專題三 解析幾何江蘇卷5年考情分析小題考情分析大題考情分析常考點1.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(5年4考)2.圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)(5年5考)本單元主要考查直線與橢圓(2015年、2017年、2018年、2019年)的位置關(guān)系、弦長問題、面積問題等；有時考查直線與圓(如2016年)，經(jīng)常與向量結(jié)合在一起命題偶考點直線的方程、圓的方程第一講 | 小題考法解析幾何中的基本問題考點(一) 直線、圓的方程主要考查圓的方程以及直線方程、圓的基本量的計算.題組練透1(2019·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，P是曲線yx(x>0)上的一個動點，則點P到直線xy0的距離的最小值是_解析：由題意可設(shè)P(x0>0)，則點P到直線xy0的距離d4，當且僅當2x0，即x0時取等號故所求最小值是4.法二：設(shè)P(x0>0)，由yx得y1，則曲線在點P處的切線的斜率為k1.令11，結(jié)合x0>0得x0， P(，3)，曲線yx(x>0)上的點P到直線xy0的最短距離即為此時點P到直線xy0的距離，故dmin4.答案：42(2019·蘇州期末)在平面直角坐標系xOy中，過點A(1，3)，B(4，6)，且圓心在直線x2y10上的圓的標準方程為_解析：法一：根據(jù)圓經(jīng)過點A(1，3)，B(4，6)，知圓心在線段AB的垂直平分線上，由點A(1，3)，B(4，6)，知線段AB的垂直平分線方程為xy70，則由得即圓心坐標為(5，2)，所以圓的半徑r，故圓的標準方程為(x5)2(y2)217.法二：因為圓心在直線x2y10上，所以圓心坐標可設(shè)為(2a1，a)，又圓經(jīng)過點A(1，3)，B(4，6)，所以圓的半徑 r，解得a2，所以r，故圓的標準方程為(x5)2(y2)217.法三：設(shè)圓心的坐標為(a，b)，半徑為r(r0)，因為圓心在直線x2y10上，且圓經(jīng)過點A(1，3)，B(4，6)，所以得a5，b2，r，故圓的標準方程為(x5)2(y2)217.答案：(x5)2(y2)2173(2019·揚州期末)若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則兩平行直線l1，l2間的距離為_解析：法一：若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則有，求得m2，故兩平行直線l1，l2間的距離為.法二：若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則有，求得m2，所以直線l2：2x4y30，在l1：x2y40上取一點(0，2)，則兩平行直線l1，l2間的距離就是點(0，2)到直線l2的距離，即.答案：方法技巧1求直線方程的兩種方法直接法選用恰當?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果待定系數(shù)法先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)2圓的方程的兩種求法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程考點(二)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求相關(guān)的最值與范圍問題.典例感悟典例(1)(2018·無錫期末)過圓O：x2y216內(nèi)一點P(2，3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，則四邊形ACBD的面積為_(2)(2018·南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標系xOy中，已知點A(4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點P向圓x2y24引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D.設(shè)線段CD的中點為M，則線段AM長的最大值為_解析(1)設(shè)O到AB的距離為d1，O到CD的距離為d2，則由垂徑定理可得dr2，dr2，由于ABCD，故d1d2，且d1d2OP，所以r2d16，得AB，從而四邊形ACBD的面積為SAB×CD××19.(2)法一(幾何法)：因為A(4，0)，B(0，4)，所以直線AB的方程為yx4，所以可設(shè)P(a，a4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程為x1xy1y4，PD的方程為x2xy2y4，將P(a，a4)分別代入PC，PD的方程，得則直線CD的方程為ax(a4)y4，即a(xy)44y，所以所以直線CD過定點N(1，1)，又因為OMCD，所以點M在以O(shè)N為直徑的圓上(除去原點)又因為以O(shè)N為直徑的圓的方程為，因為A在該圓外，所以AM的最大值為3.法二(參數(shù)法)：同法一可知直線CD的方程為ax(a4)y4，即a(xy)44y，得a.又因為O，P，M三點共線，所以ay(a4)x0，得a.因為a，所以點M的軌跡方程為(除去原點)，因為A在該圓外，所以AM的最大值為 3. 