2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 解析幾何 文21B12，H1xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)x2ex.(1)求f(x)的極小值和極大值；(2)當(dāng)曲線yf(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上截距的取值范圍21解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，)f(x)exx(x2)當(dāng)x(，0)或x(2，)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，2)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(，0)，(2，)單調(diào)遞減，在(0，2)單調(diào)遞增故當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值，極小值為f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極大值，極大值為f(2)4e2.(2)設(shè)切點(diǎn)為(t，f(t)，則l的方程為yf(t)(xt)f(t)所以l在x軸上的截距為m(t)ttt23.由已知和得t(，0)(2，)令h(x)x(x0)，則當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)的取值范圍為2 ，)；當(dāng)x(，2)時(shí)，h(x)的取值范圍是(，3)所以當(dāng)t(，0)(2，)時(shí)，m(t)的取值范圍是(，0)2 3，)綜上，l在x軸上的截距的取值范圍是(，0)2 3，)5H1，H4xx·天津卷 已知過(guò)點(diǎn)P(2，2)的直線與圓(x1)2y25相切，且與直線axy10垂直，則a()A B1C2 D.5C解析 設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2，2)的圓的切線方程為y2k(x2)，由題意得，解之得k.又切線與直線axy10垂直，a2.15H1，C8，E8xx·四川卷 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是_15(2，4)解析 在以A，B，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形中，由平面幾何知識(shí)：三角形兩邊之和大于第三邊，可知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在四邊形兩條對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)上時(shí)，到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小AC所在直線方程為y2x，BD所在直線方程為yx6，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，即為所求H2兩直線的位置關(guān)系與點(diǎn)到直線的距離20H2，H4xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2 ，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2 .(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線yx的距離為，求圓P的方程20解：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)y22r2，x23r2.從而y22x23.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2x21.(2)設(shè)P(x0，y0)，由已知得.又P點(diǎn)在雙曲線y2x21上，從而得由得此時(shí)，圓P的半徑r.由得此時(shí)，圓P的半徑r.故圓P的方程為x2(y1)23或x2(y1)23.4H2、H3和H4xx·重慶卷 設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D24B解析 |PQ|的最小值為圓心到直線距離減去半徑因?yàn)閳A的圓心為(3，1)，半徑為2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.H3圓的方程14H3xx·江西卷 若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4，0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_14(x2)2解析 r24(r1)2，得r，圓心為.故圓C的方程是(x2)2.21F2、F3、H3、H5和H8xx·重慶卷 如圖15所示，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，A兩點(diǎn)，|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，P，過(guò)P，P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外求PPQ的面積S的最大值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程圖1521解：(1)由題意知點(diǎn)A(c，2)在橢圓上，則1，從而e21.由e得b28，從而a216.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)Q(x0，0)，又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)設(shè)P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)xx1時(shí)取最小值，又因?yàn)閤1(4，4)，所以上式當(dāng)x2x0時(shí)取最小值，所以x12x0，且|QP|28x.由對(duì)稱性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|×2 |x0|.當(dāng)x0±時(shí)，PPQ的面積S取到最大值2 .此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±，0)，半徑|QP|，因此，這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x)2y26，(x)2y26.4H2、H3和H4xx·重慶卷 設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D24B解析 |PQ|的最小值為圓心到直線距離減去半徑因?yàn)閳A的圓心為(3，1)，半徑為2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.H4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系6H4xx·安徽卷 直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長(zhǎng)為()A1 B2 C4 D46C解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y2)25，圓心(1，2)到直線x2y50的距離d1，所以直線x2y50被圓x2y22x4y0所截得的弦長(zhǎng)l24.7H4xx·廣東卷 垂直于直線yx1且與圓x2y21相切于第象限的直線方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy07A解析 設(shè)直線方程為yxm，且原點(diǎn)到此直線的距離是1，即1，解得m±.