專題九立體幾何命題觀察·高考定位(對應學生用書第39頁)1. (2017·江蘇高考)如圖91，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_圖91設球O的半徑為R，球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.2(2015·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為_設新的底面半徑為r，由題意得××52×4×22×8××r2×4×r2×8，r27，r.3(2014·江蘇高考)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側面積相等，且，則的值是_設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，則，所以.4. (2013·江蘇高考)如圖92，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點設三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.圖92124設三棱柱的底面ABC的面積為S，高為h，則其體積為V2Sh.因為D，E分別為AB，AC的中點，所以ADE的面積等于S.又因為F為AA1的中點，所以三棱錐FADE的高等于h，于是三棱錐FADE的體積V1×S·hShV2，故V1V2124.5(2017·江蘇高考) 如圖93，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC. 【導學號：56394060】圖93 證明(1)在平面ABD內，因為ABAD，EFAD，所以EFAB.又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.6. (2016·江蘇高考)如圖94，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.圖94證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DEAC，于是DEA1C1.又因為DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因為A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因為A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因為B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.命題規(guī)律觀近幾年江蘇的高考題，立體幾何的客觀題以柱、錐、球為載體考查體積、表面積為主，屬容易題；解答題一般都處于解答題第16題的位置，也就是屬于容易題范疇，考查的難度不大，且都是考查線線、線面或面面的平行與垂直關系的證明從近幾年江蘇高考試題分析，解答題中考查一道立體幾何題型是固定模式，一般與棱柱和棱錐相關，其重點放在對幾何體中的一些線、面之間的平行與垂直關系的證明上，突出考查學生的空間想象能力和推理運算能力主干整合·歸納拓展(對應學生用書第40頁)第1步 核心知識再整合1空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側面積公式：S柱側ch(c為底面周長，h為高)；S錐側ch(c為底面周長，h為斜高)；S臺側(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高)；S球表4R2(R為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；V球R3.2直線、平面平行的判定及其性質(1)線面平行的判定定理：a，b，aba.(2)線面平行的性質定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質定理：，a，bab.3直線、平面垂直的判定及其性質(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線面垂直的性質定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質定理：，l，a，ala.第2步 高頻考點細突破空間幾何體的表面積、體積、球與多面體【例1】(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學習測試)如圖95，圖95在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，則三棱錐AB1D1D的體積為_cm3.解析VAB1D1DVB1AD1D×SAD1D×B1A1××AD×D1D×B1A1××3×2×33.答案3規(guī)律方法(1)在求三棱錐體積的過程中，等體積轉化法是常用的方法，轉換底面的原則是使其高易求，常把底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體變?yōu)橐?guī)則幾何體，易于求解(3)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系(4)求與球有關的“切”或者“接”球半徑時，往往用到的方法有構造法或者直接確定球心舉一反三(江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學試題)如圖96，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90°，點D為側棱BB1上的動點，當ADDC1最小時，三棱錐DABC1的體積為_圖96將直三棱柱ABCA1B1C1展開成矩形ACC1A1，如圖，連接AC1，交BB1于D，此時ADDC1最小，AB1，BC2，BB13，ABC90°，點D為側棱BB1上的動點，當ADDC1最小時，BD1，此時三棱錐DABC1的體積：VDABC1VC1ABD×SABD×B1C1××AB×BD×B1C1××1×1×2.