2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第11章 第04節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 Word版含答案考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)線(xiàn)性回歸分析xx·全國(guó)卷·T19·12分相關(guān)系數(shù)、均值、標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)分析獨(dú)立性檢驗(yàn)xx·全國(guó)卷·T18·12分獨(dú)立性檢驗(yàn)、相互獨(dú)立事件的概率、直方圖數(shù)據(jù)分析線(xiàn)性回歸方程xx·全國(guó)卷·T18·12分利用線(xiàn)性回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題數(shù)據(jù)分析xx·全國(guó)卷·T19·12分回歸直線(xiàn)方程的求法和應(yīng)用數(shù)據(jù)分析命題分析本節(jié)是高考考查的熱點(diǎn)，主要考查回歸分析，回歸直線(xiàn)方程的求法及應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)多以解答題形式出現(xiàn).(1)最小二乘法：求回歸直線(xiàn)使得樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)到它的_距離的平方和_最小，即求Q(yi(abxi)2的最小值，而得到回歸直線(xiàn)方程的方法叫最小二乘法(2)回歸方程：兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)其回歸方程為yabx，則其中，a、b是線(xiàn)性回歸方程的_系數(shù)_3相關(guān)系數(shù)r(1)r(2)當(dāng)r0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量_正相關(guān)_；當(dāng)r0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量_負(fù)相關(guān)_；當(dāng)r0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量_不相關(guān)_r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越高；r的絕對(duì)值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越低4獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2；變量B：B1，B2，通過(guò)觀察得到下表所示的數(shù)據(jù)：BAB1B2總計(jì)A1ababA2cdcd總計(jì)acbdnabcd(2)獨(dú)立性判斷方法選取統(tǒng)計(jì)量！2#，用它的大小來(lái)檢驗(yàn)變量之間是否獨(dú)立當(dāng)2_2.706_時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的；當(dāng)2_2.706_時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)2_3.841_時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)2_6.635_時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)提醒：1辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)回歸分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線(xiàn)上，實(shí)質(zhì)上回歸直線(xiàn)必過(guò)(，)點(diǎn)，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線(xiàn)上(2)利用回歸方程分析問(wèn)題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為準(zhǔn)確值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)測(cè)值(期望值)(3)雖然任何一組不完全相同的數(shù)據(jù)都可以求出回歸直線(xiàn)方程，但只有具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)才能得到有意義的回歸直線(xiàn)方程，求出的方程才具有實(shí)際價(jià)值2求回歸方程的方法求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a，b，因求解b的公式計(jì)算量太大，一般題目中給出相關(guān)的量，如，iyi等，便可直接代入求解充分利用回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)(，)，即有ba，可確定a1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系()(2)利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線(xiàn)性關(guān)系去表示()(3)通過(guò)回歸方程ybxa可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)()(4)任何一組數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)回歸直線(xiàn)方程()(5)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大()答案：(1)×(2)(3)(4)×(5)2(xx·湖北卷)已知變量x和y滿(mǎn)足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是()Ax與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析：選A由回歸直線(xiàn)方程定義知，x與y負(fù)相關(guān)由y與z正相關(guān)，可設(shè)其回歸直線(xiàn)為ykzb，且k0，所以x10kz10b10，則x與z負(fù)相關(guān)3(教材習(xí)題改編)已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為y0.95xa，則a()x0134y2.24.34.86.7A3.25B2.6C2.2D0解析：選B由已知得2，4.5，因?yàn)榛貧w方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，所以a4.50.95×22.64在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類(lèi)變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是()A若26.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病B從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D以上三種說(shuō)法都不正確解析：選C根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想知C項(xiàng)正確相關(guān)關(guān)系的判斷明技法判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(2)相關(guān)系數(shù)：r0時(shí)，正相關(guān)；r0時(shí)，負(fù)相關(guān)(3)線(xiàn)性回歸方程中：b0時(shí)，正相關(guān)；b0時(shí)，負(fù)相關(guān)提能力【典例】 (1)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線(xiàn)性回歸方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且y2.347x6.423；y與x負(fù)相關(guān)且y3.476x5.648；y與x正相關(guān)且y5.437x8.493；y與x正相關(guān)且y4.326x4.578其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()ABC D(2)x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系；在該相關(guān)關(guān)系中，若用yc1ec2x擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)的平方為r，用ybxa擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)的平方為r，則rr；x、y之間不能建立線(xiàn)性回歸方程解析：(1)b0，正相關(guān)；b0，負(fù)相關(guān)(2)由相關(guān)關(guān)系定義知正確答案：(1)D(2)刷好題1(xx·資陽(yáng)模擬)在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是()A人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%解析：選B觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%，故選B2變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示變量Y與X之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，則()Ar2r10B0r2r1Cr20r1 Dr2r1解析：選C變量Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，所以r10；變量V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即r20，所以r20r1線(xiàn)性回歸分析析考情回歸方程的求解與運(yùn)用計(jì)算量大，主要是通過(guò)最小二乘法求解回歸直線(xiàn)方程，并進(jìn)行相應(yīng)的估計(jì)預(yù)測(cè)，題型既有小題也有解答題，難度不大，另外非線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題也應(yīng)引起足夠重視提能力【典例】 (1)(xx·山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系設(shè)其回歸直線(xiàn)方程為ybxa.已知i225，i1 600，b4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為()A160B163C166D170解析：選Ci225，i22.5i1 600，i160又b4，ab1604×22.570回歸直線(xiàn)方程為y4x70將x24代入上式得y4×2470166.