第1講函數(shù)及其表示一、知識梳理1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設A，B是兩個非空的數(shù)集設A，B是兩個非空的集合對應關系f：AB如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射記法yf(x)(xA)對應f：AB是一個映射2.函數(shù)的有關概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關系(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)注意分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集常用結論幾種常見函數(shù)的定義域(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負的實數(shù)的集合(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合(4)若f(x)x0，則定義域為x|x0(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1.(6)正切函數(shù)ytan x的定義域為.二、教材衍化1下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：選B.對于A，函數(shù)y()2的定義域為x|x1，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應關系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y1的定義域為x|x0，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應關系不同，不是相等函數(shù)，故選B.2函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是_答案：3，02，31，51，2)(4，53函數(shù)y·的定義域是_解析：x2.答案：2，)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yf(x)的圖象與直線xa最多有2個交點()(2)函數(shù)f(x)x22x與g(t)t22t是相等函數(shù)()(3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)()(4)若集合AR，Bx|x0，f：xy|x|，則對應關系f是從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的()(6)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)×(6)二、易錯糾偏(1)對函數(shù)概念理解不透徹；(2)對分段函數(shù)解不等式時忘記范圍；(3)換元法求解析式，反解忽視范圍1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列從P到Q的各對應關系f中不是函數(shù)的是_(填序號)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：對于，因為當x4時，y×4Q，所以不是函數(shù)答案：2設函數(shù)f(x)則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為_解析：因為f(x)是分段函數(shù)，所以f(x)1應分段求解當x<1時，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x<1；當x1時，f(x)141，即3，所以1x10.綜上所述，x2或0x10，即x(，20，10答案：(，20，103已知f()x1，則f(x)_解析：令t，則t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0)函數(shù)的定義域(多維探究)角度一求函數(shù)的定義域 (1)(2020·安徽宣城八校聯(lián)考)函數(shù)y的定義域為()A(1，3B(1，0)(0，3C. 1，3 D1，0)(0，3(2)(2020·華南師范大學附屬中學月考)已知函數(shù)f(x)的定義域是1，1，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0，1 B(0，1)C0，1) D(0，1【解析】(1)要使函數(shù)有意義，x需滿足解得1<x<0或0<x3，所以函數(shù)的定義域為(1，0)(0，3故選B.(2)由函數(shù)f(x)的定義域為1，1，得1x1，令12x11，解得0x1，又由1x>0且1x1，解得x<1且x0，所以函數(shù)g(x)的定義域為(0，1)，故選B.【答案】(1)B(2)B角度二已知函數(shù)的定義域求參數(shù) 若函數(shù)y的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是()A. BC. D【解析】由ax24ax20恒成立，得a0或解得0a.【答案】D函數(shù)定義域的求解策略(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉化為解不等式(組)的問題在解不等式組取交集時可借助于數(shù)軸，要特別注意端點值的取舍(2)求抽象函數(shù)的定義域：若yf(x)的定義域為(a，b)，則解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得yf(x)的定義域(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉化成含參數(shù)的不等式(組)，然后求解提醒(1)求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡(2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式 1y log2(4x2)的定義域是()A(2，0)(1，2)B(2，0(1，2)C(2，0)1，2) D2，01，2解析：選C.要使函數(shù)有意義，則解得x(2，0)1，2)，即函數(shù)的定義域是(2，0)1，2)2已知函數(shù)yf(x21)的定義域為，則函數(shù)yf(x)的定義域為_解析：因為yf(x21)的定義域為，所以x，x211，2，所以yf(x)的定義域為1，2答案：1，23若函數(shù)y的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：因為函數(shù)y的定義域為R，所以mx24mx30，所以m0或即m0或0m，所以實數(shù)m的取值范圍是.