內(nèi)容 半角旋轉(zhuǎn)模型 三垂直模型 以及旋轉(zhuǎn)相似模型 探究 1 如圖 1 在正方形 ABCD 中 E F 分別是 BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF 45 試判斷 BE DF 與 EF 三條線段之間的數(shù)量關(guān)系 直接寫出判斷結(jié)果 2 如圖 2 若把 1 問(wèn)中的條件變?yōu)?在四邊形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分別是邊 BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF BAD 則 1 問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立 2 若成立 請(qǐng)給出證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 3 在 2 問(wèn)中 若將 AE F 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 當(dāng)點(diǎn)分別 E F 運(yùn)動(dòng)到 BC CD 延長(zhǎng) 線上時(shí) 如圖 3 所示 其它條件不變 則 1 問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化 若變化 請(qǐng)給出結(jié)論并予 以證明 小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題 如圖 1 在正方形 ABCD 中 點(diǎn) E F 分別為 DC BC 邊上的點(diǎn) EAF 45 連結(jié) EF 求證 DE BF EF 小偉是這樣思考的 要想解決這個(gè)問(wèn)題 首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線 段上 他先后嘗試了平移 翻折 旋轉(zhuǎn)的方法 發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決此問(wèn)題 他的方法 是將 ADE 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到 ABG 如圖 2 此時(shí) GF 即是 DE BF 請(qǐng)回答 在圖 2 中 GAF 的度數(shù)是 參考小偉得到的結(jié)論和思考問(wèn)題的方法 解決下列問(wèn)題 1 如圖 3 在直角梯形 ABCD 中 AD BC AD BC F E DA B C B E DA G F E DA B C C圖 1 圖 2 圖 3 C D A O B x y 圖 4 圖 圖 圖圖 圖 圖圖圖 F E DA B C B E DA G F E DA B C C圖 1 圖 2 圖 3 C D A O B x y 圖 4 圖 圖 圖圖 圖 圖圖圖 D 90 AD CD 10 E 是 CD 上一點(diǎn) 若 BAE 45 DE 4 則 BE 2 如圖 4 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 點(diǎn) B 是 x 軸上一 動(dòng)點(diǎn) 且點(diǎn) A 2 連結(jié) AB 和 AO 并以 AB 為邊向上作3 正方形 ABCD 若 C x y 試用含 x 的代數(shù)式表示 y 則 y 已知 正方形 中 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交ABCD45MN A CB DC 或它們的延長(zhǎng)線 于點(diǎn) M N 1 如圖 1 當(dāng) 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)到 時(shí) 有 當(dāng)BDBMN 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)到 時(shí) 如圖 2 請(qǐng)問(wèn)圖 1 中的結(jié)論還是否成立 如N 果成立 請(qǐng)給予證明 如果不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 當(dāng) 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 的位置時(shí) 線段 和 之間有怎樣的等A 量 關(guān) 系 請(qǐng) 寫 出 你 的 猜 想 并 證 明 24 如圖 1 在等腰直角 ABC 中 BAC 90 AB AC 2 點(diǎn) E 是 BC 邊上一點(diǎn) CD OA B圖 4x y DEF 45 且角的兩邊分別與邊 AB 射線 CA 交于點(diǎn) P Q 1 如圖 2 若點(diǎn) E 為 BC 中點(diǎn) 將 DEF 繞著點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) DE 與邊 AB 交于點(diǎn) P EF 與 CA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q 設(shè) BP 為 x CQ 為 y 試求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 并寫出自變量 x 的取值范圍 2 如圖 3 點(diǎn) E 在邊 BC 上沿 B 到 C 的方向運(yùn)動(dòng) 不與 B C 重合 且 DE 始終經(jīng)過(guò) 點(diǎn) A EF 與邊 AC 交于 Q 點(diǎn) 探究 在 DEF 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 AEQ 能否構(gòu)成等腰三 角形 若能 求出 BE 的長(zhǎng) 若不能 請(qǐng)說(shuō)明理由 海淀 25 如圖 1 兩個(gè)等腰直角三角板 和 有一條邊在同一條直線 上 ABCDEFl 將直線 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 交直線 于點(diǎn) 將圖 1 中2DE ABE45 ADM 的三角板 沿直線 向右平移 設(shè) 兩點(diǎn)間的距離為 Cl k 圖 1 圖 2 圖 3 解答問(wèn)題 1 當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí) 如圖 2 所示 可得 的值為 CFAMD 在平移過(guò)程中 的值為 用含 的代數(shù)式表示 AMDk 2 將圖 2 中的三角板 