2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)分類匯編 第三期 G單元 立體幾何目錄G單元 立體幾何1G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)2G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖2G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線2G4 空間中的平行關(guān)系2G5 空間中的垂直關(guān)系2G6 三垂線定理2G7 棱柱與棱錐2G8 多面體與球2G9空間向量及運(yùn)算2G10 空間向量解決線面位置關(guān)系2G11 空間角與距離的求法2G12 單元綜合2G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)【數(shù)學(xué)理卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】11.已知四面體中, ，,平面PBC,則四面體的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比 A.B.C.D. （ ） 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G1【答案解析】C 設(shè)內(nèi)切球的半徑為r則=+求出r.把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑R，然后求出內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用分割法求出內(nèi)切球的半徑，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，再求出比值。G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖【數(shù)學(xué)（理）卷·xx屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）】5一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）第5題AB.C. D.【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積G2 【答案解析】C 解析：由三視圖可知該幾何體，是過一正三棱柱的上底面一邊作截面，截去的部分為三棱錐，而得到的幾何體原正三棱錐的底面邊長為2，高為2，體積V1=Sh=×2=2截去的三棱錐的高為1，體積V2=×1=故所求體積為V=V1V2=，故選A【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知該幾何體，是過一正三棱柱的上底面一邊作截面，截去的部分為三棱錐，利用間接法求出其體積【數(shù)學(xué)理卷·xx屆黑龍江省雙鴨山一中高三上學(xué)期期中考試（xx11） 】6.若某多面體的三視圖(單位：cm), 如圖所示， 其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形，則 此多面體的表面積是（ ）A. B. C. 15 D. 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】B 由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形在等腰三角形ABC中，CDAB，CD=4，AB=6，AC=BC= =5PC底面ABC，PCAC，PCBC，PCCDS表面積=2××5×4+×6×4+×6×4=32+12故答案為B【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形據(jù)此即可計(jì)算出答案【數(shù)學(xué)理卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】5一個(gè)棱錐的三視圖如圖（單位為cm），則該棱錐的全面積是 ( ) A、4+2 B、4+ C、4+2 D、4+ 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】A 由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，點(diǎn)O為邊AC的中點(diǎn)，且PO底面ABC，OBAC，PO=AC=OB=2可求得SPAC=×2×2=2，SABC=×2×2=2POAC，在RtPOA中，由勾股定理得PA=同理AB=BC=PC=PA=由PO底面ABC，得POOB，在RtPOB中，由勾股定理得PB=2由于PAB是一個(gè)腰長為，底邊長為2的等腰三角形，可求得底邊上的高h(yuǎn)=SPAB=×2×=同理SPBC=故該棱錐的全面積=2+2+=4+2故答案為4+2【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，點(diǎn)O為邊AC的中點(diǎn)，且PO底面ABC，OBAC，PO=AC=OB=2據(jù)此可計(jì)算出該棱錐的全面積【數(shù)學(xué)理卷·xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）word版】3、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）A、54 B、27 C、18 D、9【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積G2 【答案解析】C 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，底面長和寬分別為3和6，其底面面積S=3×6=18，又棱錐的高h(yuǎn)=3，故該幾何體的體積V=Sh=×3×18=18故選：C【思路點(diǎn)撥】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，分別求出底面面積和高，代入錐體體積公式，可得答案【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測試（xx11）word版】3一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長為1，則該幾何體外接球的表面積為（ ）。A B C D【知識(shí)點(diǎn)】三視圖，球體表面積G2，G8【答案解析】B 解析：由三視圖可知，此幾何體是四棱錐，是由正方體下底面四個(gè)頂點(diǎn)和上底面一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成。此幾何體的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線是球的直徑，所以半徑R=，球的表面積 ?！舅悸伏c(diǎn)撥】由三視圖確定幾何體，應(yīng)先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行解答.一般情況下，錐體或柱體都可以通過長方體和正方體取點(diǎn)得到?！緮?shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11） 】3.