第一單元長方體和正方體一、長方體和正方體的認識1.長方體和正方體的特征。(1)長方體和正方體各部分的名稱。面:圍成立體圖形的平面圖形叫作立體圖形的面。棱:立體圖形中,兩個面相交的線段,叫作棱。頂點:三條棱相交的點叫作頂點。(2)長方體的特征。長方體面的特點。a.長方體共6個面,分別是上面和下面、前面和后面、左面和右面,它們分別是一組相對的面。b.把長方體放在一個平面上,從任意角度觀察,最多能同時看到3個面。圖1圖2c.一般情況下,長方體每個面的形狀都是長方形,如圖1;但有的長方體有2個相對的面是正方形,其余4個面都是長方形,如圖2。d.通過折一折長方體的平面展開圖可以發(fā)現(xiàn):相對的面能夠完全重合,即上面和下面、前面和后面、左面和右面完全相同。長方體棱的特征。長方體有12條棱;相對的棱互相平行,相鄰的棱互相垂直;相對的棱的長度相等,即4條相對的棱的長度相等。長方體頂點的數(shù)量:長方體共有8個頂點。(3)正方體的特征。正方體的面:一個正方體有6個面,每個面都是正方形,并且6個面完全相同。正方體的棱:正方體有12條棱,12條棱的長度都相等,相對的棱互相平行,相鄰的棱互相垂直。正方體的頂點:正方體有8個頂點。2.長方體的長、寬、高和棱長的認識。相交于一個頂點的三條棱,分別叫作長方體的長、寬、高。長方體的12條棱可以分成3組,即4條長、4條寬、4條高,4條相對的棱的長度相等。長方體的棱長總和=(長+寬+高)×4。3.正方體棱和棱長的認識。正方體有12條棱,每條棱的長度都相等。正方體棱長的總和=1條棱的長度×12。4.長方體和正方體的關系:正方體是特殊的長方體。 5.長方體和正方體的聯(lián)系與區(qū)別。面棱頂點個數(shù)形狀大小關系條數(shù)長度關系個數(shù)長方體6每個面一般是長方形,也可能有兩個相對的面是正方形相對的面形狀相同,面積相等12相對的棱長度相等8正方體6每個面都是正方形面積都相等1212條棱都相等8二、長方體和正方體的表面積1.長方體、正方體表面積的意義。(1)長方體的表面積:把長方體6個面的面積合在一起,就是長方體的表面積。(2)正方體的表面積:把正方體6個面的面積合在一起,就是正方體的表面積。2.長方體表面積的計算方法。(1)長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=(長×寬+長×高+寬×高)×2。(2)長方體表面積的字母公式:S=2ab+2ah+2bh=(ab+ah+bh)×2。(S表示長方體的表面積,a、b、h分別表示長方體的長、寬、高)3.正方體的表面積的計算方法。(1)正方體的表面積=棱長×棱長×6。(2)正方體表面積的字母公式:S=6a2。(S表示正方體的表面積,a表示正方體的棱長)三、長方體和正方體的體積1.體積和體積單位。(1)物體所占空間的大小叫作物體的體積。(2)體積單位:常用的體積單位有厘米3、分米3、米3。1厘米3:棱長1厘米的正方體,它的體積是1厘米3。1分米3:棱長1分米的正方體,它的體積是1分米3。1米3:棱長1米的正方體,它的體積是1米3。體積的大小是由體積單位的個數(shù)決定的。 (3)體積單位的換算。1米3=1000分米3或1 m3=1000 dm3;1分米3=1000厘米3或1 dm3=1000 cm3。相鄰的兩個體積單位間的進率都是1000。2.長方體和正方體的體積計算公式。(1)長方體的體積計算公式。長方體的體積=長×寬×高(2)用V表示長方體的體積,用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高,那么長方體的計算公式用字母表達式為V=abh。3.正方體的體積計算公式。(1)正方體是特殊的長方體,即正方體是長、寬、高都相等的長方體,根據(jù)長方體的體積公式推導出正方體的體積公式。長方體的體積=長×寬×高正方體的體積=棱長× 棱長 × 棱長(2)如果用V表示正方體的體積,用a表示正方體的棱長,那么正方體體積計算公式用字母表達式為V=a×a×a,通常寫成V=a3。(3)長方體、正方體統(tǒng)一的體積計算公式。長方體的體積=長×寬(底面積)×高正方體的體積=棱長×棱長(底面積)×棱長(看作高)長方體(或正方體)的體積=底面積×高如果用V表示體積,S表示底面積,h表示高,長方體、正方體統(tǒng)一的體積計算公式可以表示為V=Sh。四、容積1.容積的意義和單位。(1)容器:包裝箱、油桶、醫(yī)院用的注射器、集裝箱等都是用來容納物體的,通常被稱為容器。