13.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(一)學習目標1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值知識點函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)如圖為函數(shù)yf(x)，xa，b的圖象思考1觀察區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值答案極大值為f(x1)，f(x3)，極小值為f(x2)，f(x4)思考2結合圖象判斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)梳理(1)函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值1函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值()2函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點處取得(×)3有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值(×)類型一求函數(shù)的最值例1求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.當x變化時，f(x)及f(x)的變化情況如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60極大值極小值極大值5當x3時，f(x)取最小值60；當x1或x1時，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f(x)在1,1上為增函數(shù)故當x1時，f(x)min12；當x1時，f(x)max2.即f(x)的最小值為12，最大值為2.反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(1)對函數(shù)進行準確求導，并檢驗f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點函數(shù)值(3)比較極值與端點函數(shù)值的大小，確定最值跟蹤訓練1求下列函數(shù)的最值(1)f(x)；(2)f(x)xsin x，x0,2考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)，當f(x)0時，x2，當f(x)>0時，x<2，當f(x)<0時，x>2.所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，所以f(x)無最小值，且當x2時，f(x)maxf(2).(2)f(x)cos x，x0,2，令f(x)0，得x或x.因為f(0)0，f(2)，f ，f ，所以當x0時，f(x)有最小值f(0)0，當x2時，f(x)有最大值f(2).例2已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值解因為f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因為x0,1，1exe，所以：(1)若a，則2a1，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，g(x)ming(0)1b.(2)若<a<，則1<2a<e，于是當0<x<ln(2a)時，g(x)ex2a<0，當ln(2a)<x<1時，g(x)ex2a>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間ln(2a)，1上單調(diào)遞增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，則2ae，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)e2ab.綜上所述，當a時，g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為1b；當<a<時，g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為2a2aln(2a)b；當a時，g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為e2ab.引申探究1若a1，b2，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值解因為a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因為x0,1，解得xln 2，已知當xln 2時，函數(shù)取極小值，也是最小值，故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.2當b0時，若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為0，求a的值解當b0時，因為f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因為x0,1，1exe，所以：(1)若a，則2a1，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，g(x)ming(0)1，不符合題意(2)若<a<，則1<2a<e，于是當0<x<ln(2a)時，g(x)ex2a<0，當ln(2a)<x<1時，g(x)ex2a>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間ln(2a)，1上單調(diào)遞增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a不符合題意，舍去(3)若a，則2ae，g(x)ex2a0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)e2a0，解得a.反思與感悟對參數(shù)進行討論，其實質是討論導函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況若導函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值跟蹤訓練2已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)，求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.當0，即a0時，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a.當2，即a3時，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0.當0<<2，即0<a<3時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而f(x)max綜上所述，f(x)max類型二由函數(shù)的最值求參數(shù)例3已知函數(shù)f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值為3，最小值為29，求a，b的值考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)解由題設知a0，否則f(x)b為常函數(shù)，與題設矛盾求導得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)當a>0，且當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當x0時，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.當a<0時，同理可得，當x0時，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題其中注意分類討論思想的應用跟蹤訓練3已知函數(shù)h(x)x33x29x1在區(qū)間k,2上的最大值是28，求k的取值范圍考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，當x變化時，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284當x3時，取極大值28；當x1時，取極小值4.而h(2)3<h(3)28，如果h(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，則k3.1如圖所示，函數(shù)f(x)導函數(shù)的圖象是一條直線，則()A函數(shù)f(x)沒有最大值也沒有最小值B函數(shù)f(x)有最大值，沒有最小值C函數(shù)f(x)沒有最大值，有最小值D函數(shù)f(x)有最大值，也有最小值考點導數(shù)在最值問題中的應用題點最值與極值的綜合應用答案C解析由導函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)只有一個極小值點1，即f(x)在x1處取得最小值，沒有最大值2函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值和最小值分別是()A1，1 B1，17C3，17 D9，19考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案C解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x±1.又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313,13,0所以最大值為3，最小值為17.3函數(shù)f(x)的最大值為()Ae1 Be Ce2 D.考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案A解析令f(x)0，解得xe.