《高等數(shù)學(xué)：第七章 重積分3》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第七章 重積分3（69頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、稱(chēng)為體積元素。稱(chēng)為積分區(qū)域，稱(chēng)為被積函數(shù)，其中或上的三重積分，記作在區(qū)域函數(shù)為總存在，則稱(chēng)此極限值積分和的極限的任意取法，中間點(diǎn)的任意一種分割法以及區(qū)域。若對(duì)的直徑的體積。令表示小區(qū)域這里作積分和上任意取一個(gè)點(diǎn)在個(gè)互不重疊的小區(qū)域任意分割成上有定義。將面所圍成的區(qū)域在一個(gè)由有限個(gè)光滑曲設(shè)三元函數(shù)dVzyxfzyxzyxfdVzyxfzyxfVzyxfzyxVVzyxfnizyxnzyxfiniiiiiiiiniiiiniiiiiiiii),(ddd),( ),( ),(),(lim),(max,),(.,.,2 , 1),(,),(1011特別地2.2.若若f(x,y,z)在有界閉區(qū)域在有界閉

2、區(qū)域上連續(xù)或分塊連續(xù)，則上連續(xù)或分塊連續(xù)，則f(x,y,z)在在上可積。上可積。dVzyxM),(dVV質(zhì)量體密度體積被積函數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系，被積函數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系，積分區(qū)域的可加性，積分區(qū)域的可加性，積分中值定理。積分中值定理。3.3.三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)d),(zyxf當(dāng) R3，有 (x, y, z) , d = dV則dVzyxf),(三重積分直角坐標(biāo)系下，體積元素為dV=dxdydzdzdydxyxz0則zyxzyxfVzyxfddd),(d),(4.4.三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算zyxzyxfddd),(yxzzyxfxyDyxzyxzdd d),(),

3、(),(21 zzyxfyxyxzyxzxyxybad),(dd),(),()()(2121xyz0z=z2(x, y)z=z1(x, y)D(1) 外層積分為二重積分時(shí)：化成一個(gè)定積分和一外層積分為二重積分時(shí)：化成一個(gè)定積分和一個(gè)二重積分（個(gè)二重積分（投影法投影法）zzyxfyxyxzyxzDxyd ),(dd),(),(21設(shè) D 為 在 xy 平面上投影區(qū)域.y=y1(x)bay=y2(x),(),(,),( | ),(21yxzzyxzDyxzyx上的連續(xù)函數(shù)，則有是上的連續(xù)函數(shù)。假定是及中的滿(mǎn)足上述條件，并且其設(shè)),(),(),(21zyxfuDyxzzyxzzDyxzyxzdzzy

4、xfdxdyzyxzyxf.),(ddd),(),(),(21平面上的投影。在實(shí)際上是軸。區(qū)域行于體，它的側(cè)面的母線(xiàn)平為頂?shù)囊粋€(gè)正柱面為底、以曲面是空間中以曲面OxyDzyxzzyxzz),(),(21定理1zxyx+y+z=10例例1 1. 計(jì)算,dddzyxx其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：解： D: 0 y 1x, 0 x 1 zyxxdddyxxzxyx101010ddd24111Dx+y=1 xyyxDzxyx10ddd例例2 2. 計(jì)算,ddd)cos(zyxzxy其中 是由拋物柱面xy 及平面y=0, z=0, 所圍閉區(qū)域。2 zx,ddd)cos(zyxz

5、xyxDzzxyyx20d)cos(dd解解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd21162yxz2xz0 xy D02yxy=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzxyzxyDyzyxfzxxzxx=x2(y, z)z0 x=x1(y, z)Dyzyxzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzyxzyxDxzyxfzyyzx例例3 3. 將zyxzyxfddd),(化為三次定積分，其中 是由 z= x2+y2 和 z=1所圍的閉區(qū)域.解：解：先對(duì) z 積分，將 向 xy 平面

6、投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2 zyxzyxfddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 解解2 2：先對(duì) y 積分，將 向 xz 平面投影：z= x2+y2 Dxz: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz112xzy2xzy思考問(wèn)題思考問(wèn)題 先對(duì)先對(duì) x 積分，怎樣做？積分，怎樣做？例例3 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三

7、次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 22yxz ,2xy ,1 y, 0 z 所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. . 11, 1,0:222 xyxyxz 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解例例 4 4 將將 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的次序積分的次序積分. 1D： 1002yxzxyz1D2D2D： 11222yxzxzx 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx. (2) 外層積分為一元函數(shù)的定積分時(shí)：化為一個(gè)外層積分為一元函數(shù)的定積分時(shí)：化為一個(gè)二重

