2022年高三數(shù)學總復習分類匯編 第三期 N單元（選修4）系列目錄N單元 選修4系列1N1 選修4-1 幾何證明選講1N2 選修4-2 矩陣1N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程1N4 選修4-5 不等式選講1N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計1N1 選修4-1 幾何證明選講【數(shù)學（理）卷·xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（xx10）】14.如圖所示，已知AB，BC是O的兩條弦，AOBC，AB，BC2，則O的半徑等于_【知識點】與圓有關的比例線段N1 【答案解析】 解析：設垂足為D，O的半徑等于R，則AB，BC是O的兩條弦，AOBC，AB=，BC=2，AD=1，R2=2+（R1）2，R=1.5故答案為：1.5【思路點撥】設垂足為D，O的半徑等于R，先計算AD，再計算R即可【數(shù)學理卷·xx屆重慶南開中學高三10月月考（xx10）word版】14.如圖，PQ為半圓O的直徑，A為以OQ為直徑的半圓A的圓心，圓O的弦PN切圓A于點M，PN=8，則圓A的半徑為_【知識點】選修4-1 幾何證明選講N1【答案解析】如圖所示，連接AM，QN由于PQ是O的直徑，PNQ=90°圓O的弦PN切圓A于點M，AMPNAMQN，又PN=8，PM=6根據(jù)切割線定理可得：PM2=POPQ設O的半徑為R則62=R2R，R=3 ，A的半徑r= R= 故答案為：【思路點撥】利用圓的直徑的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)可得：PNQ=90°=PMA進而得到AMQN，可得 可得PM，再根據(jù)切割線定理可得：PM2=POPQ可得PO【數(shù)學理卷·xx屆寧夏銀川一中高三第三次月考（xx10）】22.（本題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，是直角三角形，以為直徑的圓交于點，點 是邊的中點，連接交圓于點.（1）求證：、四點共圓；（2）求證：【知識點】選修4-1 幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）略證明：（1）連接、，則 又是BC的中點，所以 又， 所以 所以 所以、四點共圓 （2）延長交圓于點. 因為. 所以所以 【思路點撥】根據(jù)全等證明四點共圓，根據(jù)線段的關系證明結(jié)論?！緮?shù)學理卷·xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】22（本小題滿分10分）已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點， DC是ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點OABCDEF （）求的度數(shù) （）若AB=AC，求AC:BC【知識點】選修4-1 幾何證明選講N1【答案解析】：（）設EAC=，根據(jù)弦切角定理，ABE=根據(jù)三角形外角定理，AEC=90°+根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ACE=90°-2由于CD是ACB的內(nèi)角平分線，所以FCE=45°-再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，CFE=180°-（90°+）-（45°-）=45°根據(jù)對頂角定理，AFD=45°由于DAF=90°，所以ADF=45°（）AB=AC，CAE=B=ACB，又ACB=ACB，BCAACE，=，又180°=ACE+CAE+AEC=ACE+CAE+（90°+ABE），CAE=B=ACB=30°，=【思路點撥】（）根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過角的關系求解（）先證明BCAACE，再確定CAE=B=ACB=30°，即可得到結(jié)論【數(shù)學文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】22、選修4­1：幾何證明選講如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PGPD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑； (2)若ACBD，求證：ABED.【知識點】直徑所對圓周角是直角；全等三角形的判定與性質(zhì). N1 【答案解析】 解析：(1)證明：因為PD=PG,所以.由于PD為切線，故.又由于,故,所以,從而因為,所以,所以,故AB為圓的直徑.(2)連接BC、DC.由于AB是直徑，故在與中，AB=BA, AC=BD,所以，所以. 又因為,所以,故.因為,所以,為直角.所以ED為直徑.又由（1）知AB為圓的直徑，所以ED=AB.【思路點撥】(1)證明BDA是直角，或者用垂徑定理證明結(jié)論；（2）利用證明三角形全等證明結(jié)論.【數(shù)學文卷·xx屆寧夏銀川一中高三第三次月考（xx10）】22.（本題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，是直角三角形，以為直徑的圓交于點，點是邊的中點，連接交圓于點.（1）求證：、四點共圓；（2）求證：【知識點】選修4-1 幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）略證明：（1）連接、，則 又是BC的中點，所以 又， 所以 所以 所以、四點共圓 （2）延長交圓于點. 因為. 所以所以 【思路點撥】根據(jù)全等證明四點共圓，根據(jù)線段的關系證明結(jié)論?！緮?shù)學文卷·xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】22.（本小題滿分10分）選修4-1 ：幾何證明選講已知A、B、C、D為圓O上的四點，直線DE為圓O的切線，ACDE，AC與BD相交于H點（1）求證：BD平分ABC（2）若AB4，AD6，BD8，求AH的長【知識點】選修4-1 幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）3（1）又切圓于點，而（同?。┧?，BD平分ABC （2）由（1）知，又，又為公共角，所以與相似，因為AB4，AD6，BD8，所以AH=3 【思路點撥】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，根據(jù)三角形相似求出AH=3。