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是（ ）A.2 B. C. D.3【知識(shí)點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖G2 【答案解析】D 解析：根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是：，故選D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，再利用體積公式求高x即可【數(shù)學(xué)文卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】9一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為4的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積是()A12 B24C32 D48【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】D 由三視圖可知該幾何體是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為4，該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的直徑為×4=4，即球的半徑為2，所以該球的表面積是4(2)2=48故選D【思路點(diǎn)撥】該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為CC1=4，故可求結(jié)論【數(shù)學(xué)文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（xx11）】7. 某幾何體的三視圖如右圖所示，則其體積為 ()A B. C D【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖. G2【答案解析】B 解析：由三視圖可知此幾何體是底面半徑1，高2的半圓錐，所以其體積為，故選B.【思路點(diǎn)撥】由幾何體的三視圖，分析此幾何體的結(jié)構(gòu)，從而求得此幾何體的體積.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）】5、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是3336正視圖側(cè)視圖俯視圖A、54 B、27 C、18 D、9【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖. G2【答案解析】C 解析：由三視圖知該幾何體是底面是長6寬3的矩形，高3的四棱錐，所以此幾何體的體積為，故選C.【思路點(diǎn)撥】由三視圖得該幾何體的結(jié)構(gòu)，從而求得該幾何體的體積.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測試（xx11）word版】2一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長為1，則該幾何體外接球的表面積為（ ）。左視圖主視圖俯視圖（第2題圖）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】三視圖，三棱錐外接球，球的表面積公式G2 G8【答案解析】B解析：由三視圖可知其直觀圖為底面是正方形的側(cè)棱垂直底面的四棱錐，求其外接球半徑，可采用補(bǔ)圖成為一個(gè)邊長為2的正方體的外接球的半徑，半徑為，所以外接球的表面積，故選擇B.【思路點(diǎn)撥】先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系，確定直觀圖，該幾何體的外接球采用補(bǔ)圖成為長方體求解外接球半徑.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11）】12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積G2 【答案解析】 解析：由題意可知幾何體是底面是底面為2的等邊三角形，高為3的直三棱柱，所以幾何體的體積為：故答案為：【思路點(diǎn)撥】通過三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可【數(shù)學(xué)文卷·xx屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（xx10）】16、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積與其外接球面積之比為 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】 由三視圖知，幾何體是一個(gè)組合體，是由兩個(gè)完全相同的四棱錐底面重合組成，四棱錐的底面是邊長是1的正方形，四棱錐的高是，斜高為，這個(gè)幾何體的表面積為8××1×=2根據(jù)幾何體和球的對稱性知，幾何體的外接球的直徑是四棱錐底面的對角線是，外接球的表面積是4×（）2=2則這個(gè)幾何體的表面積與其外接球面積之比為=故答案為：【思路點(diǎn)撥】幾何體是一個(gè)組合體，是由兩個(gè)完全相同的四棱錐底面重合組成，四棱錐的底面是邊長是1的正方形，四棱錐的高是 ，根據(jù)求和幾何體的對稱性得到幾何體的外接球的直徑是 ，求出表面積及球的表面積即可得出比值【數(shù)學(xué)文卷·xx屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（xx10）】9、一個(gè)棱錐的三視圖如右圖所示，則它的體積為（ ） A B C1 D【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】A 由已知三視圖我們可得：棱錐以俯視圖為底面，以主視圖高為高，故h=1，S底面= ×（1+2）×1= ，故V= S底面h=，故答案為：A 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知三視圖，我們結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征易判斷出幾何體為四錐錐，結(jié)合三視圖中標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù),我們易求出棱錐的底面面積及棱錐的高，代入棱錐體積公式即可得到答案G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測試（xx11）word版】4給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題：那么（ ）。命題（1）：若平面上的直線與平面上的直線為異面直線，直線是與的交線，那么至多與中的一條相交； 命題（2）：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。 A命題（1）正確，命題（2）不正確 B命題（2）正確，命題（1）不正確 C兩個(gè)命題都正確 D兩個(gè)命題都不正確【知識(shí)點(diǎn)】空間直線與平面 G3【答案解析】D解析：命題（1）中，至少與中的一條相交；命題（2）中的異面直線是存在的，所以兩個(gè)命題都不對?！舅悸伏c(diǎn)撥】熟悉異面直線的畫法，理解異面直線的定義是求解此題的關(guān)鍵?！緮?shù)學(xué)文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（xx11）】6對于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l()A平行 B相交 C垂直 D互為異面直線【知識(shí)點(diǎn)】空間直線位置關(guān)系情況分析. G3【答案解析】C 解析：當(dāng)直線l與平面相交時(shí)A不成立；當(dāng)直線l與平面平行時(shí)B不成立；當(dāng)直線l在平面內(nèi)時(shí)D不成立.