回顧7概率與統(tǒng)計(jì) 必記知識 分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種方法(也稱加法原理) 分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有Nm1×m2××mn種方法(也稱乘法原理) 排列數(shù)、組合數(shù)公式及其相關(guān)性質(zhì)(1)排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)(mn，m，nN*)，An！n(n1)(n2)·2·1(nN*)提醒)（1）在這個(gè)公式中m，nN*，且mn，并且規(guī)定0！1，當(dāng)mn時(shí)，An！.（2）A主要有兩個(gè)作用：利用此公式計(jì)算排列數(shù)；對含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形時(shí)常使用此公式. (2)組合數(shù)公式C(mn，n，mN*)提醒)（1）公式C主要有兩個(gè)作用：利用此公式計(jì)算組合數(shù)；對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證明時(shí)，常用此公式.（2）組合數(shù)的性質(zhì),CC（mn，n，mN*），CCC（mn，n，mN*）.（3）排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系A(chǔ)CA. 二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)C(k0，1，2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的Cankbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk1表示，即通項(xiàng)為展開式的第k1項(xiàng)：Tk1Cankbk(其中0kn，kN，nN*) 二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.提醒)對于二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)要注意,（1）區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì).項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正.（2）運(yùn)用通項(xiàng)求展開的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求n，計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.（3）賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.（4）在化簡求值時(shí)，注意二項(xiàng)式定理的逆用，要用整體思想看待a，b. 概率的計(jì)算公式(1)古典概型的概率公式P(A)；(2)互斥事件的概率計(jì)算公式P(AB)P(A)P(B)；(3)對立事件的概率計(jì)算公式P(A)1P(A)；(4)幾何概型的概率計(jì)算公式P(A). 統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)；(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即(x1x2xn)；(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2標(biāo)準(zhǔn)差：s. 二項(xiàng)分布(1)相互獨(dú)立事件的概率運(yùn)算事件A，B相互獨(dú)立P(AB)P(A)P(B)若事件A1，A2，An相互獨(dú)立，則這些事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)事件A，B相互獨(dú)立，則和，A與，與B也相互獨(dú)立(2)條件概率P(B|A)的性質(zhì)0P(B|A)1.若B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)若A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)(3)二項(xiàng)分布如果在每次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(k)Cpkqnk，其中k0，1，n，q1p，于是得到隨機(jī)變量的概率分布列如下：01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并稱p為成功概率提醒)在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P（Xk），k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布. 正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)，(x)dx(即直線xa，直線xb，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)，則E(X)，D(X)2.(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸上方，與x軸不相交曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱曲線在x處達(dá)到峰值 .曲線與x軸之間的面積為1.當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散提醒)P（Xa）1P（Xa）；P（Xa）P（Xa）；P（aXb）P（Xb）P（Xa）. 必會結(jié)論 求解排列問題常用的方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列產(chǎn)生的空中先整體，后局部“小集團(tuán)”排列問題中，先整體，后局部除法對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：在二項(xiàng)展開式中與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(ab)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即CCC2n.(4)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即CCCC2n1. 