2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(I)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN*，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A1<2 B12C13 D132. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面_”()A各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B各正三角形的某高線上的點(diǎn)C各正三角形的中心 D各正三角形外的某點(diǎn)3. 不等式ab與同時(shí)成立的充要條件為()Aab0 Ba0bC. 0 D.04. 下列推理是歸納推理的是( )AA，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓B由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2+y2=r2的面積r2,猜想出橢圓的面積S=abD科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇5. 用反證法證明命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)”正確的假設(shè)為( )A都是奇數(shù) B都是偶數(shù)C中至少有兩個(gè)偶數(shù) D中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)6. 4. 若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為3xy10，則()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在7. 已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)8. 函數(shù)yxex，x0,4的最小值為()A0 B. C. D.9. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)10. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的函數(shù)圖象可能是( )11. 已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點(diǎn)，且x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為()A1 B0C1 D212. 已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m、n1,1，則f(m)f(n)的最小值是()A13 B15 C10 D15二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 曲線yx3x3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_14. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的的個(gè)數(shù)是 。15. 已知，試通過計(jì)算，的值，推測(cè)出_.16. 已知函數(shù)f(x)mx3nx2的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_三、解答題：解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟（共70分）17. （10分）（1）. 求函數(shù)的極值.（2）.求由直線和曲線所圍成的圖形的面積.18. （12分）用分析法證明：若a0，則a2.(12分)19. （12分） 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)20. （12分） 已知函數(shù)f(x)ax2blnx在x1處有極值.(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)yf(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間21. （12分）設(shè)函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由22. （12分） 已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)(xa)2(lnxa)2.(1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程；(2)若g(x)在1，)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：g(x).寧夏育才中學(xué)孔德學(xué)區(qū)xx-2高二年級(jí)月考數(shù)學(xué) 試卷 (試卷滿分 150 分，考試時(shí)間為 120 分鐘) 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN*，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A1<2 B12C13 D13答案B2. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面_”()A各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B各正三角形的某高線上的點(diǎn)C各正三角形的中心 D各正三角形外的某點(diǎn)答案C解析正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面，即正三角形表示的側(cè)面，所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正三角形的中心故選C.3. 不等式ab與同時(shí)成立的充要條件為()Aab0 Ba0bC. 0 D.0答案B解析a0b，故選B.4. 下列推理是歸納推理的是( )AA，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓B由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2+y2=r2的面積r2,猜想出橢圓的面積S=abD科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【答案】B5. 用反證法證明命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)”正確的假設(shè)為( )A都是奇數(shù) B都是偶數(shù)C中至少有兩個(gè)偶數(shù) D中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【答案】A6. 4. 若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為3xy10，則()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B7. 已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，所以f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以4a24×3(a6)0，解得a3或a6.答案B8. 函數(shù)yxex，x0,4的最小值為()A0 B. C. D.解析yexxexex(x1)y與y隨x變化情況如下：x0(0,1)1(1,4)4y0y0當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)yxex取到最小值0.答案A9. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案A10. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的函數(shù)圖象可能是( )【解析】選B.由圖可得-1f(x)1，則切線斜率k(-1，1).11. 