N2 選修4-2 矩陣N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程【數(shù)學（理）卷·xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（xx10）】15以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是，則直線l被圓C截得的弦長為_【知識點】參數(shù)方程化成普通方程；點的極坐標和直角坐標的互化N3 【答案解析】2 解析：圓C的極坐標方程是=4cos，2=4cos，x2+y2=4x，化為（x2）2+y2=4，其圓心C（2，0），半徑r=2由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y=x4圓心C到直線l的距離d=直線l被圓C截得的弦長=2=故答案為：2【思路點撥】圓C的極坐標方程是=4cos，利用可得直角坐標方程，可得圓心C及其半徑r由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y=x4利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d再利用弦長公式l=2即可得出【數(shù)學理卷·xx屆重慶南開中學高三10月月考（xx10）word版】15.已知曲線C1、C2的極坐標方程分別為，則曲線C1上的點與曲線C2上的點的最近距離為_【知識點】選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程N3【答案解析】-1由于曲線C1、C2的極坐標方程分別為=2sin，cos+sin+1=0，則它們的直角坐標方程分別為 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0曲線C1上表示一個半徑為1的圓，圓心為（0，1），曲線C2表示一條直線，圓心到直線的距離為d= ，故曲線C1上的點與曲線C2上的點的最近距離為-1，故答案為：-1【思路點撥】把極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離為d，再把d減去半徑，即為所求【數(shù)學理卷·xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學高三第一次聯(lián)考（xx10）】15（坐標系與參數(shù)方程選做題）曲線對稱的曲線的極坐標方程為 ?！局R點】簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關系；點的極坐標和直角坐標的互化 N3【答案解析】B 解析：解：將原極坐標方程=4cos，化為：2=4cos，化成直角坐標方程為：x2+y24x=0，它關于直線y=x（即=）對稱的圓的方程是x2+y24y=0，其極坐標方程為：=4sin故答案為：=4sin【思路點撥】先將原極坐標方程=4cos兩邊同乘以后化成直角坐標方程，再結(jié)合曲線關于直線的對稱性，利用直角坐標方程解決問題三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【數(shù)學理卷·xx屆寧夏銀川一中高三第三次月考（xx10）】23.（本小題滿分10分）選修44；坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標系方程是，正方形的頂點都在上，且依逆時針次序排列，點的極坐標為（1）求點的直角坐標；（2）設為上任意一點，求的取值范圍?！局R點】選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程N3【答案解析】（1）（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1）（2）32，52（1）點A，B，C，D的直角坐標為（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1），（2）設P（x0，y0），則（為參數(shù)）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2sin20，1t32，52 【思路點撥】確定點A，B，C，D的直角坐標，利用參數(shù)方程設出P的坐標，借助于三角函數(shù)，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍【數(shù)學文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】23選修44：坐標系與參數(shù)方程已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程、直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值【知識點】參數(shù)方程與普通方程的互化；點到直線的距離；三角函數(shù)式的最值. N3【答案解析】（1）見解析；（2）最大值為，最小值為.解析：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )到直線l的距離d|4cos 3sin 6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin()1時，|PA|取得最小值， 最小值為.【思路點撥】（1）由橢圓參數(shù)方程公式寫出橢圓參數(shù)方程，把直線參數(shù)方程中的參數(shù)消去得其普通方程；（2）設出)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )，利用點到直線的距離公式，Rt三角形的邊角關系得|PA|關于的三角函數(shù)式，再用三角函數(shù)的最值求結(jié)論.【數(shù)學文卷·xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考（xx10）】11、在極坐標系中，點到直線的距離是 .【知識點】極坐標的意義. N3【答案解析】 解析：點的直角坐標為，直線的直角坐標方程為，所以所求距離為.【思路點撥】先把極坐標系下的坐標、方程，化為直角坐標系下的坐標、方程，利用直角坐標系中，點到直線的距離公式求解.【數(shù)學文卷·xx屆寧夏銀川一中高三第三次月考（xx10）】23.（本小題滿分10分）選修44；坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標系方程是，正方形的頂點都在上，且依逆時針次序排列，點的極坐標為（1）求點的直角坐標；（2）設為上任意一點，求的取值范圍?！