2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用檢測(cè) 　1．(2014·新課標(biāo)卷Ⅱ) 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線(xiàn)MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線(xiàn)MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. (1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M(c，)， 因?yàn)椋?，所?b2＝3ac， 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線(xiàn)MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2) 是線(xiàn)段MF1的中點(diǎn)， 故＝4，即b2＝4a，① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1. 將①及c＝代入②得＋＝1， 解得a＝7，b2＝4a＝28， 故a＝7，b＝2. 2．(2016·北京卷)已知橢圓C：＋＝1過(guò)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程及離心率； (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值． (1)由題意得a＝2，b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 又c＝＝，所以離心率e＝＝. (2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x＋4y＝4. 又A(2,0)，B(0,1)， 所以直線(xiàn)PA的方程為y＝(x－2)． 令x＝0，得yM＝－，從而|BM|＝1－yM＝1＋. 直線(xiàn)PB的方程為y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝－， 從而|AN|＝2－xN＝2＋. 所以四邊形ABNM的面積 S＝|AN|·|BM| ＝ ＝ ＝＝2. 從而四邊形ABNM的面積為定值． 3．(2017·湖南省六校聯(lián)考)在圓x2＋y2＝1上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，作PQ⊥x軸于Q，M滿(mǎn)足＝2，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M 的軌跡為曲線(xiàn)C. (1)求曲線(xiàn)C的方程； (2)曲線(xiàn)C與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，直線(xiàn)y＝kx(k>0)與曲線(xiàn)C交于E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AEBF面積最大時(shí)，求k的值． (1)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)， 則 得 而P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， 即x＋y＝1，故x2＋＝1，此即曲線(xiàn)C的方程． (2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)， 則直線(xiàn)AB的方程為2x＋y－2＝0. 設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2， 將y＝kx代入橢圓的方程x2＋＝1， 整理得(k2＋4)x2＝4，故x2＝－x1＝，① 又點(diǎn)E，F(xiàn)到直線(xiàn)AB的距離分別為 h1＝＝， h2＝＝， |AB|＝＝， 所以四邊形AEBF的面積為 S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝ ＝2＝2＝2 ≤2. 當(dāng)k2＝4(k>0)，即當(dāng)k＝2時(shí)，上式取等號(hào)， 所以當(dāng)四邊形AEBF面積最大時(shí)，k＝2. 4．(2017·浙江卷)如圖，已知拋物線(xiàn)x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A(－，)，B(，)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(x，y)(－<x<)．過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足為Q. (1)求直線(xiàn)AP斜率的取值范圍； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． (1)設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，k＝＝x－， 因?yàn)椋?lt;x<，所以－1<x－<1， 所以直線(xiàn)AP斜率的取值范圍是(－1,1)． (2)聯(lián)立直線(xiàn)AP與BQ的方程 解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ＝. 因?yàn)閨PA|＝(x＋)＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因?yàn)閒′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在區(qū)間(－1，)上單調(diào)遞增，(，1)上單調(diào)遞減， 因此當(dāng)k＝時(shí)，|PA|·|PQ|取得最大值.