答案(1)19(2)3方法技巧解決關(guān)于直線與圓、圓與圓相關(guān)問題的策略(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量(2)解決直線與圓相關(guān)的最值問題：一是利用幾何性質(zhì)，如兩邊之和大于第三邊、斜邊大于直角邊等來處理最值；二是建立函數(shù)或利用基本不等式求解(3)對于直線與圓中的存在性問題，可以利用所給幾何條件和等式，得出動點軌跡，轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系演練沖關(guān)1(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐標系xOy中，圓O：x2y21，圓C：(x4)2y24.若存在過點P(m，0)的直線l，直線l被兩圓截得的弦長相等，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為yk(xm)(k0)，圓心O，C到直線l的距離分別為d1，d2，則由直線l與圓O相交得d11，得m21.由直線l被兩圓截得的弦長相等得，則dd3，即3，化簡得m，則m(m21)，即3m28m160，所以4m.答案：2(2019·南京鹽城一模)設(shè)M(x，y)|3x4y7，點PM，過點P引圓(x1)2y2r2(r0)的兩條切線PA，PB(A，B均為切點)，若APB的最大值為，則r的值為_解析：由題意知點P位于直線3x4y70上或其上方，記圓(x1)2y2r2(r0)的圓心為C，則C(1，0)，C到直線3x4y70的距離d2，連接PC，則PC2.設(shè)APB，則sin，因為max，所以，所以r1.答案：13(2019·蘇北三市一模)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：x2y22mx(4m6)y40(mR)與以C2(2，3)為圓心的圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且滿足xxyy，則實數(shù)m的值為_解析：由題意得C1(m，2m3)，C2(2，3)由xxyy，得xyxy，即OAOB，所以O(shè)AB為等腰三角形，所以線段AB的垂直平分線經(jīng)過原點O，又相交兩圓的圓心連線垂直平分公共弦AB，所以兩圓的圓心連線C1C2過原點O，所以O(shè)C1OC2，所以3m2(2m3), 解得m6.答案：64(2019·常州期末)過原點O的直線l與圓x2y21交于P，Q兩點，點A是該圓與x軸負半軸的交點，以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點N，且直線AN與直線AP的斜率之積等于1，那么直線l的方程為_解析：易知A(1，0)因為PQ是圓O的直徑，所以APAQ.以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點N，則ANNQ，所以kAN，又直線AN與直線AP的斜率之積等于1，所以kANkAP1，所以kAPkPO，所以O(shè)APAOP，所以點P為OA的垂直平分線與圓O的交點，則P，所以直線l的方程為y±x.答案：y±x5(2018·南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標系xOy中，已知A，B為圓C：(x4)2(ya)216上的兩個動點，且AB2.若直線l：y2x上存在唯一的一個點P，使得，則實數(shù)a的值為_解析：法一：設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB2，得CM，即點M的軌跡為(x04)2(y0a)25.又因為，所以，即(x0x，y0y)，從而則動點P的軌跡方程為(x2)25，又因為直線l上存在唯一的一個點P，所以直線l和動點P的軌跡(圓)相切，則，解得a2或a18.法二：由題意，圓心C到直線AB的距離d，則AB中點M的軌跡方程為(x4)2(ya)25.由，得2，所以.如圖，連結(jié)CM并延長交l于點N，則CN2CM2.故問題轉(zhuǎn)化為直線l上存在唯一的一個點N，使得CN2，所以點C到直線l的距離為2，解得a2或a18.答案：2或18考點(三)圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)主要考查三種圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)，在小題中以考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)為主. 題組練透1(2019·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_解析：因為雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(3，4)，所以91(b>0)，解得b，即雙曲線方程為x21，其漸近線方程為y±x.答案：y±x2(2019·蘇州期末)在平面直角坐標系xOy中，中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(3，1)，則該雙曲線的離心率為_解析：由題意，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，由雙曲線的一條漸近線過點(3，1)，得，可得9a2b2c2a2，得10a2c2，所以可得該雙曲線的離心率e.答案：3(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y21的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_解析：由題意得，雙曲線的右準線x與兩條漸近線y±x的交點坐標為.