專題七不等式命題觀察·高考定位(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第28頁(yè))1(2016·江蘇高考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是_根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y)為陰影區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)d可以看做坐標(biāo)原點(diǎn)O與可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)之間的距離數(shù)形結(jié)合，知d的最大值是OA的長(zhǎng)，d的最小值是點(diǎn)O到直線2xy20的距離由可得A(2,3)，所以dmax，dmin.所以d2的最小值為，最大值為13.所以x2y2的取值范圍是.2(2015·江蘇高考)不等式2x2x4的解集為_x|1x22x2x4，2x2x22，x2x2，即x2x20，1x2.3(2014·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f (x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394045】作出二次函數(shù)f (x)的圖象，對(duì)于任意xm，m1，都有f (x)<0，則有即解得<m<0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.命題規(guī)律在近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)中，有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重. 不僅考查有關(guān)不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，而且注重考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及分析問題和解決問題的能力. 在題型上，填空題主要考查不等式的性質(zhì)、解簡(jiǎn)單不等式、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用、絕對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍、比較大小等；解答題主要考查基本不等式的應(yīng)用、含參不等式的解法、求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實(shí)際應(yīng)用題等. 試題常常是寓不等式的證明、解不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實(shí)際應(yīng)用等問題之中， 知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高， 是高考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地. 從近幾年數(shù)學(xué)試題得到啟示：涉及不等式解法的題目，往往較為容易；對(duì)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用的考查，不但具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易于把握；對(duì)基本不等式的考查，較多的寓于綜合題目之中通過(guò)第二輪的專題復(fù)習(xí)，應(yīng)注意在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化記憶，熟化常見題型的解法，提升綜合應(yīng)用不等式解題的能力主干整合·歸納拓展(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第28頁(yè))第1步 核心知識(shí)再整合1在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來(lái)證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握2解不等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程因此在學(xué)習(xí)中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基本原則轉(zhuǎn)化的方法是： 超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式其中準(zhǔn)確熟練求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想3對(duì)于公式ab2，ab2，要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系4在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤5平面區(qū)域的確定方法是“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的半平面的交集確定平面區(qū)域中單個(gè)變量的范圍、整點(diǎn)個(gè)數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來(lái)，結(jié)合圖形通過(guò)計(jì)算解決線性目標(biāo)函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為yx可知是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值6含有絕對(duì)值的不等式常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；(3)平方；(4)利用絕對(duì)值的幾何意義第2步 高頻考點(diǎn)細(xì)突破簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用【例1】(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試)已知實(shí)數(shù)x，y滿足 若不等式a(x2y2)(xy)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是_解析可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部(圖略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C，因此kOA，kOB2,4，因?yàn)樵?,4上單調(diào)遞增，所以，不等式a(x2y2)(xy)2恒成立等價(jià)于amaxmaxamin.答案規(guī)律方法這是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用的基本題型基本思路是：畫、移、解、代技巧是：往往在“角點(diǎn)”處取得最值，直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可，關(guān)鍵點(diǎn)是理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義舉一反三(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)若實(shí)數(shù)x，y滿足則z3x2y的最大值為_7作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分)由z3x2y得yxz，平移直線yxz，由圖象可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線yxz的截距最大，此時(shí)z最大由解得A(1,2)，代入目標(biāo)函數(shù)z3x2y得z3×12×27.即目標(biāo)函數(shù)z3x2y的最大值為7.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃“逆向”問題，確定參數(shù)的取值(范圍)【例2】(無(wú)錫市普通高中2017屆高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測(cè))已知x，y滿足 ，若z3xy的最大值為M，最小值為m，且Mm0，則實(shí)數(shù)a的值為_解析畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可以看出當(dāng)動(dòng)直線y3xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(a，a)和B(1,1)時(shí)，z3xy分別取最小值m4a和最大值m4，由題設(shè)可得4a40，所以a1.答案1規(guī)律方法嘗試畫出“可行域”，通過(guò)平移直線確認(rèn)“最優(yōu)解”，建立參數(shù)的方程舉一反三實(shí)數(shù)x，y滿足 如果目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為2，則實(shí)數(shù)m的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394046】8如圖，約束條件表示的可行域應(yīng)該是ABC內(nèi)部(含邊界)(否則可行域不存在)，作直線l：xy0，當(dāng)把直線l向上平移時(shí)，z減小，因此其最小值點(diǎn)是直線y2x1與直線xym的交點(diǎn)，由得B(3,5)，代入xym得m8.