2022年高考數(shù)學(xué)精英備考專(zhuān)題講座 第五講立體幾何 第一節(jié)空間幾何體 文 三視圖和幾何體的結(jié)構(gòu)特征是新課標(biāo)高考的必考點(diǎn)，.幾何體的表面積和體積也是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，幾乎年年出現(xiàn)，大多以小題出現(xiàn)，難度不大，大題中也有以三視圖為背景條件的求面積.體積及位置關(guān)系問(wèn)題，總體難度一般控制在0.4~0.7之間.. 考試要求 （1）認(rèn)識(shí)柱.錐.臺(tái).球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；（2）能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體，球，圓柱，圓錐，棱柱等簡(jiǎn)單組合體）的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖；（3）會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；（4）會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸.線條等不作嚴(yán)格要求）（5）了解球.棱柱.棱錐.臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）； 俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖 2 3 2 2 圖5-1-1 題型一 三視圖 例1（1）右圖5-1-1，是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 點(diǎn)撥 識(shí)別上述三視圖表示的立體圖形 解 從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱體組合而成的簡(jiǎn)單幾何體，其表面積為： ，故選D. 易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)原幾何體的下部分（圓柱體）的分析出錯(cuò)，誤以為是長(zhǎng)方體. （2）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖5-1-2所示，分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖5-1-3，則該幾何體按所示方向的側(cè)視圖（或稱(chēng)左視圖）為（ ） 點(diǎn)撥: 底面和HGDE垂直，分析點(diǎn)B的位置 解：在左視圖中，E，D兩點(diǎn)重合，B，C兩點(diǎn)重合，且平面ADE與平面FDE夾角為直角，故選（A）. 易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)于左視圖中點(diǎn)B的位置分析不正確. 變式與引申 1.（1）一個(gè)體積為的正三棱柱的三視圖如圖5-1-4所示， 則這個(gè)三棱柱的左視圖的面積為 （ ） A． B．8 C． D．12 （2）用若干個(gè)體積為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，其正視圖.側(cè)視圖都是 如圖5-1-5所示的圖形，則這個(gè)幾何體的最大體積與最小體積的差是（ ）. A．6 B．7 C．8 D．9 題型二 與球有關(guān)組合體 pr Ar Br Cr or 圖5-1-6 例2 如圖5-1-6正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切. 求棱錐的表面積和球的半徑. 點(diǎn)撥 解決這類(lèi)題的關(guān)鍵是根據(jù)空間想象能力和組合體的特點(diǎn)畫(huà)出截面圖. 解：如圖5-1-7過(guò)PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE， Ar Er or Fr Dr 圖5-1-7 pr 因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，作為正三棱錐的高PD通過(guò)球心，且D是三角形△ABC的重心，據(jù)此根據(jù)底面邊長(zhǎng)為，即可算出 由△POF～△PED，知 ∴ ∴ 易錯(cuò)點(diǎn)，立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.，截面圖準(zhǔn)確畫(huà)出是最關(guān)鍵，也是容易出錯(cuò)的地方. 變式與引申 2．如圖5-1-8棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上， 若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的 截面）的面積. 題型三：旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題 例3 一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，其中有一個(gè)高為cm的內(nèi)接圓柱： （1）求圓錐的側(cè)面積； （2）當(dāng)為何值時(shí)，圓柱側(cè)面積最大？并求出最大值. r xr 圖5-1-9 點(diǎn)撥：充分利用軸截面，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，然后注意平 面幾何的性質(zhì). 例如相似圖形對(duì)應(yīng)邊成比例.直角三角形的勾股定理等. 解： （1）母線長(zhǎng) ∴側(cè)面積 （2）如圖5-1-9所示，在軸截面圖中設(shè)圓柱底面半徑為，則 ∴ ∴ （0＜＜6） ≤ 這時(shí)即 故當(dāng)時(shí)，圓柱側(cè)面積最大，最大值為 易錯(cuò)點(diǎn)： ①不能建立圓柱的側(cè)面積與的函數(shù)關(guān)系式； ②忽視的取值范圍； 變式與引申 3. 如圖5-1-10，△ABC的三邊之長(zhǎng)分別是AC=3，BC=3，AB=5. 現(xiàn)以AB所在的直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周如圖5-1-11，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積. 題型四 ：割補(bǔ)應(yīng)用 B A C D E F 圖5-1-12 例4如圖5-1-12，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△AED.△BCF均為正三角形，EF∥AB， EF=2，求該多面體的體積. 