第一章 集合與常用邏輯用語第一節(jié)集合本節(jié)主要包括2個知識點：1.集合的概念與集合間的基本關(guān)系；2.集合的基本運算.突破點(一)集合的概念與集合間的基本關(guān)系 1集合的有關(guān)概念(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作aA；若b不屬于集合A，記作bA.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于AAB或BA相等集合A的每一個元素都是集合B的元素，集合B的每一個元素也都是集合A的元素AB且BAAB空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集B且B1判斷題(1)若x2，10,1，則x0,1.()(2)已知集合Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，則ABC.()(3)任何集合都有兩個子集()答案：(1)×(2)×(3)×2填空題(1)已知集合A0,1，x25x，若4A，則實數(shù)x的值為_解析：4A，x25x4，x1或x4.答案：1或4(2)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個數(shù)是_解析：A0,1,2，Bxy|xA，yA0，1，2,1,2故集合B中有5個元素答案：5(3)集合AxN|0<x<4的真子集個數(shù)為_解析：因為A1,2,3，所以其真子集的個數(shù)為2317.答案：7(4)已知集合A0,1，B1,0，a3，且AB，則a_.解析：AB，a31，a2.答案：2集合的概念與集合間的基本關(guān)系1.與集合概念有關(guān)問題的求解策略(1)確定構(gòu)成集合的元素是什么，即確定性(2)看這些元素的限制條件是什么，即元素的特征性質(zhì)(3)根據(jù)元素的特征性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍，或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性2判斷集合間關(guān)系的常用方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進行判斷數(shù)軸法在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系典例(1)若集合A1,1，B0,2，則集合z|zxy，xA，yB中元素的個數(shù)為()A5B4 C3D2(2)(2018·蘭州模擬)已知集合Ax|yln(x3)，Bx|x2，則下列結(jié)論正確的是()AABBABCABDBA(3)(2018·湖南長沙一中月考)已知集合Ax|x22x0，Bx|xa若AB，則實數(shù)a的取值范圍是()A2，)B(2，)C(，0)D(，0解析(1)因為xA，yB，所以當(dāng)x1，y0,2時，zxy1,1；當(dāng)x1，y0,2時，zxy1,3，所以集合z|zxy，xA，yB1,1,3，共3個元素，選C.(2)Ax|x>3，Bx|x2，結(jié)合數(shù)軸可得：BA.(3)由題意得集合Ax|x22x0x|0x2，要使得AB，則a2.故選A.答案(1)C(2)D(3)A易錯提醒(1)在用數(shù)軸法判斷集合間的關(guān)系時，其端點能否取到，一定要注意用回代檢驗的方法來確定如果兩個集合的端點相同，則兩個集合是否能同時取到端點往往決定了集合之間的關(guān)系(2)將兩個集合之間的關(guān)系準確轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件時，應(yīng)注意子集與真子集的區(qū)別，此類問題多與不等式(組)的解集相關(guān)確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易產(chǎn)生增解或漏解1(2018·河北邯鄲一中調(diào)研)已知集合A0,1,2，Bz|zxy，xA，yA，則B()A0,1,2,3,4B0,1,2C0,2,4D1,2解析：選A當(dāng)x0，y0,1,2時，xy0,1,2；當(dāng)x1，y0,1,2時，xy1,2,3；當(dāng)x2，y0,1,2時，xy2,3,4.所以Bz|zxy，xA，yA0,1,2,3,42已知集合AxN|x<2，By|ylg(x1)，xA，Cx|xA或xB，則集合C的真子集的個數(shù)為()A3B7C8D15解析：選B因為AxN|x<2，所以A0,1，因為By|ylg(x1)，xA，所以B0，lg 2因為Cx|xA或xB，所以C0,1，lg 2所以集合C的真子集的個數(shù)為2317.故選B.3(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)設(shè)A，B是全集I1,2,3,4的子集，A1,2，則滿足AB的B的個數(shù)是()A5B4C3D2解析：選B滿足條件的集合B可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，所以滿足AB的B的個數(shù)是4.故選B.4(2018·成都模擬)已知集合AxN|1<x<log2k，若集合A中至少有3個元素，則k的取值范圍為()A(8，)B8，)C(16，)D16，)解析：選C法一：集合AxN|1<x<log2k，集合A中至少有3個元素，log2k>4，解得k>16.故選C.法二：取k16，則集合AxN|1<x<log2kxN|1<x<42,3，所以排除A、B、D，故選C.5已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：BA，若B，則2m1<m1，此時m<2.