命題、定理與證明知識講解 【要點梳理】 要點一、命題、基本事實與定理 1. 命題 一般地，判斷某一件事情的語句叫命題．正確的命題叫做真命題；不正確的命題叫做假命題． 命題通常由條件、結(jié)論兩個部分組成，條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項得到的事項.通常命題可以寫成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“開始的部分是條件，”那么“開始的部分是結(jié)論. 要點詮釋： 命題屬于判斷句或陳述句，是對一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒有關(guān)系．當(dāng)證明一個命題是假命題時只要舉出一個反例就可以． 2.基本事實 人們經(jīng)過長期實踐后公認(rèn)為正確的命題，作為判斷其他命題的依據(jù)，也可稱為公理. 如：（1）兩點確定一條直線；（2）兩點之間，線段最短等. 3.定理 數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實或者其他真命題出發(fā)，用邏用推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理．定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進(jìn)一步確認(rèn)其他命題真假的依據(jù). 要點詮釋： 滿足以下兩個條件的真命題稱為定理： （1）其正確性可通過公理或其它真命題邏輯推理而得到. （2）其又可作為判斷其它命題真假的依據(jù). 要點二、證明 1.證明 根據(jù)條件、定義以及基本事實、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明． 2.證明表述格式 證明幾何命題時，表述格式一般如下： （1）按題意畫出圖形； （2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論； （3）在“證明”中寫出推理過程. 要點詮釋： 在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線，添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常要畫出虛線. 【典型例題】 類型一、命題 1. 判斷下列語句在表述形式上，哪些對事情作了判斷？哪些沒有對事情作出判斷？做出判斷的哪些是正確的？哪些是錯誤的？ 　　(1)對頂角相等；　　 (2)畫一個角等于已知角；　　 　 (3)兩直線平行，同位角相等； (4)，兩條直線平行嗎? (5)鳥是動物； (6)若，求的值； (7)若，則=． 【答案與解析】 句子(1)(3)(5)(7) 對事情作了判斷，其中 (1)(3)(5)判斷是正確的，（7）判斷是錯誤的． 句子(2)(4)(6)沒有對事情作出判斷．其中(2)屬于操作性語句，(4)屬于問句，都不是判斷性語句. 【總結(jié)升華】主要考察命題的定義. 舉一反三： 【變式】下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題? (1)若，則； (2)三角形的三條高交于一點； (3)在ΔABC中，若AB＞AC，則∠C＞∠B嗎? (4)兩點之間線段最短； (5)解方程； (6)1＋2≠3． 【答案】（1）（2）（4）（6）是命題，（3）（5）不是命題． 2. 下列命題是真命題的是（　?。? A．如果|a|=1，那么a=1 B．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形 C．如果a為實數(shù)，那么a是有理數(shù) D．有兩邊和一角相等的兩個三角形全等； 【答案】C 舉一反三： 【變式】下列命題中，真命題的個數(shù)有（　?。? ①對頂角相等 　　?、谕唤窍嗟取　　、?的平方根是2 　　?、苋鬭＞b，則-2a＞-2b A．3個　　　　B．1個　　　　　C．4個 　　　　　D．2個 【答案】Ｂ ３.指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……那么……”的形式： 　　(1)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等； 　　(2)在同一個三角形中，等角對等邊； 　　(3)對頂角相等； 　　(4)同角的余角相等； 【答案與解析】 （1）“三條邊對應(yīng)相等”是對兩個三角形來說的，因此寫條件時最好把“兩個三角形”這句話添加上去，即命題的條件是“兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等”，結(jié)論是“這兩個三角形全等”．可以改寫成“如果兩個三角形有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等”． （2）“等角對等邊含義”是指有兩個角相等所對的兩條邊相等?？梢愿膶懗伞叭绻谕粋€三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等?！敝档米⒁獾氖牵}中包含了一個前提條件：“在同一個三角形中”，在改寫時不能遺漏． （3）這個命題的條件是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“兩個角相等”．這個命題可以改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”． （4）條件是“兩個角是同一個角的余角”，結(jié)論是“這兩個角相等”．這個命題可以改寫成“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”． 類型二、證明舉例 （1）平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行幾何證明： 4.已知，如圖，∠1=∠ACB，∠2=∠3，F(xiàn)H⊥AB于H．問CD與AB有什么關(guān)系？ 【答案與解析】 解：CD⊥AB；理由如下： ∵∠1=∠ACB， ∴DE∥BC，∠2=∠DCB， 又∵∠2=∠3， ∴∠3=∠DCB， 故CD∥FH， ∵FH⊥AB ∴CD⊥AB． 【總結(jié)升華】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用. 舉一反三： 【變式】如圖所示，E在直線DF上，B在直線AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，試判斷∠A與∠F的關(guān)系，并說明理由． 【答案】∠A=∠F． 證明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF， ∴∠DGF=∠EHF， ∴BD∥CE； ∴∠C=∠ABD， 又∵∠C=∠D， ∴∠D=∠ABD， ∴DF∥AC； ∴∠A=∠F． （2）與三角形有關(guān)的幾何證明： 5.如圖，已知三角形ABC的三個內(nèi)角平分線交于點I，IH⊥BC于H，試比較∠CIH和∠BID的大小． 【思路點撥】有角平分線，必然有相等的角；其次有垂直，所以直角三角形中兩銳角互余，把這些條件綜合，經(jīng)過推理不難找出要求兩個角的關(guān)系. 【答案與解析】 ∵AI、BI、CI為三角形ABC的角平分線， ∴∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB． ∴∠BAD+∠ABI+∠HCI =∠BAC+∠ABC+∠ACB =（∠BAC+∠ABC+∠ACB） =×180° =90°． ∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI． ∵IH⊥BC，∴∠IHC=90° ∴90°-∠HCI=∠CIH， ∴∠CIH=∠BAD+∠ABI ∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和） ∴∠BID=∠CIH． 【總結(jié)升華】考查了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為180°，在推導(dǎo)角的關(guān)系時，一定不要忘記與三角形有關(guān)的角中還有一個特別重要的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和. （3）添加輔助線的方法進(jìn)行幾何證明： 6、如圖，已知直線AB∥CD，求∠A+∠C與∠AEC的大小關(guān)系并說明理由． 【思路點撥】過E作EF∥AB，根據(jù)平行的傳遞性，則有EF∥CD，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)可求．