當x>e時，f(x)<0；當0<x<e時，f(x)>0.f(x)極大值f(e)，且函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值，所以f(x)max.4函數(shù)f(x)2x36x2m(m是常數(shù))在區(qū)間2,2上有最大值3，則在區(qū)間2,2上的最小值為_考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，由題意知，在區(qū)間2,2上，x0是f(x)的最大值點，f(x)maxf(0)m3.f(2)1624337，f(2)162435，f(x)min37.5已知函數(shù)f(x)ax3bxc在點x2處取得極值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在3,3上的最小值考點導數(shù)在最值問題中的應用題點最值與極值的綜合應用解(1)因為f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在點x2處取得極值c16，故有即化簡得解得a1，b12.(2)令f(x)0，得x12，x22.當x(，2)時，f(x)>0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當x(2,2)時，f(x)<0，故f(x)在(2,2)上為減函數(shù)；當x(2，)時，f(x)>0，故f(x)在(2，)上為增函數(shù)由此可知f(x)在x12處取得極大值，f(2)16c，f(x)在x22處取得極小值，f(2)c16.由題設條件知16c28得c12.此時f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4.因此，f(x)在3,3上的最小值為f(2)4.1求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點處的函數(shù)值即可；若函數(shù)在一個開區(qū)間內(nèi)只有一個極值，這個極值就是最值2已知最值求參數(shù)時，可先確定參數(shù)的值，用參數(shù)表示最值時，應分類討論.一、選擇題1設M，m分別是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，則f(x)()A等于0 B小于0C等于1 D不確定考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求導數(shù)答案A解析因為Mm，所以f(x)為常數(shù)函數(shù)，故f(x)0，故選A.2函數(shù)f(x)x44x(|x|<1)()A有最大值，無最小值B有最大值，也有最小值C無最大值，有最小值D既無最大值，也無最小值考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案D解析f(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)且1(1,1)，該方程無解，故函數(shù)f(x)在(1,1)上既無極值也無最值，故選D.3函數(shù)f(x)2，x(0,5的最小值為()A2 B3C. D2考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案B解析由f(x)0，得x1，且當x(0,1)時，f(x)<0，當x(1,5時，f(x)>0，當x1時，f(x)最小，最小值為f(1)3.4若函數(shù)f(x)asin xsin 3x在x處有最值，則a等于()A2 B1C. D0考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案A解析f(x)在x處有最值，x是函數(shù)f(x)的極值點又f(x)acos xcos 3x，facos cos 0，解得a2.5已知函數(shù)f(x)，g(x)均為a，b上的可導函數(shù)，在a，b上連續(xù)且f(x)<g(x)，則f(x)g(x)的最大值為()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)<g(x)，F(xiàn)(x)f(x)g(x)<0，F(xiàn)(x)在a，b上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)maxF(a)f(a)g(a)6已知函數(shù)f(x)x22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，則a等于()A B.C D.或考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案C解析由題意知a<2，令f(x)2x20，則x1.當a1時，最大值為4，不符合題意當1<a<2時，f(x)在a,2上是減函數(shù)，f(a)最大，a22a3，解得a或a(舍去)所以a.7已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m，n1,1，則f(m)f(n)的最小值是()A15 B15C10 D13考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值答案D解析f(x)3x22ax，由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f(2)0，即3×42a×20，a3，由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，當m1,1時，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的圖象開口向下，且對稱軸為直線x1，當n1,1時，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值為13.二、填空題8函數(shù)f(x)(x2,2)的最大值是_，最小值是_考點導數(shù)在最值問題中的應用題點最值與極值的綜合應用答案22解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.由f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，f(x)max2，f(x)min2.9已知函數(shù)f(x)x32ax23x(a>0)的導數(shù)f(x)的最大值為5，則在函數(shù)f(x)圖象上的點(1，f(1)處的切線方程是_考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a>0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435.又f(1)23，所求切線方程為y5(x1)即15x3y20.10函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)在區(qū)間上的值域為_考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，當0x時，f(x)0，所以f(x)在上是增函數(shù)，故f(x)的最大值為f，f(x)的最小值為f(0).11已知yf(x)是奇函數(shù)，當x(0,2)時，f(x)ln xax，當x(2,0)時，f(x)的最小值為1，則a的值為_考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案1解析由題意知，當x(0,2)時，f(x)的最大值為1.令f(x)a0，得x，當0<x<時，f(x)>0；當x>時，f(x)<0.f(x)maxf ln a11，解得a1.12已知函數(shù)f(x)ex2xa有零點，則a的取值范圍是_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值與零點問題答案(，2ln 22解析由題意知ex2xa0有根，即a2xex，令g(x)2xex，則g(x)2ex，令g(x)0，解得xln 2.而g(x)在(，ln 2)上單調(diào)遞增，在(ln 2，)上單調(diào)遞減，g(x)max2ln 2eln 22ln 22，a2ln 22.三、解答題13已知函數(shù)f(x)aln xbx2，a，bR，且曲線yf(x)在x1處與直線y相切(1)求a，b的值；(2)求f(x)在上的最大值考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值解(1)f(x)2bx.由曲線yf(x)在x1處與直線y相切，得即解得(2)由(1)，得f(x)ln xx2，定義域為(0，)f(x)x.令f(x)>0，得0<x<1，令f(x)<0，得x>1，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在上的最大值為f(1).四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x3x2xm在0,1上的最小值為，則實數(shù)m的值為_考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1±.當x(1，1)時，f(x)<0，即函數(shù)f(x)在(1，1)上是減函數(shù)，即f(x)在0,1上為減函數(shù)，故f(x)在0,1上的最小值為f(1)，所以11m，解得m2.15已知函數(shù)f(x)ln x.(1)當a<0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)解函數(shù)f(x)ln x的定義域為(0，)，f(x)，(1)a<0，f(x)>0，故函數(shù)在其定義域(0，)上單調(diào)遞增(2)當x1，e時，分如下情況討論：當a<1時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，其最小值為f(1)a<1，這與函數(shù)在1，e上的最小值是相矛盾；當a1時，函數(shù)f(x)在1，e上單調(diào)遞增，其最小值為f(1)1，同樣與最小值是相矛盾；當1<a<e時，函數(shù)f(x)在1，a)上有f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(a，e上有f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)f(x)的最小值為f(a)ln a1，由ln a1，得a.當ae時，函數(shù)f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，其最小值為f(e)2，這與最小值是相矛盾；當a>e時，顯然函數(shù)f(x)在1，e上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)1>2，仍與最小值是相矛盾；綜上所述，a的值為.17