局R點】選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程N3【答案解析】（1）（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1）（2）32，52（1）點A，B，C，D的直角坐標為（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1），（2）設P（x0，y0），則（為參數(shù)）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2sin20，1t32，52 【思路點撥】確定點A，B，C，D的直角坐標，利用參數(shù)方程設出P的坐標，借助于三角函數(shù)，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍【數(shù)學文卷·xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系和參數(shù)方程以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知某圓的極坐標方程為（1）將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程；（2）若點在該圓上，求的最大值和最小值【知識點】選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程N3【答案解析】（1）（2）6和2（1）由2-4cos(-)+6=0，得2-4(coscos+sinsin)+6=0，即2-4(cos+sin)+6=0，2-4cos-4sin+6=0，即x2+y2-4x-4y+6=0為所求圓的普通方程，整理為圓的標準方程（x-2）2+（y-2）2=2，令x-2=cos，y-2=sin得圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）由（1）得：x+y=4+(cos+sin)=4+2sin（+），當sin（+）=1時，x+y的最大值為6，當sin（+）=-1時，x+y的最小值為2故x+y的最大值和最小值分別是6和2【思路點撥】（1）展開兩角差的余弦，整理后代入cos=x，sin=y得圓的普通方程，化為標準方程后由三角函數(shù)的平方關系化參數(shù)方程；（2）把x，y分別代入?yún)?shù)式，利用三角函數(shù)化積后借助于三角函數(shù)的有界性求最值【數(shù)學文卷·xx屆云南省玉溪一中高三上學期期中考試（xx10）】17、（本小題滿分分）選修：坐標系與參數(shù)方程已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的軸的正半軸重合直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為（）求曲線的直角坐標方程；（）設直線與曲線相交于，兩點，求，兩點間的距離【知識點】選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程N3【答案解析】（1）x2+y2-x-y=0（）（1）將曲線C的極坐標方程化為=2sin（+ ）=cos+sin兩邊都乘以，得2=cos+sin因為x=cos，y=sin，2=x2+y 2代入上式，得方求曲線C的直角坐標方程為：x2+y2-x-y=0（2）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得普通方程：4x-3y+1=0，將圓C的極坐標方程化為普通方程為：x2+y2-x-y=0，所以（，）為圓心，半徑等于所以，圓心C到直線l的距離d=所以直線l被圓C截得的弦長為：|MN|=2 即M、N兩點間的距離為【思路點撥】（1）利用直角坐標與極坐標間的關系，將曲線C的極坐標方程：=2sin（+ ）化成直角坐標方程：x2+y2-x-y=0，問題得以解決；（2）先將直線l的參數(shù)方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲線C是以（， ）為圓心，半徑等于的圓，結(jié)合點到直線的距離公式及圓的幾何性質(zhì)，可求得M、N兩點間的距離N4 選修4-5 不等式選講【數(shù)學（理）卷·xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（xx10）】16若不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【知識點】絕對值不等式的解法N4 【答案解析】（，0）2 解析：令y=|x+1|+|x3|，由絕對值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+1|+|x3|的最小值為4，不等式對任意的實數(shù)x恒成立原不等式可化為4解得a=2或a0故答案為：（，0）2【思路點撥】不等式對任意的實數(shù)x恒成立轉(zhuǎn)化為a+小于等于函數(shù)y=|x+1|+|x3|的最小值，根據(jù)絕對值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+1|+|x3|的最小值為4，因此原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的求解問題三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）【數(shù)學理卷·xx屆重慶南開中學高三10月月考（xx10）word版】16.若不等式的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是_【知識點】選修4-5 不等式選講N4【答案解析】-2，5 |x+3|+|x-7|（x+3）+（7-x）|=10，|x+3|+|x-7|a2-3a的解集為Ra2-3a10，解得-2a5實數(shù)a的取值范圍是-2，5故答案為：-2，5【思路點撥】利用絕對值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|10，依題意，解不等式a2-3a10即可【數(shù)學理卷·xx屆寧夏銀川一中高三第三次月考（xx10）】24.