第1課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f(x)>0f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增f(x)<0f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減f(x)0f(x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)提醒(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號；(2)對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，需確定導(dǎo)數(shù)等于零的點、函數(shù)的不連續(xù)點和不可導(dǎo)點；(3)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接，可用“，”隔開或用“和”連接；(4)區(qū)間的端點可以屬于單調(diào)區(qū)間，也可以不屬于單調(diào)區(qū)間，對結(jié)論沒有影響疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f(x)>0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()(3)在(a，b)內(nèi)f(x)0且f(x)0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)()答案：(1)×(2)(3)教材衍化1(選修22P32A組T4改編)如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(2，1)上f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1，3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4，5)上f(x)是增函數(shù)D當x2時，f(x)取到極小值解析：選C.在(4，5)上f(x)>0恒成立，所以f(x)是增函數(shù)2(選修22P26練習T1(2)改編)函數(shù)f(x)exx的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：因為f(x)exx，所以f(x)ex1，由f(x)>0，得ex1>0，即x>0.答案：(0，)易錯糾偏忽視函數(shù)的定義域.函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：由f(x)1<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)答案：(0，1)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 討論函數(shù)f(x)(a1)ln xax21的單調(diào)性【解】f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax.當a1時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a0時，f(x)<0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當0<a<1時，令f(x)0，解得x ，則當x(0, )時，f(x)<0；當x( ，)時，f(x)>0，故f(x)在(0, )上單調(diào)遞減，在( ，)上單調(diào)遞增 (2020·溫州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)xln(ax)(a0)設(shè)F(x)f(1)x2f(x)，討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性解：f(x)ln(ax)1，所以F(x)(ln a)x2ln(ax)1，函數(shù)F(x)的定義域為(0，)，F(xiàn)(x)(ln a)x.當ln a0，即a1時，恒有F(x)0，函數(shù)F(x)在(0，)上是增函數(shù)；當ln a0，即0a1時，令F(x)0，得(ln a)x210，解得0x ；令F(x)0，得(ln a)x210，解得x .所以函數(shù)F(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1，1) B(0，1)C(1，) D(0，)(2)已知函數(shù)f(x)x3x2ax1(aR)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間【解】(1)選B.yx2ln x，yx(x>0)令y<0，得0<x<1，所以單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)(2)f(x)x22xa開口向上，44a4(1a)當1a0，即a1時，f(x)0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增當1a>0，即a<1時，令f(x)0，解得x11，x21，令f(x)>0，解得x<1或x>1；令f(x)<0，解得1<x<1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，1)綜上所述：當a1時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當a<1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，1) 1已知函數(shù)f(x).則函數(shù)yf(x)在x(m，)上的單調(diào)遞減區(qū)間為_，單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：f(x)，當x(m，m1)時，f(x)0，當x(m1，)時，f(x)0，所以f(x)在(m，m1)上單調(diào)遞減，在(m1，)上單調(diào)遞增答案：(m，m1)(m1，)2設(shè)函數(shù)f(x)x2mln x，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)，當m0時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間當m0時，f(x)，當0x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上：當m0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當m0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(高頻考點)利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)求參數(shù)的取值范圍，是高考考查函數(shù)單調(diào)性的一個重要考向，常以解答題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)函數(shù)yf(x)與yf(x)圖象的相互判定；(2)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；(3)比較大小或解不等式角度一函數(shù)yf(x)與yf(x)圖象的相互判定 (1)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()(2)設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象如圖，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()【解析】(1)原函數(shù)先減再增，再減再增，且x0位于增區(qū)間內(nèi)，故選D.(2)由yf(x)圖象可知，當x(，x1)時，yf(x)單調(diào)遞增，所以f(x)>0.當x(x1，x2)時，yf(x)單調(diào)遞減，所以f(x)<0.當x(x2，)時，yf(x)單調(diào)遞增，所以f(x)>0.所以yf(x)的圖象在四個選項中只有D符合【答案】(1)D(2)D角度二已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 (1)(2020·浙江省高中學科基礎(chǔ)測試)若函數(shù)f(x)2x(aR)在1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A0，2 B0，4C(，2 D(，4(2)函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，則k的取值范圍是_【解析】(1)由題意得f(x)20在1，)上恒成立，則a(2x2)min2，所以a2，故選C.