AOBO.A(4,0)，B(4,0)PBx軸于點(diǎn)B，P(4,2)把P(4,2)代入反比例函數(shù)解析式可得m8，反比例函數(shù)的解析式為y.把A，P兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式可得解得一次函數(shù)的解析式為yx1.(2)證明：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，OAOBPBx軸于點(diǎn)B，PBACOA90°，PBCO，點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)(3)存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形理由如下：點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)，BCAPPC，BC和PC是菱形的兩條邊由yx1可得C(0,1)如答圖，過點(diǎn)C作CDx軸，交PB于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，分別連接PD，BD，答圖D(8,1)，且PBCD，PEBE1，CEDE4，PB與CD互相垂直平分，即四邊形BCPD為菱形，存在滿足條件的點(diǎn)D，其坐標(biāo)為(8,1)4(xx·金華)如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y與y(x0,0mn)的圖象上，對(duì)角線BDy軸，且BDAC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.(1)當(dāng)m4，n20時(shí)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式若點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由(2)四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時(shí)m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試說明理由解：(1)如答圖1.m4，反比例函數(shù)y的解析式為y.當(dāng)x4時(shí)，y1，B(4,1)，當(dāng)y2時(shí)，2，解得x2，A(2,2)設(shè)直線AB的解析式為ykxb，將A(2,2)，B(4,1)兩點(diǎn)分別代入，得解得直線AB的函數(shù)表達(dá)式為yx3.四邊形ABCD是菱形理由如下：如答圖2，由知，B(4,1)，BDy軸，D(4,5)點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，P(4,3)當(dāng)y3時(shí)，由y得x，由y得x，PA4，PC4，PAPCPBPD，四邊形ABCD為平行四邊形，BDAC，四邊形ABCD是菱形圖1圖2答圖(2)四邊形ABCD能成為正方形理由：當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，則PAPBPCPD(設(shè)為t，t0)，當(dāng)x4時(shí)，y，B(4，)，A(4t，t)，C(4t，t)，(4t)(t)m，t4，C(8，4)，(8)×4n，mn32.點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2t2(4)8，D(4,8)，4(8)n，mn32.5如圖，已知一次函數(shù)y1k1xb的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y2的圖象分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)D(2，3)，OA2.(1)求一次函數(shù)y1k1xb與反比例函數(shù)y2的解析式；(2)直接寫出k1xb0時(shí)自變量x的取值范圍；(3)動(dòng)點(diǎn)P(0，m)在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|PCPD|的值最大時(shí)，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)點(diǎn)D(2，3)在反比例函數(shù)y2的圖象上，k22×(3)6，y2.如答圖，過點(diǎn)D作DEx軸于E.答圖OA2，A(2,0)，A(2,0)，D(2，3)在y1k1xb的圖象上，解得y1x.(2)由圖可得，當(dāng)k1xb0時(shí)，x4或0x2.(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)理由如下：由解得或C(4，)，如答圖，作C(4，)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)C(4，)，延長(zhǎng)CD交y軸于點(diǎn)P，由C和D的坐標(biāo)可得，直線CD解析式為yx，令x0，則y，當(dāng)|PCPD|的值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)6如圖1，直線ykxb與雙曲線y(x0)相交于點(diǎn)A(1，m)，B(4，n)，與x軸相交于C點(diǎn)(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及直線ykxb的解析式；(2)求ABO的面積；(3)如圖2，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PAPB的和最??？若存在，請(qǐng)說明理由并求出P點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)點(diǎn)A(1，m)，B(4，n)在雙曲線y(x0)上，m4，n1，A(1,4)，B(4,1)，解得直線ykxb的解析式為yx5.(2)如答圖1，設(shè)直線AB與y軸交于D點(diǎn)，由(1)知，直線AB的解析式為yx5，C(5,0)，D(0,5)，OC5，OD5.SAOBSCODSAODSBOC×5×5×5×1×5×1.(3)存在，理由：如答圖2，作點(diǎn)B(4,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B(4，1)，連接AB交x軸于點(diǎn)P，連接BP，在x軸上取一點(diǎn)Q，連接AQ，BQ.點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P，Q是BB中垂線上的點(diǎn)，PBPB，QBQB，在AQB中，AQBQAB，APBP的最小值為AB.A(1,4)，B(4，1)，直線AB的解析式為yx，令y0，則0x，解得x，P(，0)7如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，且A(6,0)，D(2，8)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，不與點(diǎn)A，C重合，過點(diǎn)P作x軸的垂線交于AC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得ACM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)28，把A(6,0)代入得a(62)280，解得a.拋物線的解析式為y(x2)28，即yx22x6.(2)如答圖，當(dāng)x0時(shí)，yx22x66，則C(0，6)設(shè)直線AC的解析式為ykxb，把A(6,0)，C(0，6)分別代入得解得直線AC的解析式為yx6.設(shè)P(x，x22x6)(6x0)，則E(x，x6)PEx6(x22x6)x23x(x3)2，當(dāng)x3時(shí)，PE的長(zhǎng)度有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)(3)存在如答圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x2，設(shè)M(2，t)A(6,0)，C(0，6)，AC2626272，AM2(26)2t2，CM2(2)2(t6)2.當(dāng)AC2AM2CM2，ACM為直角三角形，即72(26)2t2(2)2(t6)2，解得t4，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,4)；當(dāng)AC2CM2AM2時(shí)，ACM為直角三角形，即72(2)2(t6)2(26)2t2，解得t8，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，8)；當(dāng)CM2AM2AC2時(shí)，ACM為直角三角形，即(2)2(t6)2(26)2t272，解得t13，t23，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3)或(2，3)綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)或(2，8)或(2，3)或(2，3)8(xx·泰安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxc的圖象交x軸于點(diǎn)A(4,0)，B(2,0)，交y軸于點(diǎn)C(0,6)，在y軸上有一點(diǎn)E(0，2)，連接AE.