若B，則解得2m3.由可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(，3答案：(，3突破點(二)集合的基本運算 1集合的三種基本運算符號表示圖形表示符號語言集合的并集ABABx|xA，或xB集合的交集ABABx|xA，且xB集合的補集若全集為U，則集合A的補集為UAUAx|xU，且xA2.集合的三種基本運算的常見性質(zhì)(1)AAA，A，AAA，AA.(2)AUA，AUAU，U(UA)A.(3)ABABAABBUAUBA(UB).1判斷題(1)若ABAC，則BC.()(2)若集合A，則RA.()(3)設(shè)集合Ux|3<x<3，xZ，A1,2，B2，1,2，則A(UB)1()答案：(1)×(2)×(3)2填空題(1)(2018·浙江模擬)已知集合PxR|0x4，QxR|x|<3，則PQ_.解析：由題意，得P0,4，Q(3,3)，PQ(3，4答案：(3,4(2)(2018·安徽合肥模擬)已知集合Ax|x2<4，Bx|x10，則AB_.解析：由題意，得Ax|x2<4(2,2)，Bx|x101，)，所以AB1,2)答案：1,2)(3)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，則集合A(UB)_.解析：因為UB2,5,8，所以A(UB)2,3,5,62,5,82,5答案：2,5(4)設(shè)集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，則U(AB)_.解析：A1,3,5，B3,4,5，AB1,3,4,5又U1,2,3,4,5,6，U(AB)2,6答案：2,6集合的交集或并集例1(1)(2018·湖南十校聯(lián)考)已知集合Px|12x<4，Q1,2,3，則PQ()A1B1,2 C2,3D1,2,3(2)(2018·山東菏澤模擬)設(shè)集合A，Bx|x2<1，則AB()Ax|1<x<2Bx|1<x<2C.Dx|1<x<1解析(1)Px|12x<40,2)，所以PQ1故選A.(2)因為Bx|x2<1x|1<x<1，所以ABx|1<x<2故選B.答案(1)A(2)B方法技巧求集合交集或并集的方法步驟交、并、補的混合運算例2(1)(2018·山東臨沂模擬)設(shè)集合UR，Ax|2x(x2)<1，Bx|yln(1x)，則圖中陰影部分表示的集合為()Ax|x1Bx|1x<2Cx|0<x1Dx|x1(2)(2018·湖北黃岡調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的定義域為M，g(x)ln(1x)的定義域為N，則M(RN)()Ax|x>1Bx|x1CDx|1<x<1解析(1)Ax|2x(x2)<1x|x(x2)<0x|0<x<2，Bx|yln(1x)x|1x>0x|x<1，則UBx|x1，陰影部分表示的集合為A(UB)x|1x<2(2)依題意得Mx|1<x<1，Nx|x<1，RNx|x1，所以M(RN)x|x>1答案(1)B(2)A方法技巧解決交、并、補混合運算的一般思路(1)用列舉法表示的集合進行交、并、補集運算時，常采用Venn圖法解決，此時要搞清Venn圖中的各部分區(qū)域表示的實際意義(2)用描述法表示的數(shù)集進行運算，常采用數(shù)軸分析法解決，此時要注意“端點”能否取到(3)若給定的集合是點集，常采用數(shù)形結(jié)合法求解集合的新定義問題例3(2018·合肥模擬)對于集合M，N，定義MNx|xM，且xN，MN(MN)(NM)設(shè)Ay|yx23x，xR，By|y2x，xR，則AB()A.B.C.0，)D.(0，)解析因為A，By|y<0，所以ABy|y0，BA，AB(AB)(BA).故選C.答案C方法技巧解決集合新定義問題的著手點(1)正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口(2)合理利用集合性質(zhì)：運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用1.(2018·長春模擬)設(shè)集合Ay|y2x，xR，Bx|x21<0，則AB()A(1,1)B(0,1)C(1，)D(0，)解析：選CA(0，)，B(1,1)，AB(1，)故選C.2.(2018·廣州模擬)若全集UR，集合Ax|1<2x<4，Bx|x10，則AUB()Ax|1<x<2Bx|0<x1Cx|0<x<1Dx|1x<2解析：選C由題意知，Ax|0<x<2，Bx|x1，UBx|x<1，所以AUBx|0<x<13.(2018·濰坊模擬)若集合Ax|13x81，Bx|log2(x2x)>1，則AB()A(2,4B2,4C(，0)(0,4D(，1)0,4解析：選A因為Ax|13x81x|303x34x|0x4，Bx|log2(x2x)>1x|x2x>2x|x<1或x>2，所以ABx|0x4x|x<1或x>2x|2<x4(2,44.(2018·沈陽模擬)已知集合AxN|x22x30，B1,3，定義集合A，B之間的運算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，則A*B中的所有元素之和為()A15B16 C20D21解析：選D由x22x30，得(x1)(x3)0，又xN，故集合A0,1,2,3A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，A*B中的元素有011,033,112,134,213(舍去)，235,314(舍去)，336，A*B1,2,3,4,5,6，A*B中的所有元素之和為21.5.如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合若x，yR，Ax|y，By|y3x，x>0，則AB為()Ax|0<x<2Bx|1<x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x>2解析：選D因為Ax|0x2，By|y>1，ABx|x0，ABx|1<x2，所以ABAB(AB)x|0x1或x>2，故選D.