當(dāng)m時(shí)，直線和圓切于第象限，故舍去，選A.14H4xx·湖北卷 已知圓O：x2y25，直線l：x cosy sin1.設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，則k_144解析 圓心到直線的距離d1，r，rd>d，所以圓O上共有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，k4.10H4xx·江西卷 如圖13所示，已知l1l2，圓心在l1上、半徑為1 m的圓O在t0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動(dòng)，圓被直線l2所截上方圓弧長(zhǎng)記為x，令ycos x，則y與時(shí)間t(0t1，單位：s)的函數(shù)yf(t)的圖像大致為()圖13圖1410.B解析 如圖，設(shè)MOA，cos 1t，cos 22cos2 12t24t1，x2·12，ycos xcos 22t24t1，故選B.20H2，H4xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2 ，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2 .(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線yx的距離為，求圓P的方程20解：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)y22r2，x23r2.從而y22x23.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2x21.(2)設(shè)P(x0，y0)，由已知得.又P點(diǎn)在雙曲線y2x21上，從而得由得此時(shí)，圓P的半徑r.由得此時(shí)，圓P的半徑r.故圓P的方程為x2(y1)23或x2(y1)23.13H4xx·山東卷 過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)132 解析 設(shè)弦與圓的交點(diǎn)為A、B，最短弦長(zhǎng)以(3，1)為中點(diǎn)，由垂徑定理得(32)2(21)24，解之得|AB|2 .8H4xx·陜西卷 已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交 C相離 D不確定8B解析 由題意點(diǎn)M(a，b)在圓x2y21外，則滿足a2b2>1，圓心到直線的距離d<1，故直線axby1與圓O相交5H1，H4xx·天津卷 已知過(guò)點(diǎn)P(2，2)的直線與圓(x1)2y25相切，且與直線axy10垂直，則a()A B1C2 D.5C解析 設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2，2)的圓的切線方程為y2k(x2)，由題意得，解之得k.又切線與直線axy10垂直，a2.20H4，E8，B1xx·四川卷 已知圓C的方程為x2(y4)24，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)直線l：ykx與圓C交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)Q(m，n)是線段MN上的點(diǎn)，且.請(qǐng)將n表示為m的函數(shù)20解：(1)將ykx代入x2(y4)24，得(1k2)x28kx120.(*)由(8k)24(1k2)×12>0，得k2>3.所以，k的取值范圍是(，)()(2)因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2(1k2)x，|ON|2(1k2)x.又|OQ|2m2n2(1k2)m2，由，得，即.由(*)式可知，x1x2，x1x2，所以m2.因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線ykx上，所以k，代入m2中并化簡(jiǎn)，得5n23m236.由m2及k2>3，可知0<m2<3，即m(，0)(0，)根據(jù)題意，點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，則n>0，所以n.于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為n(m(，0)(0，)13H4xx·浙江卷 直線y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長(zhǎng)等于_134 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y4)225，圓心到直線的距離為d，所以弦長(zhǎng)為224 .4H2、H3和H4xx·重慶卷 設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D24B解析 |PQ|的最小值為圓心到直線距離減去半徑因?yàn)閳A的圓心為(3，1)，半徑為2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.H5橢圓及其幾何性質(zhì)21H5，H10xx·安徽卷 已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)P(，)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)Q(x0，y0)(x0y00)為橢圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E，取點(diǎn)A(0，2)，聯(lián)結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線QG，問(wèn)這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由21解：(1)因?yàn)榻咕酁?，所以a2b24.又因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)P(，)，所以1，故a28，b24，從而橢圓C的方程為1.(2)由題意，E點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，0)，設(shè)D(xD，0)，則(x0，2)，(xD，2)再由ADAE知，·0，即x0xD80.由于x0y00，故xD.因?yàn)辄c(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以G，0，故直線QG的斜率kQG.又因Q(x0，y0)在橢圓C上，所以x2y8.從而kQG.故直線QG的方程為yx.將代入橢圓C方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再將代入，化簡(jiǎn)得x22x0xx0，解得xx0，yy0，即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)19M2，H5，H10xx·北京卷 直線ykxm(m0)與橢圓W：y21相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形19解：(1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分 所以可設(shè)A，代入橢圓方程得1，即t±.所以|AC|2 .(2)證明：假設(shè)四邊形OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，k·m.所以AC的中點(diǎn)為M.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m0，k0，所以直線OB的斜率為.