不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，故四邊形F1PF2Q的面積是|F1F2|·|PQ|×4×2.答案：24.(2019·南通、揚州等七市一模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y22px(p0)的準線為l，直線l與雙曲線y21的兩條漸近線分別交于A，B兩點，AB，則p的值為_解析：拋物線y22px(p0)的準線為直線，l：x，不妨令A(yù)點在第二象限，則直線l與雙曲線y21的兩條漸近線y±x分別交于點A，B，則AB，p2.答案：2方法技巧應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)的兩個注意點(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍 (一) 主干知識要記牢1直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.2直線與圓相交(1)幾何法由弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成直角三角形，計算弦長AB2.(2)代數(shù)法設(shè)直線ykxm與圓x2y2DxEyF0相交于點M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線方程代入圓方程中，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，求出x1x2和x1·x2，則MN·.3判斷兩圓位置關(guān)系時常用幾何法即通過判斷兩圓心距離O1O2與兩圓半徑R，r(R>r)的關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系(1)外離：O1O2>Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：Rr<O1O2<Rr；(4)內(nèi)切：O1O2Rr；(5)內(nèi)含：0O1O2<Rr.4橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e .(3)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系(二) 二級結(jié)論要用好1過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.2.過圓C外一點P做圓C的切線，切點分別為A，B(求切線時要注意斜率不存在的情況)如圖所示，則(1)P，B，C，A四點共圓，且該圓的直徑為PC；(2)該四邊形是有兩個全等的直角三角形組成；(3)cossin；(4)直線AB的方程可以轉(zhuǎn)化為圓C與以PC為直徑的圓的公共弦，且P(x0，y0)時，直線AB的方程為x0xy0yr2.3橢圓焦點三角形的3個規(guī)律設(shè)橢圓方程是1(a>b>0)，焦點F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點P的坐標是(x0，y0)(1)三角形的三個邊長是PF1aex0，PF2aex0，F(xiàn)1F22c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan .(3)橢圓的離心率e.4雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論P(x0，y0)為雙曲線1(a>0，b>0)上的點，PF1F2為焦點三角形(1)面積公式Sc|y0|r1r2sin (其中PF1r1，PF2r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，PF1ex0a·PF2ex0a；若P在左支上，PF1ex0a，PF2ex0a.5拋物線y22px(p>0)焦點弦AB的3個結(jié)論(1)xA·xB；(2)yA·yBp2；(3)ABxAxBp. A組抓牢中檔小題1若直線l1：mxy80與l2：4x(m5)y2m0垂直，則m_解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a，0)，且a0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y293(2019·無錫期末)以雙曲線1的右焦點為焦點的拋物線的標準方程是_解析：由題可設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，雙曲線中，c3，所以雙曲線的右焦點的坐標為(3，0)，則拋物線的焦點坐標為(3，0)，所以3，p6，所以拋物線的標準方程為y212x.答案：y212x4已知直線l過點P(1，2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點，ABC的面積為1，則直線l的方程為_解析：當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為yk(x1)2，即kxyk20.因為SABCCA·CB·sinACB1，所以×××sinACB1，所以sinACB1，即ACB90°，所以圓心C到直線AB的距離為1，所以1，解得k，所以直線方程為3x4y50；當直線斜率不存在時，直線方程為x1，經(jīng)檢驗符合題意綜上所述，直線l的方程為3x4y50或x1.