故選C(2)(xx·重慶卷)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表：年份xxxxxxxxxx時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810求y關(guān)于t的回歸方程ybta；用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)xx年(t6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款解：列表計(jì)算如下：itiyittiyi11515226412337921448163255102550153655120這里n5，i3，i7.2又lttn2555×3210，ltyiyin1205×3×7.212，從而b1.2，ab7.21.2×33.6，故所求回歸方程為y1.2t3.6將t6代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)xx年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為y1.2×63.610.8(千億元)悟技法1回歸直線(xiàn)方程中系數(shù)的2種求法(1)利用公式，求出回歸系數(shù)b，a(2)待定系數(shù)法：利用回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)中心求系數(shù)2回歸分析的2種策略(1)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把回歸直線(xiàn)方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值(2)利用回歸直線(xiàn)判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是回歸系數(shù)r刷好題(xx·全國(guó)卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：()年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？()年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線(xiàn)vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，解：(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程由于d68，cd 56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程為y100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y100.668(3)()由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值y100.668576.6，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)576.6×0.24966.32()根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)0.2(100.668)xx13.620.12所以當(dāng)6.8，即x46.24時(shí)，z取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大獨(dú)立性檢驗(yàn)析考情近幾年高考中對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查頻率明顯下降，題目多以解答題的形式出現(xiàn)，一般為容易題，多與概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容綜合考查提能力【典例】 (xx·全國(guó)卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)附：P(2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828，2解：(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”由題意知P(A)P(BC)P(B)P(C)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62，故P(B)的估計(jì)值為0.62新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.0680.0460.0100.008)×50.66，故P(C)的估計(jì)值為0.66因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.660.409 2(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466215.705由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.0040.0200.044)×50.34<0.5，箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0.0040.0200.0440.068)×50.68>0.5，故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為5052.35(kg)悟技法1比較幾個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過(guò)計(jì)算2的大小判斷：2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大(2)通過(guò)計(jì)算|adbc|的大小判斷：|adbc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大2獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表(2)根據(jù)公式2計(jì)算2的觀測(cè)值k(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷刷好題1(xx·衡陽(yáng)聯(lián)考)2016年9月20日是第28個(gè)全國(guó)愛(ài)牙日，為了迎接此節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門(mén)成立了調(diào)查小組，調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關(guān)系”，對(duì)該地區(qū)小學(xué)六年級(jí)800名學(xué)生進(jìn)行檢查，按患齲齒和不患齲齒分類(lèi)，并匯總數(shù)據(jù)：不常吃零食且不患齲齒的學(xué)生有60名，常吃零食但不患齲齒的學(xué)生有100名，不常吃零食但患齲齒的學(xué)生有140名(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為該地區(qū)學(xué)生常吃零食與患齲齒有關(guān)系？(2)4名衛(wèi)生部門(mén)的工作人員隨機(jī)分成兩組，每組2人，一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)收集，另一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理，求工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率附：2P(K2k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解：(1)由題意可得2×2列聯(lián)表如下：不常吃零食常吃零食總計(jì)不患齲齒60100160患齲齒140500640總計(jì)200600800根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得2的觀測(cè)值為k16.66710.828能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為該地區(qū)學(xué)生常吃零食與患齲齒有關(guān)系(2)設(shè)其他工作人員為丙和丁，4人分組的所有情況如下表.小組123456收集數(shù)據(jù)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁處理數(shù)據(jù)丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙由表可知，分組的情況共有6種，工作人員甲負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)且工作人員乙負(fù)責(zé)處理數(shù)據(jù)的有2種，故工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率為P2某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計(jì)本校高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的學(xué)生后，共有男生300名，女生200名現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，按性別分為兩組，并將兩組學(xué)生成績(jī)分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表.分?jǐn)?shù)段40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男39181569女64510132(1)估計(jì)男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)，從計(jì)算結(jié)果看，數(shù)學(xué)成績(jī)與性別是否有關(guān)；(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分)，請(qǐng)你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)”.優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生女生總計(jì)100附表及公式P(2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8282解：(1)男45×0.0555×0.1565×0.375×0.2585×0.195×0.1571.5，女45×0.1555×0.165×0.12575×0.2585×0.32595×0.0571.5，從男、女生各自的平均分來(lái)看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)(2)由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100名學(xué)生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生154560女生152540總計(jì)3070100可得21.79，因?yàn)?.79<2.706，所以沒(méi)有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)”