因?yàn)閗·1，所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形15H5xx·全國(guó)卷 若x，y滿足約束條件則zxy的最小值為_(kāi)150解析 已知不等式組表示區(qū)域如圖中的三角形ABC及其內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線yxz在y軸上的截距，顯然在點(diǎn)A取得最小值，點(diǎn)A(1，1)，故zmin110.8H5xx·全國(guó)卷 已知F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為()A.y21 B.1C.1 D.18C解析 設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，與直線x1聯(lián)立得y±(c1)，所以2b23a，即2(a21)3a，2a23a20，a>0，解得a2(負(fù)值舍去)，所以b23，故所求橢圓方程為1.15H5，H8xx·福建卷 橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_15.1解析 如圖，MF1F2中，MF1F260°，所以MF2F130°，F(xiàn)1MF290°.又|F1F2|2c，所以|MF1|c，|MF2|c.根據(jù)橢圓定義得2a|MF1|MF2|cc，得e1.9H5xx·廣東卷 已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.19D解析 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由題知c1，解得a2，b2a2c2413，選D.12H5xx·江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若d2d1，則橢圓C的離心率為_(kāi)12.解析 由題意知F(c，0)，l：x，不妨設(shè)B(0，b)，則直線BF：1，即bxcybc0.于是d1，d2c.由d2d1，得6，化簡(jiǎn)得6c4a2c2a40，即6e4e210，解得e2或e2(舍去)，故e，故橢圓C的離心率為.20H5，H8xx·江西卷 橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖18所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值圖1820解：(1)因?yàn)閑，所以ac，bc，代入ab3得，c，a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)方法一：因?yàn)锽(2，0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為yk(x2)，代入y21，解得P.直線AD的方程為yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0，1)，P，N(x，0)三點(diǎn)共線知，解得N.所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)方法二：設(shè)P(x0，y0)(x00，±2)，則k.直線AD的方程為：y(x2)，直線BP的方程為：y(x2)，直線DP的方程為：y1x，令y0，由于y01可得N，聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m.所以2mk(定值)11H5xx·遼寧卷 已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，則C的離心率為()A. B.C. D.11B解析 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Q，由已知|BF|8，利用橢圓的對(duì)稱性可以得到|AQ|8，F(xiàn)AQ為直角三角形，然后利用橢圓的定義可以得到2a14，2c10，所以e.5H5xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()A. B. C. D.5D解析 設(shè)PF2x, 則PF12x，由橢圓定義得3x2a，結(jié)合圖形知，故選D.22H5，H8xx·山東卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)A，B為橢圓C上滿足AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)t，求實(shí)數(shù)t的值22解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，故題意知解得a，b1，因此橢圓C的方程為y21.(2)(i)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為xm，由題意m0或0m.將xm代入橢圓方程y21，得|y|.所以SAOB|m|.解得m2或m2.又tt()t(2m，0)(mt，0)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以1.由得 t24或t2，又因?yàn)閠>0，所以t2或t.(ii)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxh.將其代入橢圓的方程y21，得(12k2)x24khx2h220，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由判別式>0可得12k2>h2，此時(shí)x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|2 .因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d，所以SAOB|AB|d×2 |h|.又SAOB，所以 |h|.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或nh2，即12k24h2或12k2h2.又tt()t(x1x2，y1y2)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以t21，即t21.將代入得t24或t2，又知t>0，故t2或t，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意綜合(i)(ii)得t2或t.20H5，H8xx·陜西卷 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x4的距離是它到點(diǎn)N(1，0)的距離的2倍(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(0，3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率20解： (1)設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d2|MN|.由此得|4x|2.化簡(jiǎn)得1，所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為1.(2)方法一：由題意，設(shè)直線m的方程為ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)將ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)24×24(34k2)96(2k23)>0.由求根公式得，x1x2，x1x2.又因A是PB的中點(diǎn)，故x22x1.將代入，得x1，x，可得，且k2>，解得k或k，所以，直線m的斜率為或.方法二：由題意，設(shè)直線m的方程為ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中點(diǎn)，x1，y1.又1，1，聯(lián)立，解得或即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)或(2，0)，所以，直線m的斜率為或.9H5xx·四川卷 從橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.9C解析 由已知，P點(diǎn)坐標(biāo)為，A(a，0)，B(0，b)，于是由kABkOP得，整理得bc，從而ac.