故選D.【思路點(diǎn)撥】采用排除法確定結(jié)論.G4 空間中的平行關(guān)系【數(shù)學(xué)理卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】2.已知平面,則下列命題中正確的是 ( )A BC D 【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5【答案解析】D A選項(xiàng)中b可能跟斜交，B選項(xiàng)中可能與垂直，C選項(xiàng)中a可能與b不垂直，故D選項(xiàng)正確，故選D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平面與直線的位置關(guān)系求結(jié)果。【數(shù)學(xué)理卷·xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）word版】18、（本小題滿分12分）如圖，四面體A-BCD中，AD面BCD，BCCD，AD=2，BD=，M是AD的中點(diǎn)，P是BMD的外心，點(diǎn)Q在線段AC上，且。（）證明：PQ平面BCD；（）若二面角C-BM-D的大小為60°，求四面體A-BCD的體積?！局R(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定G4 G7 【答案解析】（）見解析；（）解析：（）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQACD中，AQ=3QC且DF=3CF，QFAD且QF=ADBDM中，O、P分別為BD、BM的中點(diǎn)OPDM，且OP=DM，結(jié)合M為AD中點(diǎn)得：OPAD且OP=ADOPQF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形PQOFPQ平面BCD且OF平面BCD，PQ平面BCD；（）過點(diǎn)C作CGBD，垂足為G，過G作GHBM于H，連接CHAD平面BCD，CG平面BCD，ADCG又CGBD，AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線CG平面ABD，結(jié)合BM平面ABD，得CGBMGHBM，CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線BM平面CGH，可得BMCH因此，CHG是二面角CBMD的平面角，可得CHG=60°設(shè)BDC=，可得RtBCD中，CD=BDcos=2cos，CG=CDsin=2sincos，BG=BCsin=2sin2RtBMD中，HG=；RtCHG中，tanCHG=tan=，可得=60°，即BDC=60°，BD=2，CD=，SBCD=，VABCD=【思路點(diǎn)撥】（）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQOF，再由線面平行判定定理，證出PQ平面BCD；（）過點(diǎn)C作CGBD，垂足為G，過G作GHBM于H，連接CH根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BMCH，因此CHG是二面角CBMD的平面角，可得CHG=60°設(shè)BDC=，用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于的表達(dá)式，最后在RtCHG中，根據(jù)正切的定義得出tanCHG，從而得到tan，由此可得BDC，進(jìn)而可求四面體ABCD的體積【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測試（xx11）word版】20（本小題滿分15分）（第20題圖） 如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。（1）證明：； （2）若平面與平面所成的角為，試確定點(diǎn)的位置?！局R(shí)點(diǎn)】空間平行、垂直關(guān)系，以及線面所成的角G4,G5,G10【答案解析】（1）略。（2）點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P|（1） 證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz則P（，0,1），N（，0），M（0,1，）， （2分）從而（，1），（0,1，）， （2分）（)×0×11×0，所以PNAM; （3分）（2）平面ABC的一個(gè)法向量為n（0,0,1）（1分）設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m（x，y，z），由（1）得（，1，） （2分）由 （1分）解得 （1分）平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，|cosm，n|， （1分）解得 故點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P| （2分）【思路點(diǎn)撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單，首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，要求PNAM，只需求=0即可；對于面面角，就求出兩個(gè)面的法向量，根據(jù)這兩個(gè)法向量的夾角可以確定參數(shù)的值，從而求出P點(diǎn)的位置?！緮?shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11） 】20.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點(diǎn)PBECDFA（）證明：；（）若,求二面角的余弦 值【知識(shí)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系G4 G5 【答案解析】（）見解析；（） 解析：（）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又，因此因?yàn)槠矫妫矫?，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所?（7分）（）解法一：因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面P過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，SFADOCEB在中，又是的中點(diǎn)，在中，又， 在中，即所求二面角的余弦值為 （14分）解法二：由（）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以PBECDFAyzx，所以設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，因?yàn)?，所以平面，故為平面的一法向量又，所以因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為 【思路點(diǎn)撥】（）由已知條件推導(dǎo)出AEAD，AEPA，由此能證明AE平面PAD，從而得到AEPD（）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11） 】4.