(2)因為函數(shù)f(x)kxln x，所以f(x)k，函數(shù)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，則f(x)0在(1，)上恒成立，即k0在區(qū)間(1，)上恒成立，故k在區(qū)間(1，)上恒成立，因為在區(qū)間(1，)上01，故k0.【答案】(1)C(2)(，0角度三比較大小或解不等式 (2020·寧波市效實中學月考)定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f(x)，若f(x)f(2x)，且當x(，1)時，(x1)f(x)0，設(shè)af(e為自然對數(shù)的底數(shù))，bf()，cf(log28)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(用“”連接)【解析】因為當x(，1)時，(x1)f(x)0，得f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，又f(x)f(2x)，得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以函數(shù)f(x)圖象上的點距離直線x1越近函數(shù)值越大，又log283，所以log2821，得f()ff(log28)，故cab.【答案】cab(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路由函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增(減)可知f(x)0(f(x)0)在區(qū)間a，b上恒成立列出不等式利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使f(x)在整個區(qū)間恒等于0，若f(x)恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有f(x)0，則參數(shù)可取這個值(2)利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式提醒(1)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(2)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性是不同的 設(shè)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(2)0，當x0時，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是_解析：設(shè)g(x)(x0)，則g(x)，所以當x0時，g(x)0，即g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又g(2)0，所以f(x)0的解集為(2，0)(2，)故填(2，0)(2，)答案：(2，0)(2，)核心素養(yǎng)系列5數(shù)學運算、邏輯推理構(gòu)造函數(shù)、比較大小此類涉及已知f(x)與f(x)的一些關(guān)系式，比較有關(guān)函數(shù)式大小的問題，可通過構(gòu)造新的函數(shù)，創(chuàng)造條件，從而利用單調(diào)性求解一、x與f(x)的組合函數(shù) 若函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(2)2，f(x)>1，則不等式f(x)x>0的解集為_【解析】令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)1.由題意知g(x)>0，所以g(x)為增函數(shù)因為g(2)f(2)20，所以g(x)>0的解集為(2，)【答案】(2，)二、ex與f(x)的組合函數(shù) 已知f(x)(xR)有導(dǎo)函數(shù)，且xR，f(x)>f(x)，nN*，則有()Aenf(n)<f(0)，f(n)>enf(0)Benf(n)<f(0)，f(n)<enf(0)Cenf(n)>f(0)，f(n)>enf(0)Denf(n)>f(0)，f(n)<enf(0)【解析】設(shè)g(x)，則g(x)>0，g(x)為R上的增函數(shù)，故g(n)<g(0)<g(n)，即<<，即enf(n)<f(0)，f(n)>enf(0)故選A.【答案】A 設(shè)a>0，b>0，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則()A若ea2aeb3b，則a>bB若ea2aeb3b，則a<bC若ea2aeb3b，則a>bD若ea2aeb3b，則a<b【解析】因為a>0，b>0，所以ea2aeb3beb2bb>eb2b.對于函數(shù)yex2x(x>0)，因為yex2>0，所以yex2x在(0，)上單調(diào)遞增，因而a>b成立故選A.【答案】A基礎(chǔ)題組練1函數(shù)f(x)exex，xR的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(0，)B(，0) C(，1)D(1，)解析：選D.由題意知，f(x)exe，令f(x)>0，解得x>1，故選D.2函數(shù)f(x)1xsin x在(0，2)上的單調(diào)情況是()A增函數(shù) B減函數(shù) C先增后減 D先減后增解析：選A.在(0，2)上有f(x)1cos x0恒成立，所以f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增3(2020·臺州市高三期末質(zhì)量評估)已知函數(shù)f(x)ax3ax2x(aR)，下列選項中不可能是函數(shù)f(x)圖象的是()解析：選D.因f(x)ax2ax1，故當a0時，判別式a24a0，其圖象是答案C中的那種情形；當a0時，判別式a24a0，其圖象是答案B中的那種情形；判別式a24a0，其圖象是答案A中的那種情形；當a0，即yx也是答案A中的那種情形，應(yīng)選答案D.4已知函數(shù)f(x)xsin x，xR，則f，f(1)，f的大小關(guān)系為()Af>f(1)>fBf(1)>f>fCf>f(1)>fDf>f>f(1)解析：選A.因為f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以ff.又x時，得f(x)sin xxcos x>0，所以此時函數(shù)是增函數(shù)所以f<f(1)<f.所以f>f(1)>f，故選A.5函數(shù)f(x)的定義域為R.f(1)2，對任意xR，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)解析：選B.由f(x)>2x4，得f(x)2x4>0.設(shè)F(x)f(x)2x4，則F(x)f(x)2.因為f(x)>2，所以F(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上單調(diào)遞增，而F(1)f(1)2×(1)42240，故不等式f(x)2x4>0等價于F(x)>F(1)，所以x>1，選B.6(2020·溫州七校聯(lián)考)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x3)f(x)0，則必有()Af(0)f(6)2f(3) Bf(0)f(6)2f(3)Cf(0)f(6)2f(3) Df(0)f(6)2f(3)解析：選A.由題意知，當x3時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在3，)上單調(diào)遞減或為常數(shù)函數(shù)；當x3時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，3)上單調(diào)遞增或為常數(shù)函數(shù)，所以f(0)f(3)，f(6)f(3)，所以f(0)f(6)2f(3)，故選A.7函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：因為f(x)(x3)ex，則f(x)ex(x2)，令f(x)0，得x2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)答案：(2，)8已知函數(shù)f(x)axln x，則當a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_解析：由已知得f(x)的定義域為(0，)因為f(x)a，所以當x時f(x)0，當0x時f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.