（全國(guó)通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第18講 相似三角形練習(xí)重難點(diǎn) 相似三角形的性質(zhì)與判定 (xx·包頭)如圖，在ABCD中，AC是一條對(duì)角線，EFBC，且EF與AB相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，3AE2EB，連接DF.若SAEF1，則SADF的值為【思路點(diǎn)撥】要求SADF，由已知條件EFBC，3AE2BE，可得到AF與AC的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)換到SADF與SADC的數(shù)量關(guān)系，而由平行四邊形的性質(zhì)知，SADC SABC，由EFBC，3AE2BE，SAEF1，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，得SABC，則SADF即可求出求三角形面積常用方法 如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接BE，AFBE于點(diǎn)F，連接DF.(1)求證：DE2 BE·EF；(2)求EFD的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】(1)要證DE2EF·BE，而由已知條件知DEAE，AE2EF·BE，即，觀察發(fā)現(xiàn)，這四條邊恰好在ABE和FAE中，故只需證明ABEFAE，由相似三角形的性質(zhì)即可使問(wèn)題得證；(2)要求EFD的度數(shù)，而已知條件中并未告訴已知角，故要在正方形中構(gòu)造已知角并將EFD進(jìn)行轉(zhuǎn)換由(1)知，而DEFBED，故連接BD，可證DEFBED，由相似三角形的性質(zhì)即可求出EFD的度數(shù)【自主解答】解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，BAE90°.AFBE，AFE90°.BAEAFE.又AEFAEB，AEFBEA.，即AE2BE·EF.E為AD的中點(diǎn)，AEDE.DE2BE·EF.(2)連接BD，則EDB45°.由(1)得，.又DEFBED，DEFBED.EFDEDB45°.1判定三角形相似的思路2證明等積時(shí)，先由比例的基本性質(zhì)，化等積式為比例式，然后把比例式，左側(cè)(或分子)，右側(cè)(或分母)放入兩個(gè)三角形中，證明兩個(gè)三角形相似即可，如不能放入兩個(gè)三角形中，可找到相等邊代換或?qū)ふ抑虚g比3求某個(gè)三角的邊長(zhǎng)或角度時(shí)，可借助條件，確定未知三角形(即包含所求邊又有某個(gè)已知條件)與已知三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求解考點(diǎn)1比例線段1(xx·白銀)已知(a0，b0)，下列變形錯(cuò)誤的是(B)A. B2a3b C. D3a2b2(xx·成都)已知，且ab2c6，則a的值為12. 考點(diǎn)2黃金分割3如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割，AC與AB的比叫做黃金比，其比值是(A)A. B. C. D.考點(diǎn)3平行線分線段成比例4(xx·哈爾濱)如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GEBD，且交AB于點(diǎn)E，GFAC，且交GD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是(D)A. B. C. D.5(xx·嘉興)如圖，直線l1l2l3，直線AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知，則2考點(diǎn)4相似三角形的性質(zhì)6(xx·重慶A卷)要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5 cm，6 cm和9 cm，另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5 cm，則它的最長(zhǎng)邊為(C) A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm7(xx·連云港)如圖，已知ABCDEF，ABDE12，則下列等式一定成立的是(D)A. B.C. D.8(xx·荊門(mén))如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)G.則SEFGSABG(C)A13 B31 C19 D919(xx·重慶B卷)制作一塊3 m×2 m長(zhǎng)方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，那么擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是(C)A360元 B720元 C1 080元 D2 160元10(xx·資陽(yáng))如圖，ABC的面積為12，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則四邊形BCED的面積為9考點(diǎn)5相似三角形的判定11(xx·永州)如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，ADCACB，AD2，BD6，則邊AC的長(zhǎng)為(B)A2 B4 C6 D812如圖，在ABC中，ACB90°，CD是AB邊上的高如果BD4，CD6，那么BCAC是(B)A32 B23 C3 D213(xx·邵陽(yáng))如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，連接BF.寫(xiě)出圖中任意一對(duì)相似三角形：答案不唯一，如EFCAFD，EABAFD，EFCEAB14(xx·北京)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F.若AB4，AD3，則CF的長(zhǎng)為15(xx·巴中)如圖，O的兩弦AB，CD相交于點(diǎn)P，連接AC，BD，得SACPSDBP169，則ACBD4316(xx·杭州)如圖，在ABC中，ABAC，AD為BC邊上的中線，OEAB于點(diǎn)E.(1)求證：BDECAD；(2)若AB13，BC10.求線段DE的長(zhǎng)解：(1)證明：ABAC，BC.又AD為BC邊上的中線，ADBC，DEAB，BEDCDA90°.BDECAD.(2)BC10，BD5.根據(jù)勾股定理，得AD12.BDECAD，.DE.考點(diǎn)6相似三角形的實(shí)際應(yīng)用17(xx·義烏)學(xué)校門(mén)口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知ABBD，CDBD.垂足分別為B，D，AO4 m，AB1.6 m，CO1 m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(C)A0.2 m B0.3 m C0.4 m D0.5 m18(xx·陜西)周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D，豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C，A共線已知：CBAD，EDAD，測(cè)得BC1 m，DE1.5 m，BD8.5 m測(cè)量示意圖如圖所示請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB.解：CBAD，EDAD，CBAEDA90°.CABEAD，ABCADE.AB17，即河寬為17 m.19(xx·瀘州)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G.若AE3ED，DFCF，則的值是(C)A. B. C. D.20(xx·揚(yáng)州)如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰RtABC和等腰RtADE，CD與BE，AE分別交于點(diǎn)P，M.對(duì)于下列結(jié)論：BAECAD；MP·MDMA·ME；2CB2CP·CM.其中正確的是(A)A B C D21(xx·鹽城)如圖，在RtABC中，C90°，AC6，BC8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若要使APQ是等腰三角形，且BPQ是直角三角形，則AQ或22(xx·咸寧)定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似(不全等)，我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”理解：(1)如圖1，已知RtABC在正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D.使四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形；(保留畫(huà)圖痕跡，找出3個(gè)即可)圖1圖2圖3(2)如圖2，在四邊形ABCD中，ABC80°，ADC140°，對(duì)角線BD平分ABC.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”；運(yùn)用：(3)如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對(duì)角線”，EFHHFG30°，連接EG.若EFG的面積為2，求FH的長(zhǎng)解：(1)如圖所示(2)證明：ABC80°，BD平分ABC，ABDDBC40°.AADB140°.ADC140°，BDCADB140°.ABDC.ABDDBC.BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”(3)FH是四邊形EFGH的“相似對(duì)角線”，EFHHFG.FH2FE·FG.過(guò)點(diǎn)E作EQFG，垂足為Q.EFHHFG30°，EFQ60°.則EQFE·sin60°FE.FG·EQ2，F(xiàn)G×FE2.FG·FE8.FH2FE·FG8.FH2.23(xx·泰安)九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方二百步，各中開(kāi)門(mén)，出東門(mén)十五步有木，問(wèn)：出南門(mén)幾步而見(jiàn)木？”用今天的話說(shuō)，大意是：如圖，DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步(“步”是古代的長(zhǎng)度單位)的正方形小城，東門(mén)H位于GD的中點(diǎn)，南門(mén)K位于ED的中點(diǎn)，出東門(mén)15步A的處有一樹(shù)木，求出南門(mén)多少步恰好看到位于A處的樹(shù)木(即點(diǎn)D在直線AC上)？請(qǐng)你計(jì)算KC的長(zhǎng)為步