專題一集合與常用邏輯用語命題觀察·高考定位(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁)1(2017·江蘇高考)已知集合A1,2，Ba，a23若AB1，則實(shí)數(shù)a的值為_1AB1，A1,2，1B且2B.若a1，則a234，符合題意又a2331，故a1.2(2016·江蘇高考)已知集合A1,2,3,6，Bx|2<x<3，則AB_.1,2在集合A中滿足集合B中條件的元素有1,2兩個(gè)，故AB1,23(2015·江蘇高考)已知集合A，B，則集合AB中元素的個(gè)數(shù)為_5A1,2,3，B2,4,5，AB1,2,3,4,5，AB中元素個(gè)數(shù)為5.4(2014·江蘇高考)已知集合A2，1,3,4，B1,2,3，則AB_.1,3AB2，1,3,41,2,31,35(2016·江蘇高考)記U1,2，100，對(duì)數(shù)列an(nN*)和U的子集T，若T，定義ST0；若Tt1，t2，tk，定義STat1at2atk.例如：T1,3,66時(shí)，STa1a3a66.現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T2,4時(shí)，ST30.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意正整數(shù)k(1k100)，若T1,2，k，求證：ST<ak1; 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394000】(3)設(shè)CU，DU，SCSD，求證：SCSCD2SD.解(1)由已知得ana1·3n1，nN*.于是當(dāng)T2,4時(shí)，STa2a43a127a130a1.又ST30，故30a130，即a11.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nN*.(2)證明：因?yàn)門1,2，k，an3n1>0，nN*，所以STa1a2ak133k1(3k1)<3k.因此，ST<ak1.(3)證明：下面分三種情況證明若D是C的子集，則SCSCDSCSDSDSD2SD.若C是D的子集，則SCSCDSCSC2SC2SD.若D不是C的子集，且C不是D的子集令EC（UD），F(xiàn)D（UC），則E，F(xiàn)，EF.于是SCSESCD，SDSFSCD，進(jìn)而由SCSD得SESF.設(shè)k為E中的最大數(shù)，l為F中的最大數(shù)，則k1，l1，kl.由(2)知，SE<ak1.于是3l1alSFSE<ak13k，所以l1<k，即lk.又kl，故lk1.從而SFa1a2al133l1，故SE2SF1，所以SCSCD2(SDSCD)1，即SCSCD2SD1.綜合得，SCSCD2SD.命題規(guī)律(1)江蘇新高考對(duì)集合知識(shí)的考查要求較低，均是以填空題的形式進(jìn)行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學(xué)生基本概念及基本運(yùn)算能力集合的基本運(yùn)算一般不與其它章節(jié)知識(shí)結(jié)合考查，常單獨(dú)設(shè)置題目，但有時(shí)也會(huì)以集合知識(shí)為載體，與不等式、平面解析幾何、數(shù)列知識(shí)結(jié)合考查例如2016江蘇高考第20題就是與數(shù)列知識(shí)綜合考查，題意新，理解難，涉及構(gòu)造思想，是個(gè)難題(2)常用邏輯用語近四年均沒有單獨(dú)考查，多為以其他知識(shí)為載體考查思想方法如在立體幾何證明過程中考查充要關(guān)系主干整合·歸納拓展(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁)第1步 核心知識(shí)再整合1.集合運(yùn)算中的常用結(jié)論交換律：ABBA，ABBA；結(jié)合律：A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C；分配律：A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC)；吸收律： A(AB)A，A(AB)A.2四種命題的關(guān)系互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的原命題為真，它的逆命題不一定為真原命題為真，它的否命題不一定為真原命題為真，它的逆否命題一定為真3充分條件、必要條件p是q的充分條件，即pq，相當(dāng)于分別滿足條件p和q的兩個(gè)集合P與Q之間有包含關(guān)系：PQ，即PQ或PQ，必要條件正好相反而充要條件pq就相當(dāng)于PQ.以下說法表達(dá)的意義是相同的：命題“若p，則q”為真；pq；p是q的充分條件；q是p的必要條件4含有一個(gè)量詞的命題的否定一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定有如下結(jié)論：全稱命題p：xM，p(x)，它的否定是p：x0M，p(x0)全稱命題的否定是特稱命題一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定有如下結(jié)論：特稱命題p：x0M，p(x0)，它的否定是p：xM，p(x)特稱命題的否定是全稱命題第2步 高頻考點(diǎn)細(xì)突破集合的運(yùn)算【例1】(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)已知集合U1,2,3,4,5,6,7，Mx|x26x50，xZ，則UM_.