答案：3x4y50或x15已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C，使得BAC60°，則點A的橫坐標的取值范圍為_解析：由題意知，過點A的兩直線與圓M相切時，夾角最大，當BAC60°時，|MA|4.設(shè)A(x，6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得x1或x5，因此點A的橫坐標的取值范圍為1，5答案：1，56(2018·南京學情調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，若圓(x2)2(y2)21上存在點M，使得點M關(guān)于x軸的對稱點N在直線kxy30上，則實數(shù)k的最小值為_解析：圓(x2)2(y2)21關(guān)于x軸的對稱圓的方程為(x2)2(y2)21，由題意得，圓心(2，2)到直線kxy30的距離d1，解得k0，所以實數(shù)k的最小值為.答案：7(2019·南京四校聯(lián)考)已知圓O：x2y21，半徑為1的圓M的圓心M在線段CD：yx4(mxn，mn)上移動，過圓O上一點P作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，且滿足APB60°，則nm的最小值為_解析：設(shè)M(a，a4)(man)，則圓M的方程為(xa)2(ya4)21.連接MP，MB，則MB1，PBMB.因為APB 60°，所以MPB30°，所以MP2MB2，所以點P在以M為圓心，2為半徑的圓上，連接OM，又點P在圓O上，所以點P為圓x2y21與圓(xa)2(ya4)24的公共點，所以21OM21，即13，得解得2a2.所以n2，m2，所以nm.答案：8(2019·南京鹽城二模)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，0)，B(5，0)若圓M：(x4)2(ym)24上存在唯一的點P，使得直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則實數(shù)m的值為_解析：設(shè)點P(x0，y0)，則直線PA的方程為y(x1), 在y軸上的截距為，同理可得直線PB在y軸上的截距為，由直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，得×5，化簡，得(x02)2y9(y00)，所以點P的軌跡是以C(2，0)為圓心，3為半徑的圓(點A(1，0)，B(5，0)除外)，由題意知點P的軌跡與圓M恰有一個公共點，若A，B均不在圓M上，因此圓心距等于半徑之和或差，則5，解得m±；或1，無解若A或B在圓M上，易得m±，經(jīng)檢驗成立所以m的值為±或±.答案：±或±9(2018·揚州期末)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2y26y50沒有交點，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：由圓x2y26y50，得圓的標準方程為x2(y3)24，所以圓心C(0，3)，半徑r2.因為雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線bx±ay0與該圓沒有公共點，則圓心到直線的距離應(yīng)大于半徑，即>2，即3a>2c，即e<，又e>1，故雙曲線離心率的取值范圍是.答案：10在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2(y3)22，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍是_解析：設(shè)PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，因為，所以sin ，所以PQ.答案：11(2019·南京三模)在平面直角坐標系xOy中，已知MN是C：(x1)2(y2)22的一條弦，且CMCN，P是MN的中點當弦MN在圓C上運動時，直線l：x3y50上存在兩點A，B，使得APB恒成立，則線段AB長度的最小值是_解析：因為MN是C：(x1)2(y2)22的一條弦，且CMCN，P是MN的中點，所以PCr1，點P的軌跡方程為(x1)2(y2)21.圓心C到直線l：x3y50的距離為.因為直線l上存在兩點A，B，使得APB恒成立，所以ABmin22.答案：2212(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知直線l：xy20與x軸交于點A，點P在直線l上圓C：(x2)2y22上有且僅有一個點B滿足ABBP，則點P的橫坐標的取值集合為_解析：法一：由ABBP，得點B在以AP為直徑的圓D上，所以圓D與圓C相切由題意得A(2，0)，C(2，0)若圓D與圓C外切，則DCDA；若圓D與圓C內(nèi)切，則DADC.所以圓心D在以A，C為焦點的雙曲線1上，即14x22y27.又點D在直線l上，由得12x28x150，解得xD或xD.所以xP2xDxA2xD25或xP.法二：由題意可得A(2，0)，設(shè)P(a，a2)，則AP的中點M，AP，故以AP為直徑的圓M的方程為.由題意得圓C與圓M相切(內(nèi)切和外切)，故 ，解得a或a5.故點P的橫坐標的取值集合為.