（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 課時跟蹤檢測（十六）大題考法圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題1(2018·浙江高考名師預測卷二)已知橢圓C：1(ab0)的一個焦點與拋物線y28x的焦點相同，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點M為橢圓上任意一點，MF1F2面積的最大值為4.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C上的任意一點N(x0，y0)，從原點O向圓N：(xx0)2(yy0)23作兩條切線，分別交橢圓于A，B兩點試探究|OA|2|OB|2是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由解：(1)拋物線y28x的焦點為(2，0)，由題意可得c2.當點M位于橢圓短軸的端點處時，MF1F2的面積最大，即有×b×2c4，解得b2，所以a2b2c24812，故橢圓C的方程為1.(2)設直線OA：yk1x，OB：yk2x，A(x1，y1)，B(x2，y2)，設過原點與圓(xx0)2(yy0)23相切的切線方程為ykx，則有，整理得(x3)k22x0y0ky30，所以k1k2，k1k2.又因為點N在橢圓上，所以1，所以可求得k1k2.將yk1x代入橢圓方程x23y212，得x，則y.同理可得x，y，所以|OA|2|OB|216.所以|OA|2|OB|2的值為定值，且為16.2.如圖，曲線C由上半橢圓C1：1(a>b>0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q(均異于點A，B)，是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過點A，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解：(1)在C2的方程中，令y0，可得x±1，A(1,0)，B(1,0)又A，B兩點是上半橢圓C1的左、右頂點，b1.設C1的半焦距為c，由及a2c2b21可得a2，a2，b1.(2)由(1)知，上半橢圓C1的方程為x21(y0)由題易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設其方程為yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.設點P的坐標為(xP，yP)，又直線l經(jīng)過點B(1,0)，xP1，xP.從而yP，點P的坐標為.同理，由得點Q的坐標為(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)依題意可知APAQ，·0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.經(jīng)檢驗，k符合題意，故直線l的方程為y(x1)3.已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，右焦點為F，右頂點為E，P為直線xa上的任意一點，且()·2.(1)求橢圓C的方程；(2)過F且垂直于x軸的直線AB與橢圓交于A，B兩點(點A在第一象限)，動直線l與橢圓C交于M，N兩點，且M，N位于直線AB的兩側，若始終保持MABNAB，求證：直線MN的斜率為定值解：(1)設P，F(xiàn)(c,0)，E(a,0)，則，(ca,0)，所以()··2，即·(ca)2，又e，所以a2，c1，b，從而橢圓C的方程為1.(2)由(1)知A，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，設MN的方程為ykxm，代入橢圓方程1，得(4k23)x28kmx4m2120，所以x1x2，x1x2.又M，N是橢圓上位于直線AB兩側的動點，若始終保持MABNAB，則kAMkAN0，即0，(x21)(x11)0，即(2k1)(2m2k3)0，得k.故直線MN的斜率為定值.4(2018·鎮(zhèn)海中學5月模擬)已知拋物線C1，C2的方程分別為x22y，y22x.(1)求拋物線C1和拋物線C2的公切線l的方程；(2)過點G(a，b)(a，b為常數(shù))作一條斜率為k的直線與拋物線C2：y22x交于P，Q兩點，當弦PQ的中點恰好為點G時，試求k與b之間的關系解：(1)由題意可知，直線l的斜率顯然存在，且不等于0，設直線l的方程為ytxm.聯(lián)立消去y并整理得x22tx2m0，因為直線l與拋物線C1相切，所以1(2t)24×(2m)0，整理得t22m0.同理，聯(lián)立得2tm1.由，解得所以直線l的方程為yx.(2)由題意知直線PQ的方程為ybk(xa)，即yk(xa)b.聯(lián)立消去y得k2x2(2k2a2kb2)xk2a2b22kab0，當k0時，直線PQ與拋物線C2：y22x只有一個交點，故k0，設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以由根與系數(shù)的關系得x1x2，所以.又y1y2k(x1a)bk(x2a)bk(x1x2)2ka2b2ka2b，所以.要滿足弦PQ的中點恰好為點G(a，b)，根據(jù)中點坐標公式可知即所以kb1.故k與b之間的關系是互為倒數(shù)5已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個焦點恰好與拋物線y24x的焦點重合(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓的上頂點為A，過點A作橢圓C的兩條動弦AB，AC，若直線AB，AC斜率之積為，直線BC是否恒過一定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由解：(1)由題意知橢圓的一個焦點為F(1,0)，則c1.由e得a，所以b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知A(0,1)，當直線BC的斜率不存在時，設BC：xx0，設B(x0，y0)，則C(x0，y0)，kAB·kAC·，不合題意故直線BC的斜率存在設直線BC的方程為ykxm(m1)，并代入橢圓方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)>0，得2k2m21>0.設B(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩根，由根與系數(shù)的關系得，x1x2，x1x2，由kAB·kAC·得：4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因為m1，所以m3，此時直線BC的方程為ykx3.所以直線BC恒過一定點(0,3)