解析集合U1,2,3,4,5,6,7，Mx|x26x50，xZx|1x5，xZ1,2,3,4,5，則UM6,7故答案為：6,7答案6,7規(guī)律方法求交集、并集、補(bǔ)集，要充分發(fā)揮數(shù)軸或Venn圖的作用； 含參數(shù)的問題，要有討論的意識(shí)，分類討論時(shí)要防止在空集上出問題；集合的化簡(jiǎn)是實(shí)施運(yùn)算的前提，等價(jià)轉(zhuǎn)化經(jīng)常是順利解題的關(guān)鍵舉一反三1已知全集為R, 集合M，Nx|(ln 2)1x1，則集合M(RN)_.1,2)Mx|1x2，Nx|(ln 2)1x1x|x1，RNx|x1，M(RN)x|1x22(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)設(shè)集合A1,3，Ba2,5，AB3，則AB_.1,3,5集合A1,3，Ba2,5，AB3，可得a23，解得a1，即B3,5，則AB1,3,5故答案為：1,3,5四種命題的關(guān)系【例2】下列結(jié)論錯(cuò)誤的是_命題“若x23x40，則x4”的逆否命題是“若x4，則x23x40”；命題“若m0，則方程x2xm0有實(shí)根” 的逆命題為真命題；“x4”是“x23x40”的充分條件；命題“若m2n20，則m0且n0”的否命題是“若m2n20，則m0或n0”. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394001】解析對(duì)于選項(xiàng)，由逆否命題的定義知，命題“若x23x40，則x4”的逆否命題是“若x4，則x23x40”，即選項(xiàng)為正確的；對(duì)于選項(xiàng)，命題“若m0，則方程x2xm0有實(shí)根”的逆命題為“若方程x2xm0有實(shí)根，則m0”，顯然方程x2xm0有實(shí)根等價(jià)于判別式14m0即m，并不是m0，所以其逆命題為假命題，所以選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)，若“x4”，則滿足“x23x40”，即表明“x4”是“x23x40”的充分條件，所以選項(xiàng)是正確的；對(duì)于選項(xiàng)，由命題的否命題的定義知，命題“若m2n20，則m0且n0”的否命題是“若m2n20，則m0或n0”，所以選項(xiàng)為正確的綜上所述，應(yīng)選.答案規(guī)律方法四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上；由于互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)的， 所以我們?cè)谧C明一個(gè)命題的真假時(shí)，可以通過其逆否命題的證明來達(dá)到目的適合這種處理方法的題型有：原命題含有否定詞“不”“不能”“不是”等；原命題含有“所有的”“任意的”“至少 ”“至多”等；原命題分類復(fù)雜，而逆否命題分類簡(jiǎn)單；原命題化簡(jiǎn)復(fù)雜，而逆否命題化簡(jiǎn)簡(jiǎn)單舉一反三(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知命題p：xR，x22xa0是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(，1由題設(shè)方程x22xa0有解，故44a0，即a1，故應(yīng)填答案(，1充分條件與必要條件【例3】 (泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q0” 是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1a2n0”的_條件. (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)解析因?yàn)閍2n1a2na2n1(1q)a1q2n2(1q)，故當(dāng)q0時(shí)，a2n1a2n未必小于0，所以“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1a2n0”的非充分條件；當(dāng)a2n1a2n0，則a1q2n2(1q)0，即q10，故“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1a2n0”的必要條件故應(yīng)填答案“必要不充分”答案必要不充分規(guī)律方法充分條件、必要條件常用判斷法：(1)定義法：判斷B是A的什么條件，實(shí)際上就是判斷BA或AB是否成立，只要把題目中所給條件按照邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義即可判斷若pq，則p是q的充分條件若qp，則p是q的必要條件. 