全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2017·全國卷)已知集合Ax|x<1，Bx|3x<1，則()AABx|x<0BABRCABx|x>1DAB解析：選A集合Ax|x<1，Bx|x<0，ABx|x<0，ABx|x<1，故選A.2(2017·全國卷)設(shè)集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，則B()A1，3B1,0 C1,3D1,5解析：選C因為AB1，所以1B，所以1是方程x24xm0的根，所以14m0，m3，方程為x24x30，解得x1或x3，所以B1,33(2017·全國卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個數(shù)為()A3B2 C1D0解析：選B因為A表示圓x2y21上的點的集合，B表示直線yx上的點的集合，直線yx與圓x2y21有兩個交點，所以AB中元素的個數(shù)為2.4(2016·全國卷)設(shè)集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，則AB()A.B.C.D.解析：選Dx24x3<0，1<x<3，Ax|1<x<32x3>0，x>，B.ABx|1<x<3.5(2016·全國卷)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)<0，xZ，則AB()A1B1,2C0,1,2,3D1,0,1,2,3解析：選C因為Bx|(x1)(x2)<0，xZx|1<x<2，xZ0,1，A1,2,3，所以AB0,1,2,36(2015·全國卷)已知集合A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)<0，則AB()A1,0B0,1C1,0,1D0,1,2解析：選A由題意知Bx|2<x<1，所以AB1,0故選A. 課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)集合的概念與集合間的基本關(guān)系1已知集合A1,2,3，B2,3，則()AABBABCABDBA解析：選DA1,2,3，B2,3，BA.2(2018·萊州一中模擬)已知集合AxN|x22x30，BC|CA，則集合B中元素的個數(shù)為()A2B3 C4D5解析：選CAxN|(x3)(x1)0xN|3x10,1，共有224個子集，因此集合B中元素的個數(shù)為4，選C.3(2018·廣雅中學(xué)測試)若全集UR，則正確表示集合M1,0,1和Nx|x2x0關(guān)系的Venn圖是()解析：選B由題意知，Nx|x2x01,0，而M1,0,1，所以NM，故選B.4已知集合Am2,2m2m，若3A，則m的值為_解析：由題意得m23或2m2m3，則m1或m，當(dāng)m1時，m23且2m2m3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m時，m2，則2m2m3，故m.答案：5已知集合Ax|42x16，Ba，b，若AB，則實數(shù)ab 的取值范圍是_解析：集合Ax|42x16x|222x24x|2x42,4，因為AB，所以a2，b4，所以ab242，即實數(shù)ab的取值范圍是(，2答案：(，2對點練(二)集合的基本運算1設(shè)集合Mx|x2x，Nx|lg x0，則MN()A0,1B(0,1 C0,1)D(，1解析：選AMx|x2x0,1，Nx|lg x0x|0x1，MN0,12若集合A1,0,1，By|yx2，xA，則AB()A0B1 C0,1D0，1解析：選C因為By|yx2，xA0,1，所以AB0,13(2018·中原名校聯(lián)考)設(shè)全集UR，集合Ax|0x2，By|1y3，則(UA)B()A(2,3B(，1(2，)C1,2)D(，0)1，)解析：選D因為UAx|x>2或x<0，By|1y3，所以(UA)B(，0)1，)4設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x<1，Qx|x2|<1，那么PQ()Ax|0<x<1Bx|0<x1Cx|1x<2Dx|2x<3解析：選B由log2x<1，得0<x<2，所以Px|0<x<2；由|x2|<1，得1<x<3，所以Qx|1<x<3由題意，得PQx|0<x15(2018·河北正定中學(xué)月考)已知集合Py|y2y2>0，Qx|x2axb0若PQR，且PQ(2,3，則ab()A5B5C1D1解析：選APy|y2y2>0y|y>2或y<1由PQR及PQ(2,3，得Q1,3，所以a13，b1×3，即a2，b3，ab5，故選A.6(2018·唐山統(tǒng)一考試)若全集UR，集合Ax|x25x6<0，Bx|2x<1，則圖中陰影部分表示的集合是()Ax|2<x<3Bx|1<x0Cx|0x<6Dx|x<1解析：選C由x25x6<0，解得1<x<6，所以Ax|1<x<6由2x<1，解得x<0，所以Bx|x<0又題圖中陰影部分表示的集合為(UB)A，UBx|x0，所以(UB)Ax|0x<6，故選C.7已知集合Ax|x2x12>0，Bx|xm若ABx|x>4，則實數(shù)m的取值范圍是()A(4,3)B3,4C(3,4)D(，4解析：選B集合Ax|x<3或x>4，ABx|x>4，3m4，故選B.8已知全集UxZ|0<x<8，集合M2,3,5，Nx|x28x120，則集合1,4,7為()AM(UN)BU(MN)CU(MN)D(UM)N解析：選C由已知得U1,2,3,4,5,6,7，N2,6，M(UN)2,3,51,3,4,5,73,5，MN2，U(MN)1,3,4,5,6,7，MN2,3,5,6，U(MN)1,4,7，(UM)N1,4,6,72,66，選C.