答案：13已知橢圓1(a>b>0)的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于A，B兩點若FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積為ab，則橢圓的離心率為_解析：設(shè)直線xm與x軸交于點H，橢圓的右焦點為F1，由橢圓的對稱性可知FAB的周長為2(FAAH)2(2aF1AAH)，因為F1AAH，故當F1AAH時，F(xiàn)AB的周長最大，此時直線AB經(jīng)過右焦點，從而點A，B坐標分別為，所以FAB的面積為·2c·，由條件得·2c·ab，即b2c22bc，bc，從而橢圓的離心率為e.答案：14已知A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，則|的取值范圍為_解析：因為A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，所以線段AB的中點H在圓O：x2y2上，且|2|.因為點P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，所以5|5，即|，所以72|13，從而|的取值范圍是7，13答案：7，13B組力爭難度小題1(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)若直線l：axy4a0上存在相距為2的兩個動點A，B，圓O：x2y21上存在點C，使得ABC為等腰直角三角形(C為直角頂點)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：法一：根據(jù)題意得，圓O：x2y21上存在點C，使得點C到直線l的距離為1，那么圓心O到直線l的距離不大于2，即2，解得a，于是a的取值范圍是.法二：因為ABC為等腰直角三角形(C為直角頂點)，所以點C在以AB為直徑的圓上，記圓心為M，半徑為1，且CM直線l，又點C也在圓O：x2y21上，所以C是兩圓的交點，即OM2，所以dOM2，解得a，于是a的取值范圍是.答案：2(2017·全國卷 )已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點若MAN60°，則C的離心率為_解析：雙曲線的右頂點為A(a，0)，一條漸近線的方程為yx，即bxay0，則圓心A到此漸近線的距離d.又因為MAN60°，圓的半徑為b，所以b·sin 60°，即，所以e.答案：3(2019·江蘇泰州期末)在平面直角坐標系xOy中，過圓C1：(xk)2(yk4)21上任一點P作圓C2：x2y21的一條切線，切點為Q，則當|PQ|最小時，k_解析：由題意得，圓C1與圓C2外離，如圖因為PQ為切線，所以PQC2Q，由勾股定理，得|PQ|，要使|PQ|最小，則需|PC2|最小顯然當點P為C1C2與圓C1的交點時，|PC2|最小，此時，|PC2|C1C2|1，所以當|C1C2|最小時，|PC2|就最小，|C1C2|2，當k2時，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小答案：24(2017·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p>0)交于A，B兩點若AFBF4OF，則該雙曲線的漸近線方程為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知AFy1，BFy2，OF，由AFBFy1y2y1y2p4OF2p，得y1y2p.聯(lián)立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.答案：y±x5已知圓C：(x2)2y24，線段EF在直線l：yx1上運動，點P為線段EF上任意一點，若圓C上存在兩點A，B，使得·0，則線段EF長度的最大值是_解析：過點C作CHl于H，因為C到l的距離CH>2r，所以直線l與圓C相離，故點P在圓C外因為·|cosAPB0，所以cosAPB0，所以APB<，圓C上存在兩點A，B使得APB，由于點P在圓C外，故當PA，PB都與圓C相切時，APB最大，此時若APB，則PCr2，所以PH，由對稱性可得EFmax2PH.答案：6設(shè)拋物線x24y的焦點為F，A為拋物線上第一象限內(nèi)一點，滿足AF2，已知P為拋物線準線上任一點，當PAPF取得最小值時，PAF外接圓的半徑為_解析：由拋物線的方程x24y可知F(0，1)，設(shè)A(x0，y0)，又由AF2，根據(jù)拋物線的定義可知AFy0y012，解得y01，代入拋物線的方程，可得x02，即A(2，1)如圖，作拋物線的焦點F(0，1)，關(guān)于拋物線準線y1的對稱點F1(0，3)，連接AF1交拋物線的準線y1于點P，此時能使得PAPF取得最小值，此時點P的坐標為(1，1)，在PAF中，AF2，PFPA，由余弦定理得cosAPF，則sinAPF.設(shè)PAF的外接圓半徑為R，由正弦定理得2R，所以R，即PAF外接圓的半徑R.答案：第二講 | 大題考法直線與圓題型(一)直線與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及復(fù)雜背景下直線、圓的方程.典例感悟例1如圖，在RtABC中，A為直角，AB邊所在直線的方程為x3y60，點T(1，1)在直線AC上，BC中點為M(2，0)(1)求BC邊所在直線的方程；(2)若動圓P過點N(2，0)，且與RtABC的外接圓相交所得公共弦長為4，求動圓P中半徑最小的圓方程解(1)因為AB邊所在直線的方程為x3y60，AC與AB垂直，所以直線AC的斜率為3.故AC邊所在直線的方程為y13(x1)，即3xy20.