若pq，qp，則p是q的充分不必要條件若pq，且qp，則p是q的必要不充分條件若pq，則p是q的充要條件若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件(2)轉(zhuǎn)換法：當(dāng)所給命題的充要條件不易判斷時(shí)，可對(duì)命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，例如改用其逆否命題進(jìn)行判斷(3)集合法：在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時(shí)，有時(shí)可以從集合的角度來考慮，記條件p、q所對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則：若AB，則p是q的充分條件若AB，則p是q的充分不必要條件若AB，則p是q的必要條件若BA，則p是q的必要不充分條件若AB, 則p是q的充要條件若AB，且AB則p是q的既不充分也不必要條件舉一反三(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)“x1”是“l(fā)og(x2)0”的一個(gè)_條件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)填寫)充分不必要由“l(fā)og(x2)0”，解得x1，故“x1”是“x1”的充分不必要條件全稱命題與特稱命題【例4】(泰州中學(xué)20162017年度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè))命題“x，sin x1”的否定是_命題(填“真”或“假”)解析命題“x，sin x1”為真命題，所以其否定是假命題答案假規(guī)律方法否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論舉一反三1(江蘇省蘇州市2017屆高三上學(xué)期期中)若命題p：xR，使x2ax10，則p：_.xR，使x2ax10因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題p：xR，使x2ax10，則p：xR，使x2ax10.2命題“nN*，f (n)N*且f (n)n”的否定形式是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394002】n0N*，f (n0)N*或f (n0)n0根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知否定形式是n0N*，f (n0)N*或f (n0)n0.第3步 高考易錯(cuò)明辨析1混淆集合中元素的屬性設(shè)集合My|yx21，xR，Ny|yx1，xR，則MN_.錯(cuò)解由解得或MN(0,1)，(1,2)錯(cuò)解分析錯(cuò)解中錯(cuò)在沒有看清集合中的代表元素，錯(cuò)把集合M、N看成點(diǎn)集，實(shí)際上集合M、N是數(shù)集正解依題意，My|y1，Ny|yR，MNy|y12忽視空集已知集合Ax|x25x60，Bx|mx10，且ABB，求實(shí)數(shù)m所構(gòu)成的集合M，并寫出M的所有子集錯(cuò)解由ABB，得BA，依題意A2,3，B，2或3，即m或，故M，M的所有子集為，.錯(cuò)解分析由mx10，得x，忽視了m0，即B的情形正解由題意，A2,3，要ABB，則BA，B或B2或B3當(dāng)B時(shí)，方程mx10無解，m0.當(dāng)B2時(shí)，即2為方程mx10的解，m.當(dāng)B3時(shí)，即3為方程mx10的解，m.故M，M的所有子集為，0，.專家預(yù)測(cè)·鞏固提升(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第3頁)1(改編題)若aR，則a0是a(a1)0的_條件充分不必要由a0可推出a(a1)0，當(dāng)a(a1)0時(shí)，可得a0或a1，所以a0是a(a1)0的充分不必要條件2(原創(chuàng)題)已知集合Ax|x23x40，By|ylog2 017x(x1)，則(RA)B_.(0,1)因?yàn)锳x|x23x40x|x4或x1，所以RA(4,1)，又因?yàn)锽y|y0，所以(RA)B(0,1)3(新穎題)對(duì)于函數(shù)f (x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f (x)f (x)，則稱f (x)為“局部奇函數(shù)”p：f (x)m2x為定義在1,2)上的“局部奇函數(shù)”；q：曲線g(x)x2(5m1)x1與x軸交于不同的兩點(diǎn)；若“pq”為假命題，“pq”為真命題，求m的取值范圍解若p為真，則由于f (x)m2x為定義在1,2)上的“局部奇函數(shù)”，從而有f (x)f (x)0，即2x2x2m0，因?yàn)閒 (x)的定義域?yàn)?,2)，所以方程2x2x2m0在1,1上有解.2分令t2x，則2mt，又g(t)t在上遞減，在1,2上遞增，從而g(t)，得2m，故有m1，6分若q為真，則有(5m1)240，得m或m，8分又由“pq”為假命題，“pq”為真命題，則p與q一真一假，若p真q假，則得無交集，10分若p假q真，則得m或1m或m，綜上知m的取值范圍為.12分4(新穎題)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394003】(p)(q)命題p是“甲降落在指定范圍”，則p是“甲沒降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則q是“乙沒降落在指定范圍”，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括“甲降落在指定范圍 ，乙沒降落在指定范圍”或“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”或“甲沒降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”三種情況所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(p)(q)8