基本不等式的應(yīng)用【例3】(20162017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)若函數(shù)ytan ，則函數(shù)y的最小值為_解析，tan >0.ytan tan tan 22，當(dāng)且僅當(dāng)tan 1時(shí)取等號(hào)因此y的最小值為2.答案2規(guī)律方法應(yīng)用基本不等式，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，缺一不可靈活的通過(guò)“拆、湊、代(換)”，創(chuàng)造應(yīng)用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號(hào)成立的條件，是常見錯(cuò)誤之一舉一反三(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)已知正數(shù)a，b滿足5，則ab的最小值為_36552()25606ab36，當(dāng)且僅當(dāng)b9a時(shí)取等號(hào)，因此ab的最小值為36.不等式的綜合應(yīng)用【例4】(泰州中學(xué)20162017年度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè))已知二次函數(shù)f (x)mx22x3，關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式f (x)0的解集為.(1)當(dāng)a>0時(shí)，解關(guān)于x的不等式：ax2n1>(m1)x2ax；(2)是否存在實(shí)數(shù)a(0,1)，使得關(guān)于x的函數(shù)yf (ax)3ax1(x1,2)的最小值為5？若存在，求實(shí)數(shù)a的值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)由不等式mx22x30的解集為知，關(guān)于x的方程mx22x30的兩根為1和n，且m>0，由根與系數(shù)關(guān)系，得 所以原不等式化為(x2)(ax2)>0，當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式化為(x2)>0，且2<，解得x>或x<2；當(dāng)a1時(shí)，原不等式化為(x2)2>0，解得xR且x2；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式化為(x2)>0，且2>，解得x<或x>2；綜上所述：當(dāng)0<a1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|xR且x2；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為.(2)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，由(1)得：m1，f (x)x22x3，yf (ax)3ax1a2x(3a2)ax3.令axt(a2ta)，則yt2(3a2)t3(a2ta)，對(duì)稱軸t，因?yàn)閍(0,1)，所以a2<a<1,1<<，所以函數(shù)yt2(3a2)t3在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)ta時(shí)，y的最小值為y2a22a35，解得a.規(guī)律方法應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、證明不等式，解題格式明確、規(guī)范，基本思路清晰，能使問題解決的領(lǐng)域更寬廣解題過(guò)程中，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，化生為熟、化難為易、化繁為簡(jiǎn)，是解決問題的基本方法舉一反三(泰州中學(xué)20162017年度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)文科)已知函數(shù)f (x)|x1|，g(x)x26x5(xR)(1)若g(x)f (x)，求x的取值范圍；(2)求g(x)f (x)的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394047】解(1)當(dāng)x1時(shí)，f (x)x1，由g(x)f (x)，得x26x5x1，整理得(x1)(x4)0，所以x1,4；當(dāng)x<1時(shí)，f (x)1x，由g(x)f (x)，得x26x51x，整理得(x1)(x6)0，所以x1,6，由 ，得x，綜上x的取值范圍是1,4(2)由(1)知，g(x)f (x)的最大值必在1,4上取到，所以g(x)f (x)x26x5(x1)2，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)f (x)取到最大值為.第3步 高考易錯(cuò)明辨析1簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，擴(kuò)大(縮小)可行域的范圍已知1xy2且2xy4求4x2y的范圍錯(cuò)解由于1xy2，2xy4；得32x6，×(1)得02y3，×2×(1)得34x2y12.錯(cuò)解分析可行域范圍擴(kuò)大了正解線性約束條件是：令z4x2y，畫出可行域如圖所示，由 得A點(diǎn)坐標(biāo)(1.5,0.5)，此時(shí)z4×1.52×0.55.由 得B點(diǎn)坐標(biāo)(3,1)，此時(shí)z4×32×110.54x2y10.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，理解題意錯(cuò)誤已知求x2y2的最值錯(cuò)解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界)，令zx2y2，由得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1)，此時(shí)z x2y2421217，由得B點(diǎn)坐標(biāo)(1，6)，此時(shí)z x2y2(1)2(6)237，由得C點(diǎn)坐標(biāo)(3,2)，此時(shí)z x2y2(3)22213，當(dāng)時(shí)，x2y2取得最大值37，當(dāng)時(shí)，x2y2取得最小值13.錯(cuò)解分析誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A，B，C到原點(diǎn)的距離的平方的最值正解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界)，令zx2y2，則z即為點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方由得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1)，此時(shí)zx2y2421217，由得B點(diǎn)坐標(biāo)(1，6)，此時(shí)zx2y2(1)2(6)237，由得C點(diǎn)坐標(biāo)(3,2)，此時(shí)zx2y2(3)22213，而在原點(diǎn)處，此時(shí)zx2y202020，當(dāng)時(shí)，x2y2取得最大值37，當(dāng)時(shí)，x2y2取得最小值0.3應(yīng)用基本不等式，忽視等號(hào)成立的條件已知：a>0，b>0，ab1，求22的最小值錯(cuò)解 22a2b242ab4448，所以，22的最小值是8.錯(cuò)解分析上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是ab，第二次等號(hào)成立的條件是ab，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的因此，8不是最小值正解22a2b24(ab)22ab4(12ab)4，由ab2， 得12ab1， 且16, 117，原式×174 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，所以，22的最小值是.專家預(yù)測(cè)·鞏固提升(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第31頁(yè))1已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x3y10，則xy的取值范圍為_設(shè)xyt，則y，所以10x3yxx2.即3t211t80，解之得1t.2已知函數(shù)的定義域是2，)且f (4)f (2)1, f (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，且f (x)的圖象如圖71所示，則不等式組 所圍成的平面區(qū)域的面積是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394048】圖714由導(dǎo)函數(shù)的圖象得到f (x)在2,0遞減；在0，)遞增，f (4)f (2)1，f (2xy)1，22xy4， 表示的平面區(qū)域如下：所以平面區(qū)域的面積為×2×44.3已知函數(shù)f (x)的定義域是3，)且f (6)2，f (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f (x)的圖象如圖72所示，若正數(shù)a，b滿足f (2ab)<2，則的取值范圍是_圖72如圖所示：f (x)0在0，)上恒成立，函數(shù)f (x)在3,0)是減函數(shù)，(0，)上是增函數(shù)，又f (2ab)2f (6)， 畫出平面區(qū)域令t表示過(guò)定點(diǎn)(2，3)的直線的斜率，如圖所示：t.4已知x，y滿足約束條件則x24y2的最小值是_設(shè)x24y2z(z>0)1，這個(gè)橢圓與可行域有公共點(diǎn)，只需它與線段xy1(0x1)有公共點(diǎn)，把y1x代入橢圓方程得5x28x4z0，由判別式644×5(4z)0得z，且x0,1時(shí)，z.11