答案：求函數(shù)的解析式(師生共研) (1)已知二次函數(shù)f(2x1)4x26x5，求f(x)；(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，求f(x)【解】(1)法一：待定系數(shù)法因為f(x)是二次函數(shù)，所以設f(x)ax2bxc(a0)，則f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因為f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)法二：換元法令2x1t(tR)，則x，所以f(t)46·5t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)法三：配湊法因為f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)(2)解方程組法由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，×2，得3f(x)2x12x.即f(x).故f(x)的解析式是f(x)(xR)求函數(shù)解析式的4種方法(1)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表達式(2)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍(3)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法(4)解方程組法：已知關于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)提醒求解析式時要注意新元的取值范圍 1已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，則f(x)_解析：設f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx.又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)答案：x2x(xR)2已知函數(shù)flg x，則f(x)_解析：令1t，得x，則f(t)lg ，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)lg (x>1)答案：lg (x>1)3已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_解析：因為2f(x)f3x，把中的x換成，得2ff(x).聯(lián)立可得解此方程組可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)4已知函數(shù)f(1)x2，則f(x)的解析式為_解析：法一(換元法)：設t1，則x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二(配湊法)：因為x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.答案：f(x)x21(x1)分段函數(shù)(多維探究)角度一分段函數(shù)求值 (1)(2020·江西南昌一模)設函數(shù)f(x)則f(5)的值為()A7B1C0 D(2)若函數(shù)f(x)則f(f(9)_【解析】(1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故選D.(2)因為函數(shù)f(x)所以f(9)lg 101，所以f(f(9)f(1)2.【答案】(1)D(2)2角度二已知函數(shù)值求參數(shù) 設函數(shù)f(x)若f(m)3，則實數(shù)m的值為_【解析】當m2時，由m213，得m24，解得m2；當0<m<2時，由log2m3，解得m238(舍去)綜上所述，m2.【答案】2角度三與分段函數(shù)有關的方程、不等式問題 (1)(2020·安徽安慶二模)已知函數(shù)f(x)若實數(shù)a滿足f(a)f(a1)，則f()A2 B4C6 D8(2)(一題多解)(2020·安徽皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則滿足f(2x1)<f(3x2)的實數(shù)x的取值范圍是()A(，0 B(3，)C1，3) D(0，1)【解析】(1)由題意得a>0.當0<a<1時，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，則ff(4)8，當a1時，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立故選D.(2)法一：由f(x)可得當x<1時，f(x)1，當x1時，函數(shù)f(x)在1，)上是增加的，且f(1)log221，要使得f(2x1)<f(3x2)，則解得x>3，即不等式f(2x1)<f(3x2)的解集為(3，)，故選B.法二：當x1時，函數(shù)f(x)在1，)上是增加的，且f(x)f(1)1，要使f(2x1)<f(3x2)成立，需或解得x>3.故選B.【答案】(1)D(2)B分段函數(shù)問題的求解思路(1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求函數(shù)值的解題思路先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內到外依次求值(2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求參數(shù)值的解題思路先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，構造關于參數(shù)的方程然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗(3)已知分段函數(shù)的函數(shù)值滿足的不等式，求自變量取值范圍的解題思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結果并起來 1(2020·河南鄭州質量測評)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)1的解集為()A(，2 B(，0(1，2C0，2 D(，01，2解析：選D.當x1時，不等式f(x)1為log2x1，即log2xlog22，因為函數(shù)ylog2x在(0，)上是增加的，所以1x2；當x<1時，不等式f(x)1為1，所以10，所以0，所以0，所以x0或x>1(舍去)所以f(x)1的解集是(，01，2故選D.2已知函數(shù)f(x)若f(a)3，則f(a2)_解析：當a0時，若f(a)3，則log2aa3，解得a2(滿足a0)；當a0時，若f(a)3，則4a213，解得a3，不滿足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.答案：3(2020·閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x2)則f(2)_解析：f(2)f(42)642.答案：2分類討論思想在分段函數(shù)中的應用 設函數(shù)f(x)則滿足f(x)f>1的x的取值范圍是_【解析】當x>0時，f(x)2x>1恒成立，當x>0，即x>時，f2x>1，當x0，即0<x時，fx>，則不等式f(x)f>1恒成立當x0時，f(x)fx1x2x>1，所以<x0.