（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用練習(xí)A組1設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1( D )A2B2CD解析由題意知S1a1，S22a11，S44a16，因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以SS1·S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1.故選D2若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則Tn等于( B )A1 B(1)C1 D(1)解析因?yàn)閍n1×2n12n1，所以an·an12n1·2n2×4n1，所以×()n1，所以也是等比數(shù)列，所以Tn×(1)，故選B3(2018·煙臺(tái)模擬)已知等差數(shù)列an中，a26，a515，若bna2n，則數(shù)列bn的前5項(xiàng)和等于( C )A30 B45 C90 D186解析設(shè)an的公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意得，解得所以an3n，所以bna2n6n，且b16，公差為6，所以S55×6×690.4等差數(shù)列an中，a1>0，公差d<0，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意自然數(shù)n，若點(diǎn)(n，Sn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線應(yīng)是( C )解析Snna1d，Snn2(a1)n，又a1>0，公差d<0，所以點(diǎn)(n，Sn)所在拋物線開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)點(diǎn)評(píng)可取特殊數(shù)列驗(yàn)證排除，如an3n.5定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2; f(x)2x；f(x)； f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為( C )A B C D分析保等比數(shù)列函數(shù)指：定義在(，0)(0，)上的函數(shù)；若an是等比數(shù)列，則f(an)仍是等比數(shù)列解析解法一：設(shè)an的公比為q.f(an)a，()2q2，f(an)是等比數(shù)列，排除B、Df(an)，f(an)是等比數(shù)列，排除A解法二：不妨令an2n.因?yàn)閒(x)x2，所以f(an)a4n.顯然f(an)是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比數(shù)列因?yàn)閒(x)，所以f(an)()n.顯然f(an)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)ln|x|，所以f(an)ln2nnln2.顯然f(an)是首項(xiàng)為ln2，公差為ln2的等差數(shù)列，故選C6(2018·邵陽一模)已知數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1 009e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，數(shù)列an的首項(xiàng)為1，且an1an·bn，則lna2 018的值為2_017.解析因?yàn)閿?shù)列bn為等比數(shù)列，且b1 009e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，數(shù)列an的首項(xiàng)為1，且an1an·bn，所以a2 018b1·b2·b3·b4··b2 017be2 017，lna2 018lne2 0172 017.7已知數(shù)列an是等比數(shù)列，其公比為2，設(shè)bnlog2an，且數(shù)列bn的前10項(xiàng)的和為25，那么的值為.解析數(shù)列an是等比數(shù)列，其公比為2，設(shè)bnlog2an，且數(shù)列bn的前10項(xiàng)的和為25，所以b1b2b10log2(a1·a2··a10)log2(a2129)25，所以a×245225，可得：a1.那么4(1)4×.8已知等比數(shù)列an的公比q>1,4是a1和a4的一個(gè)等比中項(xiàng)，a2和a3的等差中項(xiàng)為6，若數(shù)列bn滿足bnlog2an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)因?yàn)?是a1和a4的一個(gè)等比中項(xiàng)，所以a1·a4(4)232.由題意可得因?yàn)閝>1，所以a3>a2.解得所以q2.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.(2)由于bnlog2an(nN*)，所以anbnn·2n，Sn1·22·223·23(n1)·2n1n·2n，2Sn1·222·23(n1)·2nn·2n1.得，Sn1·222232nn·2n1n·2n1.所以Sn22n1n·2n12(n1)·2n1.9(文)(2018·天津卷，18)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(nN*)已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值解析(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由b11，b3b22，可得q2q20.因?yàn)閝>0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann，所以Sn.(2)由(1)，知T1T2Tn(21222n)n2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以n的值為4.(理)(2018·天津卷，18)設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是等差數(shù)列. 已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn(nN*)，求Tn；證明解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a11，a3a22，可得q2q20.