設(shè)是兩條不同的直線， 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系G4 G5 【答案解析】D 解析：若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確；若,，則由直線與平面平行的判定定理得，故B正確；若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；若,，則m與n相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤故選：D【思路點(diǎn)撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解【數(shù)學(xué)理卷·xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學(xué)高三第一次聯(lián)考（xx10）】18.（本小題滿分14分）B1C1A1BCD如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3， D為AC的中點(diǎn).(1)求證：AB1/面BDC1；(2）求二面角C1BDC的余弦值；(3）在側(cè)棱AA1上是否存在點(diǎn)P，使得CP面BDC1？并證明你的結(jié)論.【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行；二面角；直線與平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略 解析：解：（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中點(diǎn).又D是AC的中點(diǎn)，OD/AB1.2分AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1.4分 （II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）5分 設(shè)=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個(gè)法向量，則即.6分易知=(0，3，0)是面ABC的一個(gè)法向量.8分二面角C1BDC的余弦值為.9分（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1.則方程組無解.假設(shè)不成立. 側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP面BDC1.14分【思路點(diǎn)撥】由條件可證明直線與平面平行，再建立空間坐標(biāo)系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量進(jìn)行說明.【數(shù)學(xué)理卷·xx屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】7設(shè)是兩條不同的直線, 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是 A若,則B若,則C若,則D若,則【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5【答案解析】D 選項(xiàng)A，若，m，n，則可能mn，mn，或m，n異面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若，m，n，則mn，或m，n異面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若mn，m，n，則與可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若m，mn，則n，再由n可得，故D正確故選D【思路點(diǎn)撥】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n異面；由，m，n，可得mn，或m，n異面；由mn，m，n，可得與可能相交或平行；由m，mn，則n，再由n可得【數(shù)學(xué)文卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】21(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，AB CD， ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD. E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4 G5【答案解析】(1)略(2)略(3)略(1)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE.所以ABED為平行四邊形所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，且四邊形ABED為平行四邊形所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.所以CD平面PAD，從而CDPD.又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)，所以EFPD，故CDEF.CD平面PCD，由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EFBEE，CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.【思路點(diǎn)撥】利用線線平行證明線面平行利用線面垂直證明面面垂直?！緮?shù)學(xué)文卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】3設(shè)m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是()Am，n，且，則mnBm，n，且，則mnCm，n，mn，則Dm，n，m，n，則【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5【答案解析】B 對于A，若m，n且，說明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線，它們的位置關(guān)系應(yīng)該是平行或異面，故A錯(cuò)；對于B，由m，n且，則m與n一定不平行，否則有，與已知矛盾，通過平移使得m與n相交，且設(shè)m與n確定的平面為，則與和的交線所成的角即為與所成的角，因?yàn)?，所以m與n所成的角為90°，故命題B正確對于C，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知m，n，mn，n，也可能=l，也可能，故C不正確；對于D，若“m，n，m，n”，則“”也可能=l，所以D不成立故選B【思路點(diǎn)撥】對于A、由面面平行的判定定理，得A是假命題對于B、由m，n且，可知m與n不平行，借助于直線平移先得到一個(gè)與m或n都平行的平面，則所得平面與、都相交，根據(jù)m與n所成角與二面角平面角互補(bǔ)的結(jié)論對于C、通過直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的性質(zhì)定理，判斷正誤即可；對于D、利用平面與平面平行的判定定理推出結(jié)果即可【數(shù)學(xué)文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（xx11）】19.