答案：9若函數(shù)f(x)ax33x2x恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知f(x)3ax26x1，由函數(shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得f(x)有兩個不相等的零點，所以3ax26x10需滿足a0，且3612a>0，解得a>3，所以實數(shù)a的取值范圍是(3，0)(0，)答案：(3，0)(0，)10(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2ex，若f(x)在t，t1上不單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是_解析：由題意得，f(x)ex(x22x)，所以f(x)在(，2)，(0，)上單調(diào)遞增，在(2，0)上單調(diào)遞減，又因為f(x)在t，t1上不單調(diào)，所以或，即實數(shù)t的取值范圍是(3，2)(1，0)答案：(3，2)(1，0)11已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因為x1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故舍去當x(0，5)時，f(x)<0，故f(x)在(0，5)內(nèi)為減函數(shù)；當x(5，)時，f(x)>0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，5)12(1)設(shè)函數(shù)f(x)xe2xex，求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)設(shè)f(x)ex(ln xa)(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解：(1)因為f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以當x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)綜上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)(2)由題意可得f(x)ex0在上恒成立因為ex>0，所以只需ln xa0，即aln x在上恒成立令g(x)ln x.因為g(x)，由g(x)0，得x1.x(1，e)g(x)g(x)gln ee1，g(e)1，因為e1>1，所以g(x)maxge1.故ae1.綜合題組練1(2020·麗水模擬)已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))則下面四個圖象中，yf(x)的圖象大致是()解析：選C.由題圖可知當0x1時，xf(x)0，所以f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減當x1時，xf(x)0，所以f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以當x1時，函數(shù)取得極小值當x1時，xf(x)0，所以f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當1x0時，xf(x)0，所以f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當x1時，函數(shù)取得極大值符合條件的只有C項2(2020·浙江新高考沖刺卷)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)當x0時，恒有f(x)f(x)0，若g(x)x2f(x)，則不等式g(x)g(12x)的解集為()A(，1) B(，)(1，)C(，) D(，)解析：選A.因為定義在R上的偶函數(shù)f(x)，所以f(x)f(x)因為x0時，恒有f(x)f(x)0，所以x2f(x)2xf(x)0，因為g(x)x2f(x)，所以g(x)2xf(x)x2f(x)0，所以g(x)在0，)上為減函數(shù)，因為f(x)為偶函數(shù)，所以g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)在(，0)上為增函數(shù)，因為g(x)g(12x)所以|x|12x|，即(x1)(3x1)0解得x1，選A.3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)f(5)1，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)1的解集是_解析：依題意得，當x>0時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當x<0時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)又f(3)f(5)1，因此不等式f(x)<1的解集是(3，5)答案：(3，5)4(2020·紹興、諸暨高考模擬)已知函數(shù)f(x)x33x，函數(shù)f(x)的圖象在x0處的切線方程是_；函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2內(nèi)的值域是_解析：函數(shù)f(x)x33x，切點坐標(0，0)，導(dǎo)數(shù)為y3x23，切線的斜率為3，所以切線方程為y3x；3x230，可得x±1，x(1，1)，y0，函數(shù)是減函數(shù)，x(1，)，y0函數(shù)是增函數(shù)，f(0)0，f(1)2，f(2)862，函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2內(nèi)的值域是2，2答案：y3x2，25已知函數(shù)g(x)x3ax22x.(1)若g(x)在(2，1)內(nèi)為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)因為g(x)x2ax2，且g(x)在(2，1)內(nèi)為減函數(shù)，所以g(x)0，即x2ax20在(2，1)內(nèi)恒成立，所以即解得a3，即實數(shù)a的取值范圍為(，3(2)因為g(x)在(2，1)內(nèi)不單調(diào)，g(x)x2ax2，所以g(2)·g(1)<0或由g(2)·g(1)<0，得(62a)·(3a)<0，無解由得即解得3<a<2，即實數(shù)a的取值范圍為(3，2)6設(shè)函數(shù)f(x)aln x，其中a為常數(shù)(1)若a0，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：(1)由題意知a0時，f(x)，x(0，)，此時f(x)，可得f(1)，又f(1)0，所以曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為x2y10.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)f(x).當a0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a<0時，令g(x)ax2(2a2)xa，(2a2)24a24(2a1)當a時，0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當a<時，<0，g(x)<0，f(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當<a<0時，>0，設(shè)x1，x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點，則x1，x2.由于x1>0，所以當x(0，x1)時，g(x)<0，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x(x1，x2)時，g(x)>0，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當x(x2，)時，g(x)<0，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上可得：當a0時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當<a<0時，f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增16