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 原題中的其他條件保持不變 當(dāng)點(diǎn) 落BCA 在線段 上時(shí) 如圖 3 所示 請(qǐng)補(bǔ)全圖形 計(jì)算 的值 FA 3 將圖 1 中的三角板 ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度 原題中的其他條件保 0 9 持不變 計(jì)算 的值 用含 k 的代數(shù)式表示 AMD 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 昌平 22 閱讀下面材料 小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題 如圖 1 在正三角形 ABC 內(nèi)有一點(diǎn) P 且 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的度數(shù) 小偉是這樣思考的 如圖 2 利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造 連接 得到兩AC 個(gè)特殊的三角形 從而將問(wèn)題解決 P CB A A B CP P D PA C B A B C D PF E 請(qǐng)你回答 圖 1 中 APB 的度數(shù)等于 參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法 解決下列問(wèn)題 1 如圖 3 在正方形 ABCD 內(nèi)有一點(diǎn) P 且 PA PB 1 PD 則 APB217 的度數(shù)等于 正方形的邊長(zhǎng)為 2 如圖 4 在正六邊形 ABCDEF 內(nèi)有一點(diǎn) P 且 PA PB 1 PF 則 APB3 的度數(shù)等于 正六邊形的邊長(zhǎng)為 通州 24 9 分 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 點(diǎn) B 0 3 點(diǎn) C 是 x 軸正半軸上一點(diǎn) 連結(jié) BC 過(guò)點(diǎn) C 作直線 CP y 軸 1 若含 45 角的直角三角形如圖所示放置 其中 一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn) O 重合 直角頂點(diǎn) D 在線段 BC 上 另一個(gè)頂點(diǎn) E 在 CP 上 求點(diǎn) C 的坐標(biāo) 2 若含 30 角的直角三角形一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn) O 重合 直角頂點(diǎn) D 在線段 BC 上 另一個(gè) 頂點(diǎn) E 在 CP 上 求點(diǎn) C 的坐標(biāo) 圖圖圖24 xyBOOByxyxEPDCBO 西城 19 如圖所示 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 正方形 的邊長(zhǎng)為 1 將其沿 軸的PABCx 正方向連續(xù)滾動(dòng) 即先以頂點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心將正方形 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到第二 個(gè)正方形 再以頂點(diǎn) D 為旋轉(zhuǎn)中心將第二個(gè)正方形順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到第三個(gè)正方形 依此方法繼續(xù)滾動(dòng)下去得到第四個(gè)正方形 第 n 個(gè)正方形 設(shè)滾動(dòng)過(guò)程中的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 xy 1 畫出第三個(gè)和第四個(gè)正方形的位置 并直接寫出第三個(gè)正方形中的點(diǎn) P 的坐標(biāo) 2 畫出點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)的曲線 0 4 并直接寫出該曲線與 軸所圍成區(qū)域的面 Pxyxx 積 東城 24 問(wèn)題 1 如圖 1 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB BC CD 點(diǎn) M N 分別在 AD CD 上 若 MBN ABC 試探究線段 MN AM CN 有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)2 直接寫出你的猜想 不用證明 問(wèn)題 2 如圖 2 在四邊形 ABCD 中 AB BC ABC ADC 180 點(diǎn) M N 分別在 DA CD 的延長(zhǎng)線上 若 MBN ABC 仍然成立 請(qǐng)你進(jìn)一步探究線段1 MN AM CN 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 寫出你的猜想 并給予證明 昌平 24 在 ABC 中 AB 4 BC 6 ACB 30 將 ABC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 得到 A 1BC1 1 如圖 1 當(dāng)點(diǎn) C1在線段 CA 的延長(zhǎng)線上時(shí) 求 CC 1A1 的度數(shù) 2 如圖 2 連接 AA1 CC 1 若 CBC 1 的面積為 3 求 ABA 1的面積 3 如圖 3 點(diǎn) E 為線段 AB 中點(diǎn) 點(diǎn) P 是線段 AC 上的動(dòng)點(diǎn) 在 ABC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中 點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) P1 直接寫出線段 EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值 C 1 CB A1 A 圖2A1 C1 A B C 圖1 圖3 P P1 EA1 A C1 CB 朝陽(yáng) 24 在 Rt ABC 中 A 90 D E 分別為 AB AC 上的點(diǎn) 1 如圖 1 CE AB BD AE 過(guò)點(diǎn) C 作 CF EB 且 CF EB 連接 DF 交 EB 于點(diǎn) G 連接 BF 請(qǐng)你直接寫出 的值 B 2 如圖 2 CE kAB BD kAE 求 k 的值 12 西城 24 在 