大題綜合練遷移貫通1已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求實數(shù)m的值；(2)若ARB，求實數(shù)m的取值范圍解：由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)因為AB0,3，所以所以m2.(2)RBx|x<m2或x>m2，因為ARB，所以m2>3或m2<1，即m>5或m<3.因此實數(shù)m的取值范圍是(，3)(5，)2已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m(1)當(dāng)m1時，求AB；(2)若AB，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若AB，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)當(dāng)m1時，Bx|2<x<2，則ABx|2<x<3(2)由AB知解得m2，即實數(shù)m的取值范圍為(，2(3)由AB，得若2m1m，即m時，B，符合題意；若2m1m，即m時，需或得0m或，即0m.綜上知m0，即實數(shù)m的取值范圍為0，)3(2018·江西玉山一中月考)已知集合Ax|33x27，Bx|log2x>1(1)分別求AB，(RB)A；(2)已知集合Cx|1<x<a，若CA，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)33x27，即313x33，1x3，Ax|1x3log2x>1，即log2x>log22，x>2，Bx|x>2ABx|2<x3RBx|x2，(RB)Ax|x3(2)由(1)知Ax|1x3，CA.當(dāng)C為空集時，滿足CA，a1；當(dāng)C為非空集合時，可得1<a3.綜上所述，a3.實數(shù)a的取值范圍是a|a3.第二節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件本節(jié)主要包括2個知識點：1.命題及其關(guān)系；2.充分條件與必要條件.突破點(一)命題及其關(guān)系 1命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及相互關(guān)系3四種命題的真假關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系1判斷題(1)“x22x3<0”是命題. ()(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”()答案：(1)×(2) ×2填空題(1)“若ab，則ac2bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是_解析：其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題答案：2(2)命題“若x>1，則x>0”的否命題是_答案：若x1，則x0(3)設(shè)mR，命題“若m>0，則方程x2xm0有實根”的逆否命題是_答案：若方程x2xm0沒有實根，則m0(4)有下列幾個命題：“若a>b，則>”的否命題；“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；“若x2<4，則2<x<2”的逆否命題其中真命題的序號是_解析：原命題的否命題為“若ab，則”，假命題原命題的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則xy0”，真命題原命題為真命題，故逆否命題為真命題答案：命題的真假判斷例1下列命題中為真命題的是()A若，則xyB若x21，則x1C若xy，則D若x<y，則x2<y2解析取x1，排除B；取xy1，排除C；取x2，y1，排除D.答案A方法技巧判斷命題真假的思路方法(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識進行判斷(2)當(dāng)一個命題改寫成“若p，則q”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：若由“p”經(jīng)過邏輯推理，得出“q”，則可判定“若p，則q”是真命題；判定“若p，則q”是假命題，只需舉一反例即可四種命題的關(guān)系由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆否命題例2(1)(2018·西安八校聯(lián)考)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A逆命題B否命題C逆否命題D否定(2)原命題為“若<an，nN*，則an為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A真，真，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假解析(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題(2)原命題即“若an1<an，nN*，則an為遞減數(shù)列”為真命題，則其逆否命題為真，逆命題是：“若an為遞減數(shù)列，nN*，則an1<an”為真命題，所以否命題也為真命題答案(1)B(2)A方法技巧1寫一個命題的其他三種命題時的注意事項(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫為“若p，則q”形式(2)若命題有大前提，需保留大前提2判斷四種命題真假的方法(1)利用簡單命題判斷真假的方法逐一判斷(2)利用四種命題間的等價關(guān)系：當(dāng)一個命題不易直接判斷真假時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假1.