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求ADE面積的最大值；(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)，B(2,0)，C(0,6)，解得二次函數(shù)的表達(dá)式為yx2x6. (2)由A(4,0)，E(0，2)可得AE所在的直線解析式為yx2，過點(diǎn)D作DFx軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EHDF，垂足為H，如答圖，設(shè)D(m，m2m6)，則點(diǎn)F(m，m2)，DFm2m6(m2)m2m8，SADESADFSEDF·DF·AG·DF·EH×DF·(AGHE)×DF×42×(m2m8)(m)2，當(dāng)m時(shí)，SADE最大，最大值為.(3)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1，±)或(1，2±)【解法提示】yx2x6的對(duì)稱軸為直線x1，設(shè)P(1，n)，又E(0，2)，A(4,0)，可得PA，PE，AE2，當(dāng)PAPE時(shí)，解得n1，此時(shí)P(1,1)；當(dāng)PAAE時(shí)，2，解得n±，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，±)；當(dāng)PEAE時(shí)，2，解得n2±，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2±)，綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1，±)或(1，2±)9如圖，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD(1)求拋物線的解析式(2)若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PEPC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(3)在(2)的條件下，作PFx軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解：(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，解得即拋物線的解析式為yx22x3.(2)由(1)知，拋物線的解析式為yx22x3，C(0，3)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1，4)，E(1,0)設(shè)直線BD的解析式為ymxn，解得直線BD的解析式為y2x6.設(shè)點(diǎn)P(a，2a6)C(0，3)，E(1,0)，根據(jù)勾股定理得，PE2(a1)2(2a6)2，PC2a2(2a63)2.PCPE，(a1)2(2a6)2a2(2a63)2，解得a2，y2×(2)62，P(2，2)(3)如答圖，作PFx軸于F，F(xiàn)(2,0)設(shè)M(d,0)，G(d，d22d3)，N(2，d22d3)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FMMG，|d2|d22d3|，解得d或，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0)，(，0)，(，0)或(，0)10(xx·岳陽(yáng))已知拋物線F：yx2bxc經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為(，0)圖1圖2(1)求拋物線F的解析式；(2)如圖1，直線l：yxm(m0)與拋物線F相交于點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)(點(diǎn)A在第二象限)，求y2y1的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，若m，設(shè)點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2.判斷AAB的形狀，并說明理由；平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(，0)，解得拋物線F的解析式為yx2x.(2)將yxm代入yx2x，得x2m，解得x1，x2，y1m，y2m，y2y1(m)(m)(m0)(3)如答圖，m，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，2)點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)AAB為等邊三角形理由如下：A(，)，B(，2)，A(，)，AA，AB，AB，AAABAB，AAB為等邊三角形存在AAB為等邊三角形，以點(diǎn)A，B，A，P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)如答圖a當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)b當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)c當(dāng)AA為對(duì)角線時(shí)，有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)綜上所述，平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，(，)或(，2)11(xx·永州)如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，拋物線與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E(0,3)圖1 圖2(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)F(0，3)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EGFG最小？如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由(3)如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB，拋物線相交于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M，N都在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè))，當(dāng)MN最大時(shí)，求PON的面積解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為ya(x1)24.把(0,3)代入得3a(01)24，解得a1，故拋物線的表達(dá)式為y(x1)24x22x3.(2)存在如答圖1，作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EF交對(duì)稱軸于G，此時(shí)EGFG的值最小E(0,3)，E(2,3)，易得直線EF的解析式為y3x3，當(dāng)x1時(shí)，y3×130，G(1,0)圖1 圖2(3)如答圖2，過N作NHx軸于H，交AB于Q，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于D，A(1,4)，B(3,0)，直線AB的解析式為y2x6，設(shè)N(m，m22m3)，則Q(m，2m6)(1m3)，NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH，DABNQM.ADBQMN90°，QMNADB，即，MN(m2)2.0，當(dāng)m2時(shí)，MN有最大值過N作NIy軸于I，IPNABD，NIPADB90°，NIPADB，PINIm，OPOIPIm22m3mm2m3，SPONOP·IN(m2m3)·m，當(dāng)m2時(shí)，SPON×(433)×22.12(xx·東營(yíng))如圖，拋物線ya(x1)(x3)(a>0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使OCAOBC(1)求線段OC的長(zhǎng)度；(2)設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)當(dāng)y0時(shí)，a(x1)(x3)0，解得x11，x23，即A(1,0)，B(3,0)，OA1，OB3.OCAOBC，OCOBOAOC，OC2OA·OB3，則OC.(2)C是BM的中點(diǎn)，即OC為RtOBM斜邊BM的中線，OCBC，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.又OC，點(diǎn)C在x軸下方，C(，)設(shè)直線BM的解析式為ykxb，把點(diǎn)B(3,0)，C(，)代入，得解得直線BM的解析式為yx.又點(diǎn)C(，)在拋物線上，將C(，)代入拋物線的解析式，解得a，拋物線的解析式為yx2x2.(3)存在如答圖，過點(diǎn)P作PQx軸交直線BM于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，x2x2)，則Q(x，x)，PQx(x2x2)x23x3，當(dāng)BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，SBCPPQ(3x)PQ(x)PQx2x，當(dāng)x時(shí)，SBCP有最大值，則四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)