已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點(diǎn)，且x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為()A1 B0C1 D2答案A解析方法一：因?yàn)閒(x)3x22axb，函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點(diǎn)，所以f(0)0，即b0，所以f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a<0)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像與x軸所圍成區(qū)域的面積為，所以(x3ax2)dx，所以(x4ax3)，所以a1或a1(舍去)，故選A.方法二：因?yàn)閒(x)3x22axb，函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點(diǎn)，所以f(0)0，即b0，所以f(x)x3ax2.若a0，則f(x)x3，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)，不符合所給的圖像，排除B；若a1，則f(x)x3x2x2(x1)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0)，(1,0)，不符合所給的圖像，排除C；若a2，則所圍成的面積為 (x32x2)dx(x4x3) ，排除D.故選A.12. 已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m、n1,1，則f(m)f(n)的最小值是()A13 B15C10 D15解析：求導(dǎo)得f(x)3x22ax，由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f(2)0，即3×42a×20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)m1，1時(shí)，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x1，當(dāng)n1,1時(shí)，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值為13.答案：A二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 曲線yx3x3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_答案2xy10解析y3x21，y|x13×1212.該切線方程為y32(x1)，即2xy10.14. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的的個(gè)數(shù)是 。答案：_14_15. 已知，試通過計(jì)算，的值，推測(cè)出_.答案：16. 已知函數(shù)f(x)mx3nx2的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案2，1解析由題意知，點(diǎn)(1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上，故mn2.又f(x)3mx22nx，則f(1)3，故3m2n3.聯(lián)立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，則t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1三、解答題：解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟（共70分）17. （10分）（1）. 求函數(shù)的極值.（2）.求由直線和曲線所圍成的圖形的面積.（1）解：.令，即，解得，.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：000/極小值因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，且.（2）解：聯(lián)立，得，.所以，故所求面積.18. （12分） 用分析法證明：若a0，則a2.(12分)證明：要證a2，只需證2a.a0，兩邊均大于零，因此只需證（2）2（a）2，只需證a244a222（a），只需證（a），只需證a2（a22），即證a22，它顯然是成立，原不等式成立.19. （12分） 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)證明n1時(shí)，左邊12223，右邊3，等式成立假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)，等式也成立由得，等式對(duì)任何nN*都成立20. （12分） 已知函數(shù)f(x)ax2blnx在x1處有極值.(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)yf(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間答案(1)a，b1(2)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax2blnx，所以f(x)2ax.又函數(shù)f(x)在x1處有極值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定義域是(0，)，且f(x)x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值所以函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)21. （12分）設(shè)函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由思路分析先求導(dǎo)，通分后發(fā)現(xiàn)f(x)的符號(hào)與a有關(guān)，應(yīng)對(duì)a進(jìn)行分類，依據(jù)方程的判別式來分類解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)1.令g(x)x2ax1，其判別式a24.當(dāng)|a|2時(shí)，0，f(x)0.故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a2時(shí)，0，g(x)0的兩根都小于0.在(0，)上，f(x)0.故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a2時(shí)，0，g(x)0的兩根為x1，x2.當(dāng)0xx1時(shí)，f(x)0，當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng)xx2時(shí)，f(x)0.故f(x)分別在(0，x1)，(x2，)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減(2)由(1)知，a2.因?yàn)閒(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)，所以，k1a·.又由(1)知，x1x21，于是k2a·.若存在a，使得k2a，則1.即ln x1ln x2x1x2.由x1x21得x22ln x20(x21)(*)再由(1)知，函數(shù)h(t)t2ln t在(0，)上單調(diào)遞增，而x21，所以x22ln x212 ln 10.這與(*)式矛盾故不存在a，使得k2a.22. （12分） 已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)(xa)2(lnxa)2.(1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程；(2)若g(x)在1，)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：g(x).答案(1)yx1(2)a2(3)略解析(1)因?yàn)閒(x)，所以f(1)1.故切線方程為yx1.(2)g(x)2(xa)，令F(x)xa，則yF(x)在1，)上單調(diào)遞增F(x)，則當(dāng)x1時(shí)，x2lnxa10恒成立，即當(dāng)x1時(shí)，ax2lnx1恒成立令G(x)x2lnx1，則當(dāng)x1時(shí)，G(x)<0，故G(x)x2lnx1在1，)上單調(diào)遞減從而G(x)maxG(1)2.故aG(x)max2.(3)證明：g(x)(xa)2(lnxa)22a22(xlnx)ax2ln2x，令h(a)2a22(xlnx)ax2ln2x，則h(a).令Q(x)xlnx，則Q(x)1，顯然Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，則Q(x)minQ(1)1.則g(x)h(a).