于是，離心率e.18H5，H8xx·天津卷 設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)若··8，求k的值18解：(1)設(shè)F(c，0)，由，知ac.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為xc，代入橢圓方程有1，解得y±.于是，解得b.又a2c2b2，從而a，c1，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直線CD的方程為yk(x1)由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2.因?yàn)锳(，0)，B(，0)，所以··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k±.21H5、H9、H10xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.21解：由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2，0)時(shí)，R2.所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|2 .若l的傾斜角不為90°，由r1R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可求得Q(4，0)，所以可設(shè)l：yk(x4)由l與圓M相切得1，解得k±.當(dāng)k時(shí)，將yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1，2，所以|AB|x2x1|.當(dāng)k時(shí)，由圖形的對(duì)稱性得|AB|.綜上，|AB|2 或|AB|.9H5，H6xx·浙江卷 如圖14所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()圖14A. B. C. D.9D解析 設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a，焦半距為c，|AF1|m，|AF2|n，由題意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2 ，a，則雙曲線的離心率e，選擇D.21F2、F3、H3、H5和H8xx·重慶卷 如圖15所示，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，A兩點(diǎn)，|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，P，過(guò)P，P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外求PPQ的面積S的最大值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程圖1521解：(1)由題意知點(diǎn)A(c，2)在橢圓上，則1，從而e21.由e得b28，從而a216.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)Q(x0，0)，又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)設(shè)P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)xx1時(shí)取最小值，又因?yàn)閤1(4，4)，所以上式當(dāng)x2x0時(shí)取最小值，所以x12x0，且|QP|28x.由對(duì)稱性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|×2 |x0|.當(dāng)x0±時(shí)，PPQ的面積S取到最大值2 .此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±，0)，半徑|QP|，因此，這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x)2y26，(x)2y26.H6雙曲線及其幾何性質(zhì)22H6、H8、D3xx·全國(guó)卷 已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列22解：(1)由題設(shè)知3，即9，故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式，并求得x±.由題設(shè)知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3)，|k|<2，代入并化簡(jiǎn)得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，從而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|·|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|·|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列4H6xx·福建卷 雙曲線x2y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于()A. B.C1 D.4B解析 取一頂點(diǎn)(1，0)，一條漸近線xy0，d，故選B.2H6xx·湖北卷 已知0，則雙曲線C1：1與C2：1的()A實(shí)軸長(zhǎng)相等 B虛軸長(zhǎng)相等 C離心率相等 D焦距相等2D解析 c1c21，故焦距相等14H6xx·湖南卷 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1PF2，且PF1F230°，則C的離心率為_(kāi)14.1解析 如圖，因PF1PF2，且PF1F230°，故|PF2|F1F2|c，則|PF1|c，又由雙曲線定義可得|PF1|PF2|2a，即cc2a，故1.3H6xx·江蘇卷 雙曲線1的兩條漸近線的方程為_(kāi)3y±x解析 令0，得漸近線方程為y±x.11H6，H7xx·山東卷 拋物線C1：yx2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：y21的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A. B. C. D.11D解析 拋物線C1：yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線y21的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，連線的方程為y(x2)，聯(lián)立得2x2p2x2p20.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a ，則在點(diǎn)M處切線的斜率為y|xa.又雙曲線y21的漸近線方程為±y0，其與切線平行，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)11H6xx·陜西卷 雙曲線1的離心率為_(kāi)11.解析 由雙曲線方程中a216, b29，則c2a2b225，則e.11H6，H7xx·天津卷 已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)11x21解析 由拋物線的準(zhǔn)線方程為x2，得a2b24，又雙曲線的離心率為2，得2，得a1，b23，雙曲線的方程為x21.7A2，H6xx·北京卷 雙曲線x21的離心率大于的充分必要條件是()Am> Bm1Cm>1 Dm>27C解析 雙曲線的離心率e>，解得m>1.