8、積分和一個(gè)定積分（二重積分和一個(gè)定積分（截面法截面法）zyxzyxfddd),(zyxzyxfzDzzddd),()(21)(dd),(d21zDzzyxzyxfz :(x, y)D(z), z1zz20 xzyz2zz1D(z)定理2上的連續(xù)，則有在定滿(mǎn)足上述條件，并且假設(shè)),(zyxfuzDbadxdyzyxfdzzyxzyxf.),(ddd),(.,000zDzzbazbabzaz的交集是一個(gè)閉區(qū)域與平面對(duì)于任意的是兩個(gè)給定的常數(shù)，并之間，其中及介于平面z，即得三重積分值。）最后計(jì)算定積分（的函數(shù)，其結(jié)果為）計(jì)算二重積分（；得截面平面的平面去截且平行用過(guò)）對(duì)（投影，得投影區(qū)間軸例如向某軸

9、把積分區(qū)域截面法的一般步驟：21)(4);(),(3,2;,)() 1 (2121ccDzdzzFzFzdxdyzyxfDxoyzcczcczz例例4.4. 計(jì)算,ddydzxz其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解解：D(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3zz2)(例例5 5. 計(jì)算解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xyzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx102d)(121xxx241)(ddxDzy2)1 (21x,dddzyxx其中 是由平面 x+y+z=

10、1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy yz01x1x例例6 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之間之間介于介于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz解二解二 先單后重先單后重將將 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx Dyxdxdydzdxdydz1122先重后單先重后單例例6 1,:,22zyxzdxdydz解二解二 先單后重先單后重將將 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx Dyxdxdydzdxdydz1122 Drdrrddxdyyx20102222)1 (4)1 ( （用極坐標(biāo)，用對(duì)稱(chēng)性）（用極

11、坐標(biāo)，用對(duì)稱(chēng)性）(3). 三重積分的對(duì)稱(chēng)性三重積分的對(duì)稱(chēng)性平面對(duì)稱(chēng)若積分區(qū)域關(guān)于Oxya.; 0),(),(),(),(dVzyxfzyxfzyxfzzyxf則是奇函數(shù)，即關(guān)于若.0,),( | ),(;),(2),(),(),(),(11zzyxzyxdVzyxfdVzyxfzyxfzyxfzzyxf其中則是偶函數(shù)，即關(guān)于若(3). 三重積分的對(duì)稱(chēng)性三重積分的對(duì)稱(chēng)性平面對(duì)稱(chēng)若積分區(qū)域關(guān)于Oyzb.; 0),(),(),(),(dVzyxfzyxfzyxfxzyxf則是奇函數(shù)，即關(guān)于若.0,),( | ),(;),(2),(),(),(),(11xzyxzyxdVzyxfdVzyxfzyxfz

12、yxfxzyxf其中則是偶函數(shù)，即關(guān)于若 解 ).0, 0, 0( 1,)(3.2222222cbaczbyaxdVzyxI：其中求三重積分例.)222()(2222dVzxyzxyzyxdVzyxI, 022xydVxxyOyz是奇函數(shù)，所以關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，而關(guān)于因?yàn)? 022 2 ,2zxdVyzdVzzxyzOxy是奇函數(shù)，所以關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，而關(guān)于因?yàn)?解 ).0, 0, 0( 1,)(3.2222222cbaczbyaxdVzyxI：其中求三重積分例.)()(2222dVzyxdVzyxI空間區(qū)域空間區(qū)域 可表為可表為 2222221czbyax czc 3222154)1 (abcdz

13、zczabcc 于是 ccDzdxdydzzdxdydzz22 dzczczabzcc2222211空間區(qū)域空間區(qū)域 可表為可表為 解 ).0, 0, 0( 1,)(3.2222222cbaczbyaxdVzyxI：其中求三重積分例.)()(2222dVzyxdVzyxI. ,1222222axaaxczby.154)1 (3222)( 122222222bcadxaxxbcdydzdxxdxdydzxaaaxaaxczbyaa空間區(qū)域空間區(qū)域 可表為可表為 解 ).0, 0, 0( 1,)(3.2222222cbaczbyaxdVzyxI：其中求三重積分例.)()(2222dVzyxdVzy