下列命題中為真命題的是()Amx22x10是一元二次方程B拋物線yax22x1與x軸至少有一個交點C互相包含的兩個集合相等D空集是任何集合的真子集解析：選CA中，當(dāng)m0時，是一元一次方程，故是假命題；B中，當(dāng)44a<0，即a<1時，拋物線與x軸無交點，故是假命題；C是真命題；D中，空集不是本身的真子集，故是假命題2.(2018·河北承德模擬)已知命題：如果x<3，那么x<5；命題：如果x3，那么x5；命題：如果x5，那么x3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系，下列三種說法正確的是()命題是命題的否命題，且命題是命題的逆命題；命題是命題的逆命題，且命題是命題的否命題；命題是命題的否命題，且命題是命題的逆否命題ABCD解析：選A命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定，然后交換條件與結(jié)論所得，因此正確，錯誤，正確，故選A.3.(2018·黃岡調(diào)研)給出命題：若函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象不過第四象限在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是()A3B2 C1D0解析：選C易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題只有一個4.有下列四個命題：“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；“面積相等的三角形全等”的否命題；“若m1，則x22xm0有實數(shù)解”的逆否命題；“若ABB，則AB”的逆否命題其中為真命題的是_(填寫所有真命題的序號)解析：“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy1”，顯然是真命題；“面積相等的三角形全等”的否命題是“若兩個三角形面積不相等，則這兩個三角形不全等”，顯然是真命題；若x22xm0有實數(shù)解，則44m0，解得m1，所以“若m1，則x22xm0有實數(shù)解”是真命題，故其逆否命題是真命題；若ABB，則BA，故原命題是假命題，所以其逆否命題是假命題故真命題為.答案：突破點(二)充分條件與必要條件1充分條件與必要條件的概念若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pq且q pp是q的必要不充分條件p q且qpp是q的充要條件pqp是q的既不充分也不必要條件p q且q p2.充分條件與必要條件和集合的關(guān)系p成立的對象構(gòu)成的集合為A，q成立的對象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件ABp是q的必要條件BAp是q的充分不必要條件ABp是q的必要不充分條件BAp是q的充要條件AB1判斷題(1)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件()(2)當(dāng)p是q的充要條件時，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立()(3)“x1”是“x23x20”的必要不充分條件()答案：(1)(2)(3)×2填空題(1)若xR，則“x>1”是“<1”的_條件答案：充分不必要(2)設(shè)x>0，yR，則“x>y”是“x>|y|”成立的_條件答案：必要不充分(3)在ABC中，AB是tan Atan B的_條件答案：充要(4)設(shè)p，r都是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，那么p是t的_條件，r是t的_條件(用“充分”“必要”“充要”填空)解析：由題知pqst，又tr，rq，故p是t的充分條件，r是t的充要條件答案：充分充要充分條件與必要條件的判斷例1(1)(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件(2)(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析(1)因為an為等差數(shù)列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d>0S4S6>2S5.(2)mn，m·nn·n|n|2.當(dāng)<0，n0時，m·n<0.反之，由m·n|m|n|cosm，n<0cosm，n<0m，n，當(dāng)m，n時，m，n不共線故“存在負數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的充分而不必要條件答案(1)C(2)A方法技巧充分、必要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進行判斷(2)集合法：根據(jù)p，q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy1”是“x1或y1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x1且y1”是“xy1”的何種條件根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍例2已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，則m的取值范圍為_解析由x28x200得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要條件，知SP.