設(shè)C為(x0，3x02)，因為M為BC中點，所以B(4x0，3x02)點B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC所在直線方程為x7y20.(2)因為RtABC斜邊中點為M(2，0)，所以M為RtABC外接圓的圓心又AM2，從而RtABC外接圓的方程為(x2)2y28.設(shè)P(a，b)，因為動圓P過點N，所以該圓的半徑r，圓方程為(xa)2(yb)2r2.由于P與M相交，則公共弦所在直線m的方程為(42a)x2bya2b2r240.因為公共弦長為4，M半徑為2，所以M(2，0)到m的距離d2，即2，化簡得b23a24a，所以r .當a0時，r最小值為2，此時b0，圓的方程為x2y24.方法技巧解決有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的問題的方法(1)直線與圓的方程求解通常用的待定系數(shù)法，由于直線方程和圓的方程均有不同形式，故要根據(jù)所給幾何條件靈活使用方程(2)對直線與直線的位置關(guān)系的相關(guān)問題要用好直線基本量之一斜率，要注意優(yōu)先考慮斜率不存在的情況(3)直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系在處理時幾何法優(yōu)先，有時也需要用代數(shù)法即解方程組演練沖關(guān)(2019·連云港模擬)已知圓O1：x2y225，點P在圓O2：x2y2r2(0r5)上，過點P作圓O2的切線交圓O1于點M，N兩點，且r，OM，MN成等差數(shù)列(1)求r；(2)若點P的坐標為(4，3)，與直線MN平行的直線l與圓O2交于A，B兩點，則使AOB的面積為4的直線l有幾條？并說明理由解：(1)顯然圓O1和圓O2是圓心在原點的同心圓連接OP，則OPMN，OM5，OPr，在直角三角形MOP中，MP，所以MN2.由r，OM，MN成等差數(shù)列，得2OMrMN，即2×5r2，解得r4.(2)因為點P的坐標為(4，3)，所以kOP，所以直線l的斜率k，設(shè)直線l的方程為yxb，即4x3y3b0.設(shè)圓心到該直線的距離為d，則d，則AB2，所以SAOB×AB×d×d4，整理得 d416d2480，(d24)(d212)0，解得d2或d2 ，因為d，從而對應(yīng)的b有4個解：b±或b±，檢驗知均符合題意，故使AOB的面積為4的直線l有4條.題型(二)圓中的定點、定值問題主要考查動圓過定點的問題其本質(zhì)是含參方程恒有解，定值問題是引入?yún)?shù)，再利用其滿足的約束條件消去參數(shù)得定值.典例感悟例2已知圓C：x2y29，點A(5，0)，直線l：x2y0.(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2)在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標解(1)設(shè)所求直線方程為y2xb，即2xyb0.因為直線與圓C相切，所以3，解得b±3.所以所求直線方程為2xy±30.(2)法一：假設(shè)存在這樣的點B(t，0)當點P為圓C與x軸的左交點(3，0)時，；當點P為圓C與x軸的右交點(3，0)時，.依題意，解得t或t5(舍去)下面證明點B對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)設(shè)P(x，y)，則y29x2，所以.從而為常數(shù)法二：假設(shè)存在這樣的點B(t，0)，使得為常數(shù)，則PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290對x3，3恒成立，所以解得或(舍去)故存在點B對于圓C上任一點P，都有為常數(shù).方法技巧關(guān)于解決圓中的定點、定值問題的方法(1)與圓有關(guān)的定點問題最終可化為含有參數(shù)的動直線或動圓過定點解這類問題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出動直線或動圓的方程(2)與圓有關(guān)的定值問題，可以通過直接計算或證明，還可以通過特殊化，先猜出定值再給出證明演練沖關(guān)1(2019·無錫天一中學模擬)已知以點C為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點M，N，若OMON，求圓C的方程解：(1)證明：由題意知圓C過原點O，半徑rOC.OC2t2，設(shè)圓C的方程為(xt)2t2，令y0，得x10，x22t，則A(2t，0)令x0，得y10，y2，則B.SOABOA·OB×|2t|×4，即OAB的面積為定值(2)OMON，CMCN，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC，直線OC的方程為yx.t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，r|OC|，此時圓心C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，rOC，此時圓心C到直線y2x4的距離d>，圓C與直線y2x4不相交，圓C的方程為(x2)2(y1)25.2已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.