14、xI. ,1222222bybbyczax.154)1 (3222)( 122222222cabdybyyacdzdxdyydxdydzybbbybbyczaxbb).(154154154154222333cbaabcabccabbcaI5. 三重積分在柱坐標(biāo)下的計(jì)算公式三重積分在柱坐標(biāo)下的計(jì)算公式M (r, , z)x=rcosy=rsinz = z(0r+, 02, z+)rzM0 xzyyx柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為 r=常數(shù)常數(shù) =常數(shù)常數(shù)z=常數(shù)常數(shù)xyzo圓柱面圓柱面為常數(shù)為常數(shù) 半平面半平面為常數(shù)為常數(shù)z平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo如圖

15、，柱面坐標(biāo)系中的體積元素如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素,dzrdrddv drxyzodzdr rd dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf r為常數(shù)為常數(shù)),(),(zrzyxrxryrzxyzzxzyzz= r 1000cossin0sincos rr故 dxdydz=rdrddzzrrzrrfzyxzyxfddd),sin,cos(ddd),(),sin,cos( | ),(zrrzr其中zzryrxsincos柱坐標(biāo)變換常見(jiàn)積分區(qū)域常見(jiàn)積分區(qū)域).,(),() 1 (21rzrzDOxy與坐標(biāo)分別表為其底曲面與頂曲面用柱，區(qū)域?yàn)槠矫嫔系耐队暗臉O坐標(biāo)是一個(gè)正

16、的柱體，在Drrrdzzrrfdrddxdydzzyxf),(),(21.),sin,cos(),(則有計(jì)算公式：相截得平面閉區(qū)域的任一半平面與且極角為之間與介于半平面),(,)20()2(D)(.),sin,cos(),(DrdrdzzrrfddVzyxf202042zdzdd提示 的上邊界曲面為z4 下邊界曲面為zx2y2 用極坐標(biāo)可表示為z2 所以 2z4 提示 在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2y24 用極坐標(biāo)可表示為 02 02 例 3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分zdxdydz 其中是 由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域 閉區(qū)域可表示為 解 2z4 02 02 于是 dzddzzdxd

17、ydzdzddzzdxdydz 20204)16(21dd364618 221206220204)16(21dd364618 221206220204)16(21dd364618 2212062 例例11,:,)(22222 zyxzdvzyx 解解將將 投到投到xoy 面得面得D 122 yx1, 10 ,20 zrr 2010122222)()(rrdzzrdrddvzyx103)343(24103 drrrr注注 若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體、圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時(shí)，通常情況下總是考慮使用柱坐標(biāo)來(lái)計(jì)算。例例1.1. 計(jì)算,ddd22zyxyxz其中 由22yxz與 z=1 所圍閉區(qū)域.解解

18、： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=rz=1zrzrzyxyxzdddddd*222110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D例例2 2. 計(jì)算,dddzyxz =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：D: x2+y21221yxz21rzzrzrzyxzdddddd*2101020dddrzzrrrrrd2)1 (21024思考問(wèn)題思考問(wèn)題210ddrDzzrdrxyz0121rz例例3.3. 再解例1,ddd22zyxyxz其中是 由22yx

19、z與 z=1 所圍閉區(qū)域.解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原積分=*2dddzrzr)(220dddDzrzrxyz110220drzdzrrdxz)(220dddDrzry152D( )z1r0z= r1例例4 4. 再解例2,dddzyxz其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原積分 =*dddzrzr)(20dddDzrzrxyz021rz2101020dddrzzrr.4xyz021rz011rz)(20dddDrzr21rz解解 zzryrx sincos, 關(guān)鍵在于定出關(guān)鍵在于定出 的變化范圍的變化范圍 z

20、r , r , 的范圍容易定出的范圍容易定出20 ,20 r z 呢？呢？例例22, 1,:,2222 zzyxzdxdydzyxez 注意到注意到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 r21 z時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)21 r2 zr212201021rdzredrrdzredrdIrzz 212222)(2)(2edreeeer 2, 1,:,2222 zzyxzdxdydzyxez 6. 三重積分球坐標(biāo)下的計(jì)算公式三重積分球坐標(biāo)下的計(jì)算公式M (r, ,)x=OPcos z= r cos(0r+, 0, 02)y= OPsin M0zxyrPxyz= r sin cos= rsin sin球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面：球面坐標(biāo)的三組坐

21、標(biāo)面： r =常數(shù) =常數(shù) =常數(shù)dxdydz= r2sin drddsin),(),(2rrDzyxDdddsin)cos,sinsin,cossin(ddd),(*2rrrrrfzyxzyxfzxy球球 面面半平面半平面圓錐面圓錐面Pxyzo),(zyxMr zyxA .cos,sinsin,cossin rzryrx其中其中,0 .20 為常數(shù)為常數(shù)r球球 面面為常數(shù)為常數(shù) 圓錐面圓錐面為常數(shù)為常數(shù) 半平面半平面 r0圓錐面圓錐面半平面半平面圓錐面圓錐面ddddddVsinsin2長(zhǎng)方體的體積sindsinddddxyz.sin 0sincoscossinsincossinsinsins