故選C.4H6xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x4C解析 ，所以，故所求的雙曲線漸近線方程是y±x.9H5，H6xx·浙江卷 如圖14所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()圖14A. B. C. D.9D解析 設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a，焦半距為c，|AF1|m，|AF2|n，由題意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2 ，a，則雙曲線的離心率e，選擇D.10E1、H6和H8xx·重慶卷 設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.10A解析 設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的斜率必須滿足<，所以<3，<14，即有 <2.又雙曲線的離心率為e，所以 <e2.H7拋物線及其幾何性質(zhì)9H7xx·北京卷 若拋物線y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則p_；準(zhǔn)線方程為_(kāi). 92x1解析 拋物線y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，1，解得p2，準(zhǔn)線方程為x1.20H7，H8xx·福建卷 如圖15，拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|·|AN|，求圓C的半徑圖1520解：(1)拋物線y24x的準(zhǔn)線l的方程為x1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)，所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d2，又|CO|，所以|MN|2 2 2.(2)設(shè)C，則圓C的方程為(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10.設(shè)M(1，y1)，N(1，y2)，則由|AF|2|AM|·|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0±，此時(shí)>0.所以圓心C的坐標(biāo)為或，從而|CO|2，|CO|，即圓C的半徑為.20H7，H8，H10xx·廣東卷 已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c>0)到直線l：xy20的距離為，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值20解：21B12xx·廣東卷 設(shè)函數(shù)f(x)x3kx2x(kR)(1)當(dāng)k1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k<0時(shí)，求函數(shù)f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.21解：9H7xx·江西卷 已知點(diǎn)A(2，0)，拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|MN|()A2 B12C1 D139C解析 FA：yx1，與x24y聯(lián)立，得xM1，F(xiàn)A：yx1，與y1聯(lián)立，得N(4，1)，由三角形相似知，故選C.10H7xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF|3|BF|，則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)10C解析 拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，若A在第一象限，如圖15，設(shè)AF3m，BFm.過(guò)B作AD的垂線交AD于G，則AG2m，由于AB4m，故BG2m，tanGAB.直線AB的斜率為.同理，若A在第四象限，直線AB的斜率為，故答案為C.圖1511H6，H7xx·山東卷 拋物線C1：yx2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：y21的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A. B. C. D.11D解析 拋物線C1：yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線y21的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，連線的方程為y(x2)，聯(lián)立得2x2p2x2p20.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a ，則在點(diǎn)M處切線的斜率為y|xa).又雙曲線y21的漸近線方程為±y0，其與切線平行，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)11H6，H7xx·天津卷 已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)11x21解析 由拋物線的準(zhǔn)線方程為x2，得a2b24，又雙曲線的離心率為2，得2，得a1，b23，雙曲線的方程為x21.5H7，H8xx·四川卷 拋物線y28x的焦點(diǎn)到直線xy0的距離是()A2 B2 C. D15D解析 拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2，0)，該點(diǎn)到直線xy0的距離為d1.8H7xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24 x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4 ，則POF的面積為()A2 B2 C2 D48C解析 設(shè)P(x0，y0)，根據(jù)拋物線定義得|PF|x0，所以x03 ，代入拋物線方程得y224，解得|y|2 ，所以POF的面積等于·|OF|·|y|××2 2 .H8直線與圓錐曲線(AB課時(shí)作業(yè))22H6、H8、D3xx·全國(guó)卷 已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列22解：(1)由題設(shè)知3，即9，故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式，并求得x±.由題設(shè)知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3)，|k|<2，代入并化簡(jiǎn)得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，從而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|·|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|·|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列12F3、H8xx·全國(guó)卷 已知拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2，2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若·0，則k()A. B.C. D212D解析 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)直線l的方程為xty2，與拋物線方程聯(lián)立得y28ty160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y216，y1y28t，x1x2t(y1y2)48t24，x1x2t2y1y22t(y1y2)416t216t244.