點(diǎn)撥：這是一個(gè)五面體，由于EF與AB不等，這個(gè)幾何體不是很規(guī)則，如果我們過(guò)AD作EF直截面ADM，過(guò)BC作EF直截面GBC，則面ADM∥面GBC.這個(gè)五面體就分割成直三棱柱ADM-BCG和兩個(gè)三棱錐：E-ADM，F(xiàn)-BCG. 解：如圖5-1-13，過(guò)BC作EF的直截面BCG，過(guò)AD作EF的直截面ADM 則面BCG∥面ADM，ADM—BCG為直三棱柱. F—BCG與E—ADM是體積相等的兩個(gè)三棱錐， 取BC中點(diǎn)為O，由于BCF為正三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 易錯(cuò)點(diǎn)；“補(bǔ)”，“割”在解立幾問(wèn)題中是比較重要的思想方法，將不規(guī)則幾何體怎樣“補(bǔ)”，“割” F E A B C D 圖5-1-14 成熟悉的幾何體是關(guān)鍵，本題如何“割”是易錯(cuò)處. 變式與引申 4.如圖5-1-14已知ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體， E.F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn)，求四棱錐A1—EBFD1的體積. 本節(jié)主要考查 （1）知識(shí)點(diǎn)有識(shí)別三視圖和三視圖的還原.幾何體的結(jié)構(gòu)特征.幾何體的面積和體積.（2）技能技巧：割補(bǔ)法.等積變換等.（3）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸的應(yīng)用以及觀察能力，歸納能力，空間想象能力，運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn) 評(píng) （1）三視圖是立體幾何的重點(diǎn)，也是新課標(biāo)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)，主要考察如何識(shí)別三視圖和還原成直觀圖（如例題1）； （2）在分析三視圖還原成幾何體過(guò)程中，還原幾何體是要注意①確定三視方向②分析組合體的組成形式，特點(diǎn)③交線位置和虛實(shí)；還原數(shù)據(jù)時(shí)要注意對(duì)應(yīng)：主，俯長(zhǎng)對(duì)正；主，左高平齊；左，俯寬相等. （3）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.圓柱.圓錐.圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. （4）求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算即可.常用方法為：割補(bǔ)法和等積變換法：割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體.錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積；等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面.①求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；②利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”. 習(xí)題5－1 圖5-1-17 3. 已知某幾何體的俯視圖是如圖5-1-17所示的矩形，正視圖(或稱(chēng)主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8.高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱(chēng)左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6.高為4的等腰三角形． (1)求該兒何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S P B C A D E F 圖5-1-18 4. 如圖5-1-18所示，等腰△ABC的底邊，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B.D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB現(xiàn)沒(méi)EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=表示四棱錐P—ACFE的體積. （1）求證：面PEF⊥面ACFE； （2）求的表達(dá)式，并求當(dāng)為何值時(shí)取得最大值？ 【答案】 變式與引申： 1.（1）A 提示：設(shè)正三棱柱的底邊長(zhǎng)為，則，解得，又由，解得，所以三棱柱的左視圖的面積為，故選A （2）A 提示：由正視圖、側(cè)視圖可知，體積最小時(shí)，底層有3個(gè)小正方體，上面有2個(gè)，共5個(gè)；體積最大時(shí)，底層有9個(gè)小正方體，上面有2個(gè)，共11個(gè)，故這個(gè)幾何體的最大體積與最小體積的差是6.故選A. 2．解：如圖5-1-1，ΔABE為題中的三角形， 圖5-1-1 由已知得AB=2，BE=，BF=，∴AF=，∴ΔABE的面積為 注：解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系.與球有關(guān)的截面問(wèn)題為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫(huà)一個(gè)截面圓起襯托作用. B C A D 圖5-1-2 3. 解：如圖5-1-2所示，所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)底面重合的圓錐，高的和為AB=5， 而底面半徑為 ∴旋轉(zhuǎn)體的表面積為 體積為 習(xí)題5-1 1．B 2．32π 提示：如圖5-1-4，設(shè)球一條半徑與圓柱相應(yīng)的母線夾角為α，圓柱 側(cè)面積＝，當(dāng)時(shí)， S取最大值，此時(shí)球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為． .解：由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4，頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD ； (1) (2) 該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為， 另兩個(gè)側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為 因此