（本題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在邊BC上，ADC1D.(1)求證：平面ADC1平面BCC1B1；(2)設(shè)E是B1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，A1E平面ADC1？ 請給出證明【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直的判定；線面平行的條件. G4 G5【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，A1E平面ADC1，證明：見解析. 解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC ,ADC, 又AD,平面,平面,平面. 又平面, 平面平面.(2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，當(dāng),即E為得中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC, 的中點(diǎn)，所以 又,四邊形為平行四邊形，而平面,平面, 故平面.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直線與平面BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點(diǎn)，所以E為得中點(diǎn)時(shí)，有，進(jìn)而得A1E平面ADC1.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）】18、（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，AC=BC=1，ACB=,點(diǎn)D為AB中點(diǎn). (1) 求證：面；(2) 若,求二面角的平面角的大小.【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定；二面角大小的求法. G4 G11【答案解析】(1)證明：見解析；（2）. 解析：(1)證明：連接與交于E，連接ED，則E為中點(diǎn)，又點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，則,-3分而DE平面,平面,則有平面；-6分(2)因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，又因?yàn)?，則平面，所以,則為二面角的平面角，-9分在中，,故,即二面角的平面角大小為-11分所以二面角的平面角的大小為.-12分【思路點(diǎn)撥】(1)只需 在平面內(nèi)找到直線與直線平行，為此連接與交于E，連接ED，證明即可；（2）由圖知二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，所以先求二面角的平面角大小，可證為二面角的平面角，易求，所以所求二面角大小為.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測試（xx11）word版】6設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面下列命題中，正確的是（ ）。A若與所成的角相等，則 B若，則C若，則 D若，則【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面的位置關(guān)系G4 G5【答案解析】C解析：A.兩條直線的位置關(guān)系不能確定，所以錯(cuò)誤；B. 與平面的關(guān)系都有可能，所以錯(cuò)誤；C.當(dāng)一條直線與一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面平行時(shí)，則兩個(gè)平面垂直，所以正確；D.兩條直線分別于兩個(gè)平面平行，則兩條直線沒有關(guān)系，所以錯(cuò)誤；故選擇C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間中平面與直線的位置關(guān)系，對錯(cuò)誤的結(jié)論能找到反例即可.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，底面，且 為正三角形，為的中點(diǎn)(1)求證:直線平面；(2)求證:平面平面；(3)求三棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定G4 G5 G7 【答案解析】(1)見解析； (2) 見解析；(3) 9 解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)1分D為AC中點(diǎn)，得DO為中位線，2分 直線AB1平面BC1D 4分（2）證明：底面， 5分底面正三角形，D是AC的中點(diǎn) BDAC 6分，BD平面ACC1A1 7分, 8分（3）由（2）知ABC中，BDAC，BD=BCsin60°=3 = 10分又是底面BCD上的高 11分=6=9 13分【思路點(diǎn)撥】（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)可得DO為AB1C中位線，A1BOD，結(jié)合線面平行的判定定理，得A1B平面BC1D；（2）由AA1底面ABC，得AA1BD正三角形ABC中，中線BDAC，結(jié)合線面垂直的判定定理，得BD平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D平面ACC1A；（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐CBC1D的體積【數(shù)學(xué)文卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11）】4.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系G4 G5 【答案解析】C 解析：A：若，則l或者l，所以A錯(cuò)誤B：若，則或者，所以B錯(cuò)誤C：根據(jù)線面垂直的定義可得：若，則是正確的，所以C正確D：若，則或者l或者l與相交，所以D錯(cuò)誤故選C【思路點(diǎn)撥】A：由題意可得l或者lB：由題意可得：或者C：根據(jù)線面垂直的定義可得：若，則是正確的，D：若，則或者l或者l與相交【數(shù)學(xué)文卷·xx屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】6.關(guān)于直線，及平面，,下列命題中正確的是（ ）A.若l，=m，則lm B.若，m，則mC.若l，l，則 D.若l，ml，則m【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5【答案解析】D A若l，=m，則l，m平行或異面，只有l(wèi)，才有l(wèi)m故A錯(cuò)；B若l，m，則由線面平行的性質(zhì)可得l，m平行、相交、異面，故B錯(cuò)；C若l，l，則由線面平行的性質(zhì)定理，l，=m，則lm，又l，故m，由面面垂直的判定定理得，故C正確；D若l，ml，則m與平行、相交或在平面內(nèi)，故D錯(cuò)故選C【思路點(diǎn)撥】由線面平行的性質(zhì)定理可判斷A；又線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理即可判斷C；由線面平行的性質(zhì)定理可判斷B；由線面平行的性質(zhì)定理可判斷DG5 空間中的垂直關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·xx屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）】19.