則解得0m3.所以當(dāng)0m3時，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3答案0,3方法技巧根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的思路方法(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解(2)求解參數(shù)的取值范圍時， 一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象1.(2018·長沙四校聯(lián)考)“x>1”是“l(fā)og2(x1)<0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選B由log2(x1)<0得0<x1<1，即1<x<2，故“x>1”是“l(fā)og2(x1)<0”的必要不充分條件，選B.2.已知“x>k”是“<1”的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A2，)B1，)C(2，)D(，1解析：選A由<1，得1<0，解得x<1或x>2.因為“x>k”是“<1”的充分不必要條件，所以k2.3.(2017·天津高考)設(shè)R，則“<”是“sin <”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A法一：由<，得0<<，故sin <.由sin <，得2k<<2k，kZ，推不出“<”故“<”是“sin <”的充分而不必要條件法二：<0<<sin <，而當(dāng)sin <時，取，>.故“<”是“sin <”的充分而不必要條件4.(2016·北京高考)設(shè)a，b是向量，則“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選D若|a|b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為菱形ab，ab表示的是該菱形的對角線，而菱形的兩條對角線長度不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立，從而不是充分條件；反之，若|ab|ab|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，而矩形的鄰邊長度不一定相等，所以|a|b|不一定成立，從而不是必要條件故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要條件5.(2018·河北石家莊模擬)已知命題p：2，q：x22x1m20(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：法一：由2，得2x10，綈p：Ax|x>10或x<2由x22x1m20(m>0)，得1mx1m(m>0)，綈q：Bx|x>1m或x<1m，m>0綈p是綈q的必要不充分條件，BA解得m9.法二：綈p是綈q的必要不充分條件，q是p的必要不充分條件，p是q的充分不必要條件由x22x1m20(m>0)，得1mx1m(m>0)q：Qx|1mx1m，m>0又由2，得2x10，p：Px|2x10PQ解得m9. 答案：9，)全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2014·全國卷)函數(shù)f(x) 在xx0 處導(dǎo)數(shù)存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的極值點，則()Ap 是q 的充分必要條件 Bp是 q的充分條件，但不是q 的必要條件Cp是 q的必要條件，但不是q 的充分條件Dp 既不是q 的充分條件，也不是 q的必要條件解析：選C設(shè)f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，在x0處不存在極值，故若p則q是一個假命題，由極值的定義可得若q則p是一個真命題故選C.2(2017·全國卷)設(shè)有下面四個命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析：選B設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，對于p1，R，b0，zR，p1是真命題；對于p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0或b0，p2不是真命題；對于p3，設(shè)z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，則z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取z112i，z212i，z12，p3不是真命題；對于p4，zabiR，b0，abiaR，p4是真命題. 