(2)包裝箱、油桶、倉庫等所能容納物體的體積,通常叫作它們的容積。(3)容積的單位:計量容積一般就用體積單位,如厘米3、分米3、米3,但計量容器內所盛的液體的體積時,通常用“升”“毫升”作單位。升用字母“L”表示,毫升用字母“mL”表示。計量較大容器的容積用“升”作單位,計量較小容器的容積用“毫升”作單位。2.容積單位間的進率及容積單位與體積單位間的換算。(1)1升=1000毫升 1 L=1000 mL(2)1分米3=1升1 dm3=1 L 1厘米3=1毫升1 cm3=1 mL3.容積的計算方法。(1)規(guī)則容器容積的計算方法與體積的計算方法相同,但要從容器的里面測量所需的數(shù)據(jù)。(2)求不規(guī)則較小容器的容積時,可用量杯或量筒測量容器中所容納的液體的體積;求不規(guī)則的較大容器的容積時,可以借助液體把它轉化成求規(guī)則容器的容積來計算。4.容積與體積的聯(lián)系與區(qū)別。(1)容積與體積的聯(lián)系:容積的大小可以通過所能容納物體的體積呈現(xiàn)出來,容積的計算方法與體積的計算方法相同。(2)容積與體積的區(qū)別。意義不同,體積是指物體所占空間的大小;容積是指所能容納物體的體積。計算時,測量數(shù)據(jù)的方法不同,計算體積從物體的外部測量所需數(shù)據(jù);計算容積從容器的里面測量所需數(shù)據(jù)。有容積的物體一定有體積,但有體積的物體不一定有容積。五、探索規(guī)律1.組合正方體表面涂色情況的規(guī)律。如果用n表示正方體的棱長,那么,規(guī)律如下:(1)3面涂色的小正方體的個數(shù)=正方體的頂點個數(shù)=8。(2)2個面涂色的小正方體的個數(shù)=正方體棱的條數(shù)乘棱長減2的差=12×(棱長-2)=12×(n-2)。(3)1面涂色的小正方體的個數(shù)=正方體的面數(shù)乘棱長減2的差的平方=6×(棱長-2)2=6×(n-2)2。(4)沒有涂色的小正方體的個數(shù)=正方體的棱長減2的差的立方=(棱長-2)3=(n-2)3。2.包裝中的數(shù)學問題。把同樣多的物體包裝成長方體,長、寬、高越接近,表面積越小。物體的重合面越大,包裝箱的用料越少。重點提示:立體圖形和平面圖形的區(qū)別,平面圖形只在平面上占有一定的面積,立體圖形不僅在平面上占有一定的面積,還占有一定的空間。易錯點:判斷:長方體的6個面一定都是長方形。(􀳫)錯解分析:此題錯在對長方體的特征理解不全面。一般情況下,長方體的6個面都是長方形,但也有2個相對的面是正方形的長方體。正確答案:方法提示:沿著不同的棱剪開長方體后,可以得到多種形狀的平面圖。重點提示:有2個正方形的面的長方體中有8條棱的長度相等,而另外4條棱的長度相等。重點提示:對于同一個長方體來說,它的擺放方式不同,所對應的長、寬、高也就不同。一般把底面較長的那條棱叫作長、底面較短的那條棱叫作寬,垂直于底面的那條棱叫作高。重點提示:正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體。重點提示:長方體和正方體展開圖的形狀不是唯一的,可以有多種展開方法。易錯點:棱長1厘米的正方體的體積是1厘米3,但是體積為1厘米3的物體不一定就是棱長為1厘米的正方體。重點提示:已知長方體的體積計算公式中的任意三個量,都可以求出第四個量。即V=abh、a=V÷b÷h、b=V÷a÷h、h=V÷a÷b。重點提示:a×a×a可以寫成a3,a3讀作a的立方,表示3個a相乘。易錯題:判斷:a3一定大于3a。(􀳫)錯解分析:a3表示3個a相乘,即a×a×a;3a表示3個a相加,即a+a+a;當a=1時,a3=1,3a=3,a3小于3a。正確答案:重點提示:計算體積從外部測量數(shù)據(jù),計算容積從容器里面測量數(shù)據(jù)。易錯題:判斷:電冰箱的體積和容積相等。 (􀳫)錯解分析:此題錯在沒有理解容積和體積之間的區(qū)別,兩者之間雖有聯(lián)系,但意義完全不同。冰箱的體積指的是冰箱所占空間的大小,冰箱的容積指的是冰箱容納物體的體積;計算冰箱的體積要從外部測量數(shù)據(jù),計算冰箱的容積要從里面測量數(shù)據(jù)。因此電冰箱的體積和容積相等是錯誤的。正確答案:方法提示:在研究一般性問題之前,先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況,從而歸納出一般的規(guī)律和性質。