22、incoscoscossin ),(),(2rrrrrrzzrzyyryxxrxrzyxdddsin)cos,sinsin,cossin(ddd),(2rrrrrfzyxzyxf)cos,sinsin,cossin( | ),(rrrr其中cossinsincossinrzryrx球坐標(biāo)變換常見(jiàn)積分區(qū)域常見(jiàn)積分區(qū)域則相截的平面閉區(qū)域的平面與且任一極角為之間，與介于半平面若),()20() 1 (D2121.sin)cos,sinsin,cossin(),(2dfdddVzyxf)(2.sin)cos,sinsin,cossin(),(DddfddVzyxf則，為：，若對(duì), 0,)(,)2(21

23、2121D例例5 5. 計(jì)算,dddzyxz其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：x2+y2+z2=1 r=1而 0 2 故用 = 截 得 D()原積分*2dddsincosrrr)(320ddsincosdDrrxyz0 xyz0z)(320ddsincosdDrr1032020ddsincosdrr10420242sin2r4011r=1例例6.6.,ddd)(222zyxzyx22yxz是由其中和 x2+y2+z2=a2 所圍成閉區(qū)域.解解： x2+y2+z2=a2 r=a22yxz.4原積分*22dddsinrrr)(420ddsindDrrzyxazyx

24、a)(420ddsindDrrarr044020ddsind)22(515ar=a4z提示200cos202sinadrrdd 例4 求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積 解 該立體所占區(qū)域可表示為 0r2acos 于是所求立體的體積為 ddrdrdxdydzVsin2ddrdrdxdydzVsin2 此球面的方程為x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r22arcos 即r2acos 0 02 0cos202sin2adrrd200cos202sinadrrdd 例4 求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積 解 該立體所占區(qū)

25、域可表示為 于是所求立體的體積為 033sincos316da)cos1 (3443aa033sincos316da)cos1 (3443aa ddrdrdxdydzVsin2ddrdrdxdydzVsin2 0r2acos 0 02 例例7 7. 計(jì)算,dd)d,(zyxzyxf次積分，其中 為x2+y2+(z1)21. 解：解：x2+y2+(z1)21 r=2coscos202020,cossin(ddrfxyz0表為球坐標(biāo)系中的三zyxzyxfddd),(思考問(wèn)題思考問(wèn)題1.若 ：x2+(y -1) 2+z21？ zyrrrrdsin)cos,sinsin22.若 ：(x-1)2+y 2

26、+z21？ 例例 3 3 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體.解一解一用球坐標(biāo)用球坐標(biāo)az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin解二解二 用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)222zyx , rz ,:222ayxD ,20,0,: arazr dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrr

27、ar03)(254254aaa .105a 所圍的立體。平面與是錐面其中計(jì)算例)0(,)(3.22222aazzyxdxdydzyxI例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)， 由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 注注若若 積分區(qū)域?yàn)榍蝮w、球殼或其一部分積分區(qū)域?yàn)榍蝮w、球殼或其一部分被積函數(shù)呈被積函數(shù)呈222zyx 而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)方程比

28、較簡(jiǎn)單而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)方程比較簡(jiǎn)單通常采用球坐標(biāo)。通常采用球坐標(biāo)。7. 三重積分的在一般變量替換下的計(jì)算公式三重積分的在一般變量替換下的計(jì)算公式定理3：設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域上連續(xù)。又設(shè)變換 x=x(u, v, w) y=y(u, v, w) z=z(u, v, w)在 上連續(xù)，有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，將一一對(duì)應(yīng)地變到 ，且變換的雅可比行列式, 0),(),(wvuDzyxDJ則有公式.|),(),(),(),(dudvdwJwvuzwvuywvuxfdVzyxf.0),(),(wzvzuzwyvyuywxvxuxwvuDzyxDJ廣義球坐標(biāo)變換：廣義球坐標(biāo)變換：.sin),(),(2abcDzyxDJ,cos,sinsin,cossinczbyax例例9：).0, 0, 0( 1,12222223222222cbaczbyaxdVczbyaxI：其中求三重積分.sin),(),(2abcDzyxDJ,cos,sinsin,cossinczbyax解：解：.8324sincos4)1(22)1(sin2sin)1(122024sin10232102320102320203222222abcabctdttabcdabcddabcdabcdddVczbyaxIt