課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)命題及其關(guān)系1命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是()A若xy是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B若xy是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若xy不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)解析：選C由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C.2命題“若ABC有一內(nèi)角為，則ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()A與原命題同為假命題B與原命題的否命題同為假命題C與原命題的逆否命題同為假命題D與原命題同為真命題解析：選D原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則ABC有一內(nèi)角為”，它是真命題3在命題“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc<0”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是()A都真B都假C否命題真D逆否命題真解析：選D對于原命題：“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc<0”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題；但其逆命題：“若x|ax2bxc<0，則拋物線yax2bxc的開口向下”是一個假命題，因為當(dāng)不等式ax2bxc<0的解集非空時，可以有a>0，即拋物線的開口可以向上，因此否命題也是假命題故選D.4(2018·德州一中模擬)下列命題中為真命題的序號是_若x0，則x2；命題：若x21，則x1或x1的逆否命題為：若x1且x1，則x21；“a1”是“直線xay0與直線xay0互相垂直”的充要條件；命題“若x<1，則x22x3>0”的否命題為“若x1，則x22x30”解析：當(dāng)x<0時，x2，故是假命題；根據(jù)逆否命題的定義可知，是真命題；“a±1”是“直線xay0與直線xay0互相垂直”的充要條件，故是假命題；根據(jù)否命題的定義知是真命題答案：5“在ABC中，若C90°，則A，B都是銳角”的否命題為：_.解析：原命題的條件：在ABC中，C90°，結(jié)論：A，B都是銳角否命題是否定條件和結(jié)論即“在ABC中，若C90°，則A，B不都是銳角”答案：在ABC中，若C90°，則A，B不都是銳角對點練(二)充分條件與必要條件1(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點，從而，有公共點，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A.2(2018·浙江名校聯(lián)考)一次函數(shù)yx的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是()Am>1，且n<1Bmn<0Cm>0，且n<0Dm<0，且n<0解析：選B因為yx的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故>0，<0，即m>0，n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0.3(2018·河南豫北名校聯(lián)盟精英對抗賽)設(shè)a，bR，則“l(fā)og2a>log2b”是“2ab>1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選Alog2a>log2ba>b>0,2ab>1a>b，所以“l(fā)og2a>log2b”是“2ab>1”的充分不必要條件故選A.4(2018·重慶第八中學(xué)調(diào)研)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，則“f(x)為偶函數(shù)”是“f(x)為奇函數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選Bf(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)·(x)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)為偶函數(shù)；反之，若f(x)為偶函數(shù)，如f(x)3x2，f(x)x31滿足條件，但f(x)不是奇函數(shù)，所以“f(x)為偶函數(shù)”是“f(x)為奇函數(shù)”的必要不充分條件故選B.5(2018·山西懷仁一中期中)命題“x1,2)，x2a0”為真命題的一個充分不必要條件可以是()Aa4Ba>4Ca1Da>1解析：選Bx2a0ax2.因為x21,4)，所以a4.故a>4是已知命題的一個充分不必要條件故選B.6(2018·廣東梅州質(zhì)檢)已知命題p：“方程x24xa0有實根”，且綈p為真命題的充分不必要條件為a>3m1，則實數(shù)m的取值范圍是()A1，)B(1，)C(，1)D(0,1)解析：選B命題p：“方程x24xa0有實根”為真時，164a0，a4.綈p為真命題時，a>4.又綈p為真命題的充分不必要條件為a>3m1，(3m1，)是(4，)的真子集，3m1>4，解得m>1，故選B.7(2018·福建閩侯二中期中)設(shè)命題p：|4x3|1；命題q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由|4x3|1，得x1；由x2(2a1)·xa(a1)0，得axa1.綈p是綈q的必要不充分條件，q是p的必要不充分條件，p是q的充分不必要條件a，a1a.且a11，兩個等號不能同時成立，解得0a.實數(shù)a的取值范圍是.答案：大題綜合練遷移貫通1寫出命題“已知a，bR，若關(guān)于x的不等式x2axb0有非空解集，則a24b”的逆命題、否命題、逆