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知(a是常數(shù)，aR)（1）當a=1時求不等式的解集；（2）如果函數(shù)恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍【知識點】選修4-5 不等式選講N4【答案解析】（1）x|x2或x-4（2）（-2，2）當a=1時，f（x）=|2x-1|+x-5=由解得x2； 由解得x-4f（x）0的解為x|x2或x-4 由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的圖象，觀察可以知道，當-2a2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，函數(shù)y=f（x）有兩個不同的零點故a的取值范圍是（-2，2）【思路點撥】當a=1時，f（x）= ，把 和 的解集取并集，即得所求由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的圖象，觀察可以知道，當-2a2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，由此得到a的取值范圍【數(shù)學理卷·xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測（xx11）】23（本小題滿分10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數(shù)）.（）若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；（）當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離【知識點】選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程N3【答案解析】（1）-，（2）（1）曲線M （為參數(shù)），即 x2=1+y，即 y=x2-1，其中，x=sin+cos=sin（+）-，把曲線N的極坐標方程為sin（+）=t（其中t為常數(shù)）化為直角坐標方程為 x+y-t=0由曲線N（圖中藍色直線）與曲線M（圖中紅色曲線）只有一個公共點，則有直線N過點A（，1時滿足要求，并且向左下方平行運動直到過點B（-，1）之前總是保持只有一個公共點，再接著向左下方平行運動直到相切之前總是有兩個公共點，所以-+1t+1滿足要求，當直線和曲線M相切時，由有唯一解，即 x2+x-1-t=0 有唯一解，故有=1+4+4t=0，解得t=-綜上可得，要求的t的范圍為（-+1，+1-（2）當t=-2時，曲線N即 x+y+2=0，當直線和曲線M相切時，由（1）可得t=-故曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離，即直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離為 =【思路點撥】（1）把曲線M的參數(shù)方程化為 y=x2-1，把曲線N的極坐標方程化為 x+y-t=0曲線N與曲線M只有一個公共點，數(shù)形結(jié)合求得t的范圍（2）當t=-2時，曲線N即 x+y+2=0，當直線和曲線N相切時，由（1）可得t=- ，故本題即求直線x+y+2=0和直線x+y+ =0之間的距離，利用兩條平行線間的距離公式計算求得結(jié)果24（本小題滿分10分）對于任意的實數(shù)恒成立，記實數(shù)M的最大值是m（）求m的值； （）解不等式【知識點】選修4-5 不等式選講N4【答案解析】（1）m=2（2）x|x（1）不等式|a+b|+|a-b|M|a|恒成立，即M對于任意的實數(shù)a（a0）和b恒成立，故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值因為|a+b|+|a-b|（a+b）+（a-b）|=2|a|，當且僅當（a-b）（a+b）0時等號成立，即|a|b|時，2 成立，也就是的最小值是2，故M的最大值為2，即 m=2 （2）不等式|x-1|+|x-2|m即|x-1|+|x-2|2由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，而數(shù)軸上和對應點到1和2對應點的距離之和正好等于2，故|x-1|+|x-2|2的解集為：x|x 【思路點撥】（1）由題意可得，M對于任意的實數(shù)a（a0）和b恒成立，再由 2可得，M2，由此可得m的值（2）由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，而數(shù)軸上和 對應點到1和2對應點的距離之和正好等于2，由此求得|x-1|+|x-2|2的解集【數(shù)學文卷·xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】24、選修4­5：不等式選講設函數(shù)f(x)|xa|(a0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范圍【知識點】絕對值不等式的性質(zhì)；基本不等式；絕對值不等式的解法. N4【答案解析】（1）證明：見解析；（2）. 解析：(1)證明：因為a>0，所以， 所以.(2) 。當a>3時，由f(3)<5得，當時，由f(3)<5得，綜上，a的取值范圍是.【思路點撥】（1）利用絕對值不等式的性質(zhì)及均值不等式證明結(jié)論；（2）對a分類討論去掉絕對值，求得a范圍.【數(shù)學文卷·xx屆寧夏銀川一中高三第三次月考（xx10）】24.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知(a是常數(shù)，aR)（1）當a=1時求不等式的解集；（2）如果函數(shù)恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍【知識點】選修4-5 不等式選講N4【答案解析】（1）x|x2或x-4（2）（-2，2）當a=1時，f（x）=|2x-1|+x-5=由解得x2； 由解得x-4f（x）0的解為x|x2或x-4 由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的圖象，觀察可以知道，當-2a2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，函數(shù)y=f（x）有兩個不同的零點故a的取值范圍是（-2，2）【思路點撥】當a=1時，f（x）= ，把 和 的解集取并集，即得所求由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的圖象，觀察可以知道，當-2a2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，由此得到a的取值范圍N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計