（本題滿分13分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，. (1)求證：； (2)求二面角的余弦值【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定G5 G11 【答案解析】(1)見解析； (2) 解析：(1)作BC的中點(diǎn)E，連接且，四邊形是平行四邊形，則/面同理，面面面，面6分(2)四邊形為正方形, , ， 由勾股定理可得：， ，同理可得 ,以A 為原點(diǎn)如圖建系。 則設(shè)面的法向量為，則，令，則設(shè)面的法向量為，則則，令，則 所以所以 13分【思路點(diǎn)撥】(1) 取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，C1E，B1E，由已知得四邊形CEB1C1是平行四邊形，AEC1A1是平行四邊形，由此能證明AB1面A1C1C (2)由已知得A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1AAC，從而A1A面ABC，以A為原點(diǎn)，以AC為x軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角CA1C1B的余弦值的大小【數(shù)學(xué)理卷·xx屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（xx11）】9 .已知點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段與上的點(diǎn)，則與平面垂直的直線有 條。 （）A0 B1 C2 D無數(shù)個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系G5【答案解析】B 設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），=（2，2，-1），設(shè)，則M（2-，2，2-2），設(shè)，則N（2t，2t，2-t），=（2t-2+，2t-2，2-t），直線MN與平面ABCD垂直，解得=t=，方程組只有唯一的一組解，與平面ABCD垂直的直線MN有1條故選：B【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出與平面ABCD垂直的直線MN只有1條【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測試（xx11）word版】20（本小題滿分15分）（第20題圖） 如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。（1）證明：； （2）若平面與平面所成的角為，試確定點(diǎn)的位置?！局R(shí)點(diǎn)】空間平行、垂直關(guān)系，以及線面所成的角G4,G5,G10【答案解析】（1）略。（2）點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P|（2） 證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz則P（，0,1），N（，0），M（0,1，）， （2分）從而（，1），（0,1，）， （2分）（)×0×11×0，所以PNAM; （3分）（2）平面ABC的一個(gè)法向量為n（0,0,1）（1分）設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m（x，y，z），由（1）得（，1，） （2分）由 （1分）解得 （1分）平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，|cosm，n|， （1分）解得 故點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P| （2分）【思路點(diǎn)撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單，首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，要求PNAM，只需求=0即可；對于面面角，就求出兩個(gè)面的法向量，根據(jù)這兩個(gè)法向量的夾角可以確定參數(shù)的值，從而求出P點(diǎn)的位置。【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11） 】20.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點(diǎn)PBECDFA（）證明：；（）若,求二面角的余弦 值【知識(shí)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系G4 G5 【答案解析】（）見解析；（） 解析：（）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又，因此因?yàn)槠矫?，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所?（7分）（）解法一：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面P過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，SFADOCEB在中，又是的中點(diǎn)，在中，又， 在中，即所求二面角的余弦值為 （14分）解法二：由（）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以PBECDFAyzx，所以設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，因?yàn)椋云矫?，故為平面的一法向量又，所以因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為 【思路點(diǎn)撥】（）由已知條件推導(dǎo)出AEAD，AEPA，由此能證明AE平面PAD，從而得到AEPD（）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【數(shù)學(xué)理卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11） 】4.設(shè)是兩條不同的直線， 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系G4 G5 【答案解析】D 解析：若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確；若,，則由直線與平面平行的判定定理得，故B正確；若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；若,，則m與n相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤故選：D【思路點(diǎn)撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解【數(shù)學(xué)理卷·xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學(xué)高三第一次聯(lián)考（xx10）】18.