·(x12，y12)·(x22，y22)x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)4416t2841616t416t216t44(2t1)20，解得t，所以k2.20H7，H8xx·福建卷 如圖15，拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|·|AN|，求圓C的半徑圖1520解：(1)拋物線y24x的準(zhǔn)線l的方程為x1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)，所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d2，又|CO|，所以|MN|2 2 2.(2)設(shè)C，則圓C的方程為(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10.設(shè)M(1，y1)，N(1，y2)，則由|AF|2|AM|·|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0±，此時(shí)>0.所以圓心C的坐標(biāo)為或，從而|CO|2，|CO|，即圓C的半徑為.15H5，H8xx·福建卷 橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_15.1解析 如圖，MF1F2中，MF1F260°，所以MF2F130°，F(xiàn)1MF290°.又|F1F2|2c，所以|MF1|c，|MF2|c.根據(jù)橢圓定義得2a|MF1|MF2|cc，得e1.20H7，H8，H10xx·廣東卷 已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c>0)到直線l：xy20的距離為，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值20解：21B12xx·廣東卷 設(shè)函數(shù)f(x)x3kx2x(kR)(1)當(dāng)k1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k<0時(shí)，求函數(shù)f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.21解：22H8，H10xx·湖北卷 如圖15所示，已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為2m，2n(m>n)，過(guò)原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.記，BDM和ABN的面積分別為S1和S2.(1)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1S2，求的值；(2)當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2？并說(shuō)明理由圖1522解：依題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為C1：1，C2：1，其中a>m>n>0，>1.(1)方法一：如圖，若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x0.則S1|BD|·|OM|a|BD|，S2|AB|·|ON|a|AB|，所以.在C1和C2的方程中分別令x0，可得yAm，yBn，yDm，于是.若，則，化簡(jiǎn)得2210.由1，可解得1.故當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1S2，則1.方法二：如圖，若直線l與y軸重合，則|BD|OB|OD|mn，|AB|OA|OB|mn.S1|BD|·|OM|a|BD|，S2|AB|·|ON|a|AB|.所以.若，則，化簡(jiǎn)得2210，由>1，可解得1.故當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1S2，則1.(2)方法一：如圖，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l：ykx(k>0)，點(diǎn)M(a，0)，N(a，0)到直線l的距離分別為d1，d2，則因?yàn)閐1，d2，所以d1d2.又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以，即|BD|AB|.由對(duì)稱性可知|AB|CD|，所以|BC|BD|AB|(1)|AB|，|AD|BD|AB|(1)|AB|，于是，將l的方程分別與C1，C2的方程聯(lián)立，可求得xA，xB.根據(jù)對(duì)稱性可知xCxB，xDxA，于是.從而由和式可得.令t，則由m>n，可得t1，于是由可解得k2.因?yàn)閗0，所以k2>0，于是式關(guān)于k有解，當(dāng)且僅當(dāng)>0，等價(jià)于(t21)t2<0.由>1，可解得<t<1，即<<1，由>1，解得>1，所以當(dāng)1<1時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2；當(dāng)>1時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2.方法二：如圖，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2.根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l：ykx(k>0)，點(diǎn)M(a，0)，N(a，0)到直線l的距離分別為d1，d2，則因?yàn)閐1，d2，所以d1d2.又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以.因?yàn)?，所?由點(diǎn)A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分別在C1，C2上，可得1，1，兩式相減可得0，依題意xA>xB>0，所以x>x，所以由上式解得k2.因?yàn)閗2>0，所以由>0，可解得1<<.從而1<<，解得>1，所以當(dāng)1<1時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2；當(dāng)>1時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1S2.20H5，H8xx·江西卷 橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖18所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值圖1820解：(1)因?yàn)閑，所以ac，bc，代入ab3得，c，a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)方法一：因?yàn)锽(2，0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為yk(x2)，代入y21，解得P.直線AD的方程為yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0，1)，P，N(x，0)三點(diǎn)共線知，解得N.所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)方法二：設(shè)P(x0，y0)(x00，±2)，則k.直線AD的方程為：y(x2)，直線BP的方程為：y(x2)，直線DP的方程為：y1x，令y0，由于y01可得N，聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m.所以2mk(定值)圖1520H8xx·遼寧卷 如圖15，拋物線C1：x24y，C2：