均值與方差的性質(zhì)結(jié)論(1)均值的性質(zhì)結(jié)論E(k)k(k為常數(shù))E(aXb)aE(X)b.E(X1X2)E(X1)E(X2)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)E(X1)·E(X2)(2)方差的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論D(k)0(k為常數(shù))D(aXb)a2D(X)D(X)E(X2)E(X)2.若X1，X2，Xn兩兩獨(dú)立，則D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xn)(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)必練習(xí)題1200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值為()A62，62.5B65，62C65，63.5D65，65解析：選D.由圖易知最高的矩形為第三個(gè)矩形，所以時(shí)速的眾數(shù)為65.前兩個(gè)矩形的面積為(0.010.02)×100.3，由于0.50.30.2，則×105，所以中位數(shù)為60565.故選D.2在的展開式中，x的冪指數(shù)是非整數(shù)的項(xiàng)共有()A18項(xiàng)B19項(xiàng)C20項(xiàng)D21項(xiàng)解析：選C.展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C(x)24r·(x)rCxr(0r24，rN)，若x的冪指數(shù)是整數(shù)，則12r為整數(shù)，所以r0，6，12，18，24，共可取5個(gè)值，因?yàn)榈恼归_式中有25項(xiàng)，所以x的冪指數(shù)是非整數(shù)的項(xiàng)共有25520項(xiàng)，故選C.3如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是()A7B7C21D21解析：選C.因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，所以令x1，則2n128，解得n7，所以的展開式中第r1項(xiàng)為Tr1C(3x)7r(1)rC37rx，令7r3，解得r6，所以的系數(shù)為(1)6C×321.故選C. 4(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A80B40C40D80解析：選C.由二項(xiàng)式定理可得，展開式中含x3y3的項(xiàng)為x·C(2x)2(y)3y·C(2x)3(y)240x3y3，則x3y3的系數(shù)為40.5從6個(gè)盒子中選出3個(gè)來裝東西，且甲、乙兩個(gè)盒子至少有一個(gè)被選中的情況有()A16種B18種C22種D37種解析：選A.可分為兩類，第一類：甲、乙兩個(gè)盒子恰有一個(gè)被選中，有CC12種；第二類：甲、乙兩個(gè)盒子都被選中，有CC4種，所以共有12416種不同的情況，故選A.6學(xué)校組織學(xué)生參加社會調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)現(xiàn)從該小組中選出3名同學(xué)分別到A，B，C三地進(jìn)行社會調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，則不同的安排方法有()A70種B140種C840種D420種解析：選D.從9名同學(xué)中任選3名分別到A，B，C三地進(jìn)行社會調(diào)查有CA種方法，3名同學(xué)全是男生或全是女生有(CC)A種方法，故選出的同學(xué)中男女均有的不同安排方法有CA(CC)A420種7某彩票公司每天開獎一次，從1，2，3，4四個(gè)號碼中隨機(jī)開出一個(gè)作為中獎號碼，開獎時(shí)如果開出的號碼與前一天的相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止如果第一天開出的號碼是4，那么第五天開出的號碼也同樣是4的所有可能的情況有()A14種B21種C24種D35種解析：選B.第一天開出4，第五天同樣開出4，則第二天開出的號碼有3種情況，如果第三天開出的號碼是4，則第四天開出的號碼有3種情況；如果第三天開出的號碼不是4，則第四天開出的號碼有2種情況，所以滿足條件的情況有3×1×33×2×221種8五個(gè)人負(fù)責(zé)一個(gè)社團(tuán)的周一至周五的值班工作，每人一天，則甲同學(xué)不值周一，乙同學(xué)不值周五，且甲、乙不相鄰的概率是()A.B.C.D.解析：選B.由題意，總的基本事件數(shù)為五個(gè)人的全排列數(shù)A.設(shè)“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相鄰”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)可按甲值班日期分類計(jì)算，當(dāng)甲值周二時(shí)，有A種；當(dāng)甲值周三時(shí)，有A種；當(dāng)甲值周四時(shí)，有2A種，當(dāng)甲值周五時(shí)，有3A種所以事件A包含的基本事件數(shù)n(A)AA2A3A7A，所以事件A發(fā)生的概率為P(A)，故選B.9編號為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在4號，5號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法的種數(shù)為_解析：根據(jù)A球所在的位置可分三類：(1)若A球放在1號盒子內(nèi)，則B球只能放在2號盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放C，D，E球，有3×2×16種不同的放法(2)若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在2號盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放C，D，E球，有3×2×16種不同的放法(3)若A球放在2號盒子內(nèi)，則B球可以放在1號，3號，4號中的任何一個(gè)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放C，D，E球，有3×3×2×118種不同的放法綜上可得不同的放法共有661830種答案：3010隨機(jī)地向半圓0y(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，而原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為_解析：由0y(a0)得(xa)2y2a2.因此半圓區(qū)域如圖所示設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于”，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A).答案：8