(1)若APB60°，求點P的坐標；(2)若P點的坐標為(2，1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點，當CD時，求直線CD的方程；(3)求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標解：(1)設(shè)P(2m，m)，因為APB60°，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求點P的坐標為P(0，0)或P.(2)易知直線CD的斜率存在，可設(shè)直線CD的方程為y1k(x2)，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得k1或k，故所求直線CD的方程為xy30或x7y90.(3)設(shè)P(2m，m)，MP的中點Q，因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(xm)2m2，化簡得x2y22ym(2xy2)0，此式是關(guān)于m的恒等式，故解得或所以經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點(0，2)或.題型(三)與直線、圓有關(guān)的最值或范圍問題主要考查與直線和圓有關(guān)的長度、面積的最值或有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題. 典例感悟例3已知ABC的三個頂點A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓為圓H.(1)若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30.所以外接圓圓心H(0，3)，半徑為.圓H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因為直線l被圓H截得的弦長為2，所以d3.當直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x3為所求；當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k.所以直線l的方程為y2(x3)，即4x3y60.綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.(2)直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)因為點M是線段PN的中點，所以M，又M，N都在半徑為r的圓C上，所以即因為該關(guān)于x，y的方程組有解，即以(3，2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m，4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2對任意的m0，1成立而f(m)10m212m10在0，1上的值域為，所以r2且109r2.又線段BH與圓C無公共點，所以(m3)2(33m2)2>r2對任意的m0，1成立，即r2<.故圓C的半徑r的取值范圍為.方法技巧1隱形圓問題有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題2隱形圓的確定方法(1)利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱形圓；(2)動點P 對兩定點A，B張角是90°(kPA·kPB1)確定隱形圓；(3)兩定點A，B，動點P滿足·確定隱形圓；(4)兩定點A，B，動點P滿足PA2PB2是定值確定隱形圓；(5)兩定點A，B，動點P滿足PAPB(0，1)確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)；(6)由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓3與圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解策略與圓有關(guān)的最值或取值范圍問題的求解，要對問題條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘，要掌握解決問題常使用的思想方法，如要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何知識，求最值或范圍，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值或范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系求解演練沖關(guān)1在等腰ABC中，已知ABAC，且點B(1，0)點D(2，0)為AC的中點(1)求點C的軌跡方程；(2)已知直線l：xy40，求邊BC在直線l上的射影EF長的最大值解：(1)設(shè)C(x，y)，D(2，0)為AC的中點A(4x，y)，B(1，0)，由ABAC，得AB2AC2.(x5)2y2(2x4)2(2y)2，整理得(x1)2y24.A，B，C三點不共線，y0，則點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)法一：由條件，易得BE：xy10.設(shè)CF：xyb0.當EF取得最大值時，直線CF與圓(x1)2y24相切，設(shè)M(1，0)，則M到CF的距離為2.b21(舍去)或b21.CF：xy210.EFmax等于點B到CF的距離2.法二：設(shè)點M(1，0)，如圖，過點C的軌跡圓心M作BE，CF的垂線，垂足分別為G，H，則四邊形EFHG是矩形EFGHGMMH.