（本小題滿分14分）B1C1A1BCD如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3， D為AC的中點(diǎn).(1)求證：AB1/面BDC1；(2）求二面角C1BDC的余弦值；(3）在側(cè)棱AA1上是否存在點(diǎn)P，使得CP面BDC1？并證明你的結(jié)論.【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行；二面角；直線與平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略 解析：解：（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中點(diǎn).又D是AC的中點(diǎn)，OD/AB1.2分AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1.4分 （II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）5分 設(shè)=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個(gè)法向量，則即.6分易知=(0，3，0)是面ABC的一個(gè)法向量.8分二面角C1BDC的余弦值為.9分（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1.則方程組無解.假設(shè)不成立. 側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP面BDC1.14分【思路點(diǎn)撥】由條件可證明直線與平面平行，再建立空間坐標(biāo)系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量進(jìn)行說明.【數(shù)學(xué)理卷·xx屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】19(本小題滿分12分)如圖在圓錐中，已知，O的直徑,是弧ABPODC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面平面;（）求二面角的余弦值【知識(shí)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系G5【答案解析】（）略（）（）連接OC，OA=OC，D是AC的中點(diǎn)ACOD又PO底面O，AC底面OACPOOD、PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線AC平面POD，而AC平面PAC平面POD平面PAC（）在平面POD中，過O作OHPD于H，由（）知，平面POD平面PAC所以O(shè)H平面PAC，又PA平面PACPAHO在平面PAO中，過O作OGPA于G，連接GH，則有PA平面OGH，從而PAHG故OGH為二面角B-PA-C的平面角,在RtODA中，OD=OAsin45°= 在RtODP中，OH= = = 在RtOPA中，OG= = = 在RtOGH中，sinOGH= = 所以cosOGH= =故二面角B-PA-C的余弦值為【思路點(diǎn)撥】（）連接OC，先根據(jù)AOC是等腰直角三角形證出中線ODAC，再結(jié)合POAC證出ACPOD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD平面PAC；（）過O分別作OHPD于H，OGPA于G，再連接GH，根據(jù)三垂線定理證明OGH為二面角B-PA-C的平面角，最后分別在RtODA、RtODP、RtOGH中計(jì)算出OH、OG和sinOGH，最后求出所求二面角的余弦值【數(shù)學(xué)理卷·xx屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】7設(shè)是兩條不同的直線, 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是 A若,則B若,則C若,則D若,則【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5【答案解析】D 選項(xiàng)A，若，m，n，則可能mn，mn，或m，n異面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若，m，n，則mn，或m，n異面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若mn，m，n，則與可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若m，mn，則n，再由n可得，故D正確故選D【思路點(diǎn)撥】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n異面；由，m，n，可得mn，或m，n異面；由mn，m，n，可得與可能相交或平行；由m，mn，則n，再由n可得【數(shù)學(xué)文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（xx11）】19.（本題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在邊BC上，ADC1D.(1)求證：平面ADC1平面BCC1B1；(2)設(shè)E是B1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，A1E平面ADC1？ 請給出證明【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直的判定；線面平行的條件. G4 G5【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，A1E平面ADC1，證明：見解析. 解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC ,ADC, 又AD,平面,平面,平面. 又平面, 平面平面.(2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，當(dāng),即E為得中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC, 的中點(diǎn)，所以 又,四邊形為平行四邊形，而平面,平面, 故平面.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直線與平面BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點(diǎn)，所以E為得中點(diǎn)時(shí)，有，進(jìn)而得A1E平面ADC1.【數(shù)學(xué)文卷·xx屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（xx11）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，底面，且 為正三角形，為的中點(diǎn)(1)求證:直線平面；(2)求證:平面平面；(3)求三棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定G4 G5 G7 【答案解析】(1)見解析； (2) 見解析；(3) 9 解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)1分D為AC中點(diǎn)，得DO為中位線，2分 直線AB1平面BC1D 4分（2）證明：底面， 5分底面正三角形，D是AC的中點(diǎn) BDAC 6分