因?yàn)閝>0，可得q2，故an2n1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16，從而b11，d1，故bnn.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn.(2)由(1)，有Sn2n1，故Tn(2k1)knn2n1n2.因?yàn)?，B組1設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a3，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn( C )A BC D解析本題主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及裂項(xiàng)法求和設(shè)an的公差為d，因?yàn)镾1a1，S22a1d2a1a1，S43a3a1a1，因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(a1)2(a1)a1，整理得4a12a150，所以a1或a1.當(dāng)a1時(shí)，公差d0不符合題意，舍去；當(dāng)a1時(shí)，公差d1，所以an(n1)×(1)n(2n1)，所以()，所以其前n項(xiàng)和Tn(1)(1)，故選C2(文)以Sn表示等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S5>S6，則下列不等關(guān)系不一定成立的是( D )A2a3>3a4 B5a5>a16a6Ca5a4a3<0 Da3a6a12<2a7解析依題意得a6S6S5<0,2a33a42(a12d)3(a13d)(a15d)a6>0,2a3>3a4；5a5(a16a6)5(a14d)a16(a15d)2(a15d)2a6>0,5a5>a16a6；a5a4a3(a3a6)a3a6<0.綜上所述，故選D(理)已知an，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，關(guān)于an及Sn的敘述正確的是( C )Aan與Sn都有最大值 Ban與Sn都沒有最大值Can與Sn都有最小值 Dan與Sn都沒有最小值解析畫出an的圖象，點(diǎn)(n，an)為函數(shù)y圖象上的一群孤立點(diǎn)，(，0)為對(duì)稱中心，S5最小，a5最小，a6最大3已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an，前20項(xiàng)和為100，則a7·a14的最大值是( A )A25 B50 C100 D不存在解析S20×20100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an>0，a7·a14()225.當(dāng)且僅當(dāng)a7a14時(shí)取等號(hào)4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn( B )A2n1 B()n1C()n1 D解析由Sn2an1得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，a11，S12a2，a2a1，S2，Sn()n1.5(2018·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)調(diào)研)在數(shù)列an中，a12，an1anln(1)，則an( A )A2lnn B2(n1)lnnC2nlnn D1nlnn解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnnln(n1)ln(n1)ln(n2)ln2ln122lnn.6(2018·西安一模)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式anlog2(nN*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<4成立的最小自然數(shù)n的值為16.解析因?yàn)閍nlog2，所以Snlog2log2log2log2log2(····)log2，若Sn<4，則<，即n>15，則使Sn<4成立的最小自然數(shù)n的值為16.7如圖所示，將正整數(shù)排成三角形數(shù)陣，每排的數(shù)稱為一個(gè)群，從上到下順次為第一群，第二群，第n群，第n群恰好n個(gè)數(shù)，則第n群中n個(gè)數(shù)的和是3·2n2n3.解析由圖規(guī)律知，第n行第1個(gè)數(shù)為2n1，第2個(gè)數(shù)為3·2n2，第3個(gè)數(shù)為5·2n3設(shè)這n個(gè)數(shù)的和為S則S2n13·2n25×2n3(2n3)·2(2n1)·202Sn2n3·2n15·2n2(2n3)·22(2n1)·21得Sn2n2·2n12·2n22·222·2(2n1)2n2n2n12322(2n1)2n(2n1)2n2n142n13·2n2n3.8已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由分析(1)利用an1Sn1Sn用配湊法可獲證；(2)假設(shè)存在，則a1，a2，a3應(yīng)成等差數(shù)列求出的值，然后依據(jù)an2an推證an為等差數(shù)列解析(1)由題設(shè)：anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21. 由(1)知，a31，令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列9已知數(shù)列an滿足an1，a1.(1)求證是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)Tnanan1a2n1.若Tnpn對(duì)任意的nN*恒成立，求p的最大值解析(1)證明：an1，an111，由于an10，1，是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)題結(jié)論知：2(n1)n1，an1(nN*)(3)Tnanan1a2n1Pn，nanan1a2n1P，即(1an)(1an1)(1an2)(1a2n1)p，對(duì)任意nN*恒成立，而1an，設(shè)H(n)(1an)(1an1)(1a2n1)，H(n)，H(n1)，H(n1)H(n)>0，數(shù)列H(n)單調(diào)遞增，nN*時(shí)，H(n)H(1)，故P.P的最大值為.