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 點(diǎn) P 在 ABC 的內(nèi)部 1 如圖 1 AB 2AC PB 3 點(diǎn) M N 分別在 AB BC 邊上 則 cos PMN 周長(zhǎng)的最小值為 2 如圖 2 若條件 AB 2AC 不變 而 PA PB PC 1 求 ABC 的面積 210 3 若 PA PB PC 且 直接寫出 APB 的度數(shù) mnkcosinm 圖 2 DECBA 圖 1 GFDECBA 門頭溝 24 已知 在 ABC 中 AB AC 點(diǎn) D 為 BC 邊的中點(diǎn) 點(diǎn) F 是 AB 邊上一點(diǎn) 點(diǎn) E 在線段 DF 的延長(zhǎng)線上 點(diǎn) M 在線段 DF 上 且 BAE BDF ABE DBM 1 如圖 1 當(dāng) ABC 45 時(shí) 線段 DM 與 AE 之間的數(shù)量關(guān)系是 2 如圖 2 當(dāng) ABC 60 時(shí) 線段 DM 與 AE 之間的數(shù)量關(guān)系是 3 如圖 3 當(dāng) 時(shí) 線段 DM 與 AE 之間的數(shù)量關(guān)ABC 0 9 系是 在 2 的條件下延長(zhǎng) BM 到 P 使 MP BM 連結(jié) CP 若 AB 7 AE 27 求 sin ACP 的值 順義 24 如圖 1 將三角板放在正方形 ABCD上 使三角板的直角頂點(diǎn) E與正方形ABCD 的頂點(diǎn) 重合 三角板的一邊交 于點(diǎn) F 另一邊交 CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 1 求證 EFG 2 如圖 2 移動(dòng)三角板 使頂點(diǎn) E始終在正方形 的對(duì)角線 A上 其他條件不 變 1 中的結(jié)論是否仍然成立 若成立 請(qǐng)給予證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理 由 3 如圖 3 將 2 中的 正方形 ABCD 改為 矩形 BD 且使三角板 的一邊經(jīng) 過(guò)點(diǎn) B 其他條件不變 若 a b 求 FEG的值 A B CD E F M MF E D CB A A B CD E F M 圖1 圖2 圖3 朝陽(yáng) 22 閱讀下列材料 小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題 如圖 1 ABC 中 ACB 30 BC 6 AC 5 在 ABC 內(nèi)部有一點(diǎn) P 連接 PA PB PC 求 PA PB PC 的最小值 小華是這樣思考的 要解決這個(gè)問(wèn)題 首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段 分離 然后再將它們連接成一條折線 并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn) 這樣依據(jù) 兩點(diǎn)之間 線段最短 就可以求出這三條線段和的最小值了 他先后嘗試了翻折 旋轉(zhuǎn) 平移的方法 發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題 他的做法是 如圖 2 將 APC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 EDC 連接 PD BE 則 BE 的長(zhǎng)即為所求 1 請(qǐng)你寫出圖 2 中 PA PB PC 的最小值為 2 參考小華的思考問(wèn)題的方法 解決下列問(wèn)題 如圖 3 菱形 ABCD 中 ABC 60 在菱形 ABCD 內(nèi)部有一點(diǎn) P 請(qǐng)?jiān)趫D 3 中畫出并指明長(zhǎng)度等于 PA PB PC 最小值的線段 保留畫圖痕跡 畫出一條即 可 若 中菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4 請(qǐng)直接寫出當(dāng) PA PB PC 值最小時(shí) PB 的長(zhǎng) 豐臺(tái) 24 在 Rt ABC 中 AB BC B 90 將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn) O 放在斜 DEACBP 圖 2 DACB 圖 3 ACBP 圖 1 邊 AC 上 將三角板繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 1 當(dāng)點(diǎn) O 為 AC 中點(diǎn)時(shí) 如圖 1 三角板的兩直角邊分別交 AB BC 于 E F 兩點(diǎn) 連接 EF 猜想線段 AE CF 與 EF 之間存在的等量關(guān)系 無(wú)需證明 如圖 2 三角板的兩直角邊分別交 AB BC 延長(zhǎng)線于 E F 兩點(diǎn) 連接 EF 判斷 中的猜想是否成立 若成立 請(qǐng)證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 當(dāng)點(diǎn) O 不是 AC 中點(diǎn)時(shí) 如圖 3 三角板的兩直角邊分別交 AB BC 于 E F 兩點(diǎn) 若 14AC 求 的值 EF 朝陽(yáng)期末 25 已知 在 中 于點(diǎn) D 點(diǎn) E 在 AC 上 BEABC 90ABC 交 CD 于點(diǎn) G 交 AB 于點(diǎn) F EF 如圖甲 當(dāng) 時(shí) 且 時(shí) 則有 GE 1 如圖乙 當(dāng) 時(shí) 且 時(shí) 則線段 EF 與 EG 的數(shù)量關(guān)系是 2 EF EG 2 如圖乙 當(dāng) 時(shí) 且 時(shí) 請(qǐng)?zhí)骄烤€段 EF 與 EG 的數(shù)量2 關(guān)系 并證明你的結(jié)論 3 當(dāng) 時(shí)且 時(shí) 則線段 EF 與 EG 的數(shù)量關(guān)系 并直接寫出mBCA nAE 你的結(jié)論 不用證明 C O B A O E 圖 1 FB A O C E F A B C E F 圖 2 圖 3 西城期末 24 已知 如圖 正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a BM DN 分別平分正方形的兩個(gè)外 角 且滿足 連結(jié) MC NC MN 45MAN 1 填空 與 ABM 相似的三角形是 用含 a 的代BMDN 數(shù)式表示 2 求 的度數(shù) C 3 猜想線段 BM DN 和 MN 之間的等量關(guān)系并 證明你的結(jié)論