綜上所述，x的取值范圍是.【答案】解決分段函數(shù)問題的關鍵是“對號入座”，即根據(jù)自變量取值的范圍，準確確定相應的對應法則，代入相應的函數(shù)解析式，轉化為一般的函數(shù)在指定區(qū)間上的問題，解完之后應注意檢驗自變量取值范圍的應用總之，解決分段函數(shù)的策略就是“分段函數(shù)，分段解決”，即應用分類討論思想解決 設函數(shù)f(x)若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：若a<0，則f(a)<17<1<8，解得a>3，故3<a<0；若a0，則f(a)<1<1，解得a<1，故0a<1.綜上可得3<a<1.答案：(3，1) 基礎題組練1下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選B.中當x>0時，每一個x的值對應兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；中當xx0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；中每一個x的值對應唯一的y值，因此是函數(shù)圖象故選B.2函數(shù)f(x)的定義域為()A0，2) B(2，)C0，2)(2，) D(，2)(2，)解析：選C.由題意得解得x0，且x2.3(2020·延安模擬)已知f2x5，且f(a)6，則a等于()A. BC. D解析：選A.令tx1，則x2t2，f(t)2(2t2)54t1，則4a16，解得a.4下列函數(shù)中，同一個函數(shù)的定義域與值域相同的是()Ay Byln xCy Dy解析：選D.對于A，定義域為1，)，值域為0，)，不滿足題意；對于B，定義域為(0，)，值域為R，不滿足題意；對于C，定義域為(，0)(0，)，值域為(，1)(0，)，不滿足題意；對于D，y1，定義域為(，1)(1，)，值域也是(，1)(1，)5已知函數(shù)f(x)則f(f(1)()A B2C4 D11解析：選C.因為f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故選C.6已知函數(shù)yf(2x1)的定義域是0，1，則函數(shù)的定義域是()A1，2 B(1，1C. D(1，0)解析：選D.由f(2x1)的定義域是0，1，得0x1，故12x11，所以函數(shù)f(x)的定義域是1，1，所以要使函數(shù)有意義，需滿足解得1<x<0.7下列函數(shù)中，不滿足f(2 018x)2 018f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x2 Df(x)2x解析：選C.若f(x)|x|，則f(2 018x)|2 018x|2 018|x|2 018f(x)；若f(x)x|x|，則f(2 018x)2 018x|2 018x|2 018(x|x|)2 018f(x)；若f(x)x2，則f(2 018x)2 018x2，而2 018f(x)2 018x2 018×2，故f(x)x2不滿足f(2 018x)2 018f(x)；若f(x)2x，則f(2 018x)2×2 018x2 018×(2x)2 018f(x)故選C.8設xR，定義符號函數(shù)sgn x則()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：選D.當x0時，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)·(1)x，排除A，B，C，故選D.9若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)1，g(1)5，且圖象過原點，則g(x)_解析：設g(x)ax2bxc(a0)，因為g(1)1，g(1)5，且圖象過原點，所以解得所以g(x)3x22x.答案：3x22x10已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于_解析：因為f(1)2，且f(1)f(a)0，所以f(a)2<0，故a0.依題知a12，解得a3.答案：311已知f(x)的定義域為x|x0，且3f(x)5f1，則函數(shù)f(x)的解析式為_解析：用代替3f(x)5f1中的x，得3f5f(x)3x1，所以×3×5得f(x)x(x0)答案：f(x)x(x0)12設函數(shù)f(x)則f(f(0)_，若f(m)>1，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：f(f(0)f(1)ln 10；如圖所示，可得f(x)的圖象與直線y1的交點分別為(0，1)，(e，1)若f(m)>1，則實數(shù)m的取值范圍是(，0)(e，)答案：0(，0)(e，)綜合題組練1設f(x)，g(x)都是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(f·g)(x)：對任意的xR，(f·g)(x)f(g(x)若f(x)g(x)則()A(f·f)(x)f(x) B(f·g)(x)f(x)C(g·f)(x)g(x) D(g·g)(x)g(x)解析：選A.對于A，(f·f)(x)f(f(x)當x>0時，f(x)x>0，(f·f)(x)f(x)x；當x<0時，f(x)x2>0，(f·f)(x)f(x)x2；當x0時，(f·f)(x)f 2(x)002，因此對任意的xR，有(f·f)(x)f(x)，故A正確，選A.2(2020·河南鄭州第二次質量檢測)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設xR，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則yx稱為高斯函數(shù)例如：2.13，3.13，已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)yf(x)的值域為()A0，1，2，3 B0，1，2C1，2，3 D1，2解析：選D.f(x)1，因為2x>0，所以12x>1，所以0<<1，則0<<2，所以1<1<3，即1<f(x)<3，當1<f(x)<2時，f(x)1，當2f(x)<3時，f(x)2.綜上，函數(shù)yf(x)的值域為1，2，故選D.3具有性質ff(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)：f(x)x；f(x)x；f(x)其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是()A BC D解析：選A.對于，fxf(x)，滿足題意；對于，fxf(x)，不滿足題意；對于，f即f故ff(x)，滿足題意綜上可知，滿足“倒負”變換的函數(shù)是.故選A.4已知函數(shù)f(x)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知yln x(x1)的值域為0，)，故要使f(x)的值域為R，則必有y(12a)x3a為增函數(shù)，且12a3a0，所以12a0，且a1，解得1a.答案：16