線面位置關系的命題真假判斷【例2】給出下列命題：若兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線一定平行于另一個平面；若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面；若兩個平面垂直，那么垂直于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面；若兩個平面垂直，那么其中一個平面內的直線一定垂直于另一個平面則其中所有真命題的序號是_ 【導學號：56394061】解析兩個平面平行，其中一個平面內的直線與另一平面一定沒有公共點，因此線面平行，正確；同樣兩個平面平行，一直線與其中一個平面垂直，則它必垂直這個平面內的任意直線，根據(jù)面面平行的性質定理，它也必垂直另一平面內的兩條相交直線，故這條直線與另一平面也垂直，正確；兩平面垂直，垂直于其中一個平面的直線可能在另一平面內(面面垂直性質定理)，錯誤；兩平面垂直時，它們的交線與兩平面都不垂直，錯誤答案規(guī)律方法解決空間點、線、面位置關系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質、空間位置關系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關系的判定定理和性質定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結論不能完全移植到立體幾何中舉一反三設a，b，c是空間三條直線，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不正確的是_(填序號)當c時，若c，則/；當b，a且c是a在內的射影時，若bc，則ab；當b時，若b，則；當b且c時，若c/，則b/c.命題的逆命題為“當c時，若，則c”，正確；命題的逆命題為“當b，a且c是a在內的射影時，若ab，則bc”，正確；命題的逆命題為“當b時，若，則b”，錯誤；命題的逆命題為“當b且c時，若bc，則c”，正確空間中的線面位置關系【例3】(江蘇省2017屆高考押題試卷(二)數(shù)學試題)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，AA1AB，D是AB的中點(1)求證：BC1平面A1CD；(2)若點P在線段BB1上，且BPBB1，求證：AP平面A1CD.圖97 證明(1)連接AC1，設與CA1交于O點，連接OD(圖略)直三棱柱ABCA1B1C1中，O為AC1的中點，D是AB的中點，在ABC1中，ODBC1，又OD平面A1CD，BC1平面A1CD.(2)由題意，設ABx，則BPx，ADx，A1Ax，由于，ABPADA1，可得BAPAA1D，DA1AADA190°，可得：APA1D，又CDAB，平面ABC平面ABB1A1，CD平面ABC，平面ABC平面ABB1A1AB，可得CD平面ABB1A1，CDAP，又A1DCDD，AP平面A1CD.規(guī)律方法(1)要證線面平行，先在平面內找一條直線與已知直線平行，或找一個經過已知直線與已知平面相交的平面，找出交線，證明兩線平行(2)要證線線平行，可考慮公理4或轉化為線面平行(3)要證線面垂直可轉化為證明線線垂直，應用線面垂直的判定定理與性質定理進行轉化舉一反三 如圖98所示，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(1)求證：DE平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由圖98解(1)證明：因為D，E分別是AP，AC的中點，所以DEPC.又DE平面BCP，所以DE平面BCP.(2)證明：因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，所以DEPCFG，DGABEF.所以四邊形DEFG為平行四邊形又PCAB，所以DEDG.所以四邊形DEFG為矩形(3)存在點Q滿足條件理由如下：連接DF，EG，如圖所示，設Q為EG的中點，由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q，且QMQNEG，所以Q為滿足條件的點.空間中的面面位置關系【例4】(江蘇省泰州中學2017屆高三摸底考試)如圖99，正方形ABCD所在的平面與CDE所在的平面交于CD，AE平面CDE，且AB2AE.(1)求證：AB平面CDE；(2)求證：平面ABCD平面ADE.圖99 證明(1)正方形ABCD中，AB/CD，又AB平面CDE，CD平面CDE，AB/平面CDE.(2)AE平面CDE，且CD平面CDE，AECD，又正方形ABCD中，CDAD，且AEADA，AE平面ADE，AD平面ADE，CD平面ADE，又CD平面ABCD，平面ABCD平面ADE.