2022高考高考數(shù)學二輪復習 小題專練作業(yè)（六）三角恒等變換、解三角形 理 1．若角α的終邊過點A(2,1)，則sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　由題意知cosα＝＝，所以sin＝－cosα＝－。故選A。 答案　A 2．已知tanθ＝2，則＋sin2θ的值為(　　) A． B． C． D． 解析　解法一：原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tanθ＝2代入，得原式＝。故選C。 解法二：在平面直角坐標系xOy中，tanθ＝2＝，不妨設θ為銳角，角θ的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上取點P(1,2)，則|OP|＝，由三角函數(shù)的定義，得sinθ＝，cosθ＝，所以＋sin2θ＝＋2＝。故選C。 答案　C 3．若角α滿足sinα＋2cosα＝0，則tan2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　解法一：由題意知，tanα＝－2，tan2α＝＝。故選D。 解法二：由題意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝＝。故選D。 答案　D 4．(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若△ABC的面積為，則C＝(　　) A． B． C． D． 解析　由題可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC。因為C∈(0，π)，所以C＝。故選C。 答案　C 5．(2018·河南聯(lián)考)線段的黃金分割點的定義：若點C在線段AB上，且滿足AC2＝BC·AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點。在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分線交邊AC于點D，則點D為邊AC的黃金分割點，利用上述結論，可以求出cos36°＝(　　) A． B． C． D． 解析　不妨設AB＝2，利用黃金分割點的定義得AD＝－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝－1。在△ABD中，cos36°＝＝。故選B。 答案　B 6．(2018·陜西調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已在a，b，c成等比數(shù)列，且cosB＝，則＋＝(　　) A． B． C． D． 解析　由已知有b2＝ac，cosB＝，所以sinB＝＝。由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以＋＝＋＝＝＝＝。故選D。 答案　D 7．(2018·洛陽統(tǒng)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝(　　) A． B． C． D． 解析　由題意得b2＝ac，a2＝c2＋ac－bc，故a2＝c2＋b2－bc，則cosA＝＝＝。因為A∈(0，π)，所以A＝。根據(jù)正弦定理有＝，sin2B＝sinAsinC，故＝＝。故選B。 答案　B 8．(2018·遼寧模擬)若a＝(cosx，sinx)，b＝(，－1)，且a⊥b，則tan2x＝________。 解析　由題意得cosx－sinx＝0，則tanx＝，所以tan2x＝＝＝－。 答案?。? 9．(2018·洛陽統(tǒng)考)已知sinα＋cosα＝，則cos4α＝________。 解析　由題設有1＋2sinαcosα＝，所以sin2α＝，所以cos4α＝1－2sin22α＝1－＝。 答案　 10．(2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________。 解析　根據(jù)題意，結合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝，結合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A為銳角，且cosA＝，從而求得bc＝，所以△ABC的面積為S＝bcsinA＝××＝。 答案　 11．(2018·北京高考)若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；的取值范圍是________。 解析　△ABC的面積S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因為0°<∠B<180°，所以∠B＝60°。因為∠C為鈍角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<，所以＝＝＝＝＋>2，故的取值范圍為(2，＋∞)。 答案　60°　(2，＋∞) 12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝2b，△ABC的面積記作S，則下列結論一定成立的是(　　) A．B>30° B．A＝2B C．c<b D．S≤b2 解析　由a＝2b，得sinA＝2sinB≤1，則sinB≤，因為B不是最大角，所以0°<B≤30°，A錯誤；sinA＝2sinB與A＝2B沒有關系，B錯誤；若a＝4，b＝2，c＝5，符合a＝2b，但c>b，C錯誤；三角形面積S＝absinC＝b2sinC≤b2。故選D。 答案　D 13．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面積為1＋，則b的最小值為(　　) A．2　　　 　B．3 C．　　　　D. 解析　由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1。因為B∈(0，π)，所以B＝。由S△ABC＝acsinB＝1＋，得ac＝2＋4。又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝(2－)·(4＋2)＝4，當且僅當a＝c時等號成立，所以b≥2，b的最小值為2。故選A。 答案　A 14．(2018·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________。 解析　因為∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得acsin120°＝asin60°＋csin60°，化簡得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，則4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，當且僅當c＝2a時取等號，故4a＋c的最小值為9。 答案　9 15．(2018·石家莊模擬)如圖，平面四邊形ABCD的對角線的交點位于四邊形的內(nèi)部，AB＝1，BC＝，AC＝CD，AC⊥CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為________。 解析　設∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，則由余弦定理得AC2＝3－2cosθ，由正弦定理得＝，得sin∠ACB＝。在△DCB中，由余弦定理可得，BD2＝CD2＋2－2CDcos＝AC2＋2＋2ACsin∠ACB＝3－2cosθ＋2＋2AC×＝5＋2(sinθ－cosθ)＝5＋4sin，當θ＝時，max＝1，所以BD＝9，所以BDmax＝3。 答案　3