規(guī)律方法線面、線線垂直與平行的位置關系在面面平行與垂直位置關系的證明中起著承上啟下的橋梁作用，依據(jù)線面、面面位置關系的判定定理與性質定理進行轉化是解決這類問題的關鍵證明面面平行主要依據(jù)判定定理，證明面面垂直時，關鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個平面垂直，若圖中不存在這樣的直線應借助添加中線、高線等方法解決舉一反三(江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學試題)如圖910，在三棱錐ABCD中，E、F分別為BC，CD上的點，且BD平面AEF.(1)求證：EF平面ABD；(2)若AE平面BCD，BDCD，求證：平面AEF平面ACD. 【導學號：56394062】圖910證明(1)BD平面AEF，BD平面BCD，平面BCD平面AEFEF，BDEF，又BD平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.(2)AE平面BCD，CD平面BCD，AECD，由(1)可知BDEF，又BDCD，EFCD，又AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，CD平面AEF，又CD平面ACD，平面AEF平面ACD.第3步 高考易錯明辨析1概念不清，做題時想當然導致出錯這是一些中差生最常犯的錯如圖911，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4 cm，AD3 cm，AA12 cm，則四棱錐ABB1D1D的體積為_cm3.圖911錯解設AC，BD的交點為O(圖略)，則四棱錐ABB1D1D的體積V×SBB1D1D×AO，根據(jù)題意AC5 cm，所以AO，四棱錐ABB1D1D的體積V×5×2× cm3.錯解分析由于AO不垂直于面BB1D1D，四棱錐ABB1D1D的體積不是×SBB1D1D×AO.正解作AOBD，垂足為O(圖略)，因為平面ABCD平面BB1D1D.所以，AO平面BB1D1D，所以四棱錐ABB1D1D的高為AO，根據(jù)題意BD5 cm，所以AO，四棱錐ABB1D1D的體積V×5×2×8 cm3.2. 考綱要求學生要有一定的空間想象力，能根據(jù)圖形想象出直觀形象學生往往由于空間感太差，考慮問題不全面，忽視一些細節(jié)之處，把圖形想錯已知m、n為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是_(填序號)m，mnn；，m，nmn；mn，mn；m，n，m，n.錯解對，想象為如下圖形，所以正確，填.錯解分析空間想象能力差，考慮問題不全面而導致出錯正解對，直線有可能在平面內，故錯；對，只能說明直線m、n無公共點，它們還有可能為異面直線，故錯； 對，圖形如下，所以正確，填. 對，平面、有可能相交，故錯3推理不嚴密，邏輯思維混亂導致出錯如圖912，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點如圖，求證：平面PAC平面PBC.圖912錯解因為PA垂直圓所在的平面，所以PAAC.又因為AB是圓的直徑，C是圓上的點，所以BCAC.所以平面PAC平面PBC.錯解分析證明任何一種位置關系，應緊扣相應的判定定理，要證兩個平面垂直，必須證明其中一個平面經過另外一個平面的一條垂線以上證明找到了PAAC，BCAC，但這并不能說明平面PAC平面PBC.正解由AB是圓的直徑可得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.又因為BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC.專家預測·鞏固提升(對應學生用書第43頁)1邊長為2 的正ABC內接于體積為4的球，則球面上的點到ABC的最大距離為_設M是ABC的外心，半徑為r，設球心為O，球體半徑為R，則VR34，即R，在RtOMC中，2r，則r，d，dmaxdR.2等邊三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD外接球體積為_. 【導學號：56394063】圖913根據(jù)題意可知三棱錐BACD的三條側棱BDAD，DCDA，底面是直角三角形，它的外接球就是它擴展為正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜邊的中點連線的中點處，求出上下底面斜邊的中點連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，ROB，VR3.3在邊長為6 cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖914所示)(1)在三棱錐上標注出M、N點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；(2)G是線段AB上一點，且·， 問是否存在點G使得AB平面EGF，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)求多面體EAFNM的體積圖914解(1)因翻折后B、C、D重合，所以MN應是ABF的一條中位線，如圖所示則MN/平面AEF.證明如下： MN/平面AEF.4分(2)存在G點使得AB平面EGF，此時1. 因為AB平面EBF.又G是線段AB上一點，且·， 當點G與點B重合時AB平面EGF，此時1.8分(3)因為AB平面BEF，且AB6，BEBF3，VABEF·AB·SBEF9，又， VEAFNM.12分14