由條件，得MG.MH的最大值為半徑2.EFmax2.2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍解：圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6，7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA 2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2，4)，T(t，0)，所以因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以55 55，解得22t22.因此，實數(shù)t的取值范圍是22，22 A組大題保分練1(2019·全國卷)已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，|AB|4，M過點A，B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上，求M的半徑(2)是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|MP|為定值？并說明理由解：(1)因為M過點A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標原點O對稱，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a)因為M與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.連接MA由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2， 解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點P(1，0)，使得|MA|MP|為定值理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得M的半徑為r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化簡得M的軌跡方程為y24x.因為曲線C：y24x是以點P(1，0)為焦點，以直線x1為準線的拋物線，所以|MP|x1.因為|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在滿足條件的定點P.2(2019·鎮(zhèn)江期初測試)已知圓C和直線xy20相切于點P(1，)，且經(jīng)過點Q(4，0)(1)求圓C的方程；(2)設(shè)M(2，1)，過M作圓C的兩條相互垂直的弦AD，BE，求四邊形ABDE的面積的最大值解：(1)連接PC，PQ，由于圓C和直線xy20相切于點P(1，)，因此直線PC的斜率為，其方程為y(x1)，即xy20.易知直線PQ的斜率為，線段PQ的中點坐標為 ，則線段PQ的垂直平分線的方程為y，即xy20.由解得則圓心C的坐標為(2，0)所以圓C的半徑rCQ2，所以圓C的方程為(x2)2y24.(2)如圖，作CHAD于點H，CGBE于點G，連接CM，則CH2CG2CM21，所以AD2BE24(4CH2)4(4CG2)28.又AD2BE22AD·BE，所以AD·BE14，所以四邊形ABDE的面積SAD·BE×147，當且僅當ADBE時等號成立，所以四邊形ABDE的面積的最大值為7.3已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方(1)求圓C的方程；(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)圓心C(a，0)，則2a0或a5(舍去)所以圓C的方程為x2y24.(2)當直線ABx軸時，x軸平分ANB.當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x軸平分ANB，則kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以當點N為(4，0)時，能使得ANMBNM總成立4已知圓M與直線3xy40相切于點(1，)，圓心M在x軸上(1)求圓M的方程(2)過點M且不與x軸重合的直線與圓M相交于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB分別與直線x8相交于C，D兩點記OAB，OCD的面積分別是S1，S2，求的取值范圍解：(1)由題可知，設(shè)圓的方程為(xa)2y2r2，解得所以圓的方程為(x4)2y216.(2)由題意知，AOB，設(shè)直線OA的斜率為k(k0)，則直線OA的方程為ykx，由得(1k2)x28x0，解得或則點A的坐標為.又直線OB的斜率為，同理可得點B的坐標為 .由題可知，C(8，8k)，D.因此·，又，同理，所以，當且僅當|k|1時取等號又0，所以的取值范圍是.B組大題增分練1.如圖，已知以點A(1，2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2，0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.(1)求圓A的方程；(2)當MN2時，求直線l的方程解：(1)設(shè)圓A的半徑為r.由于圓A與直線l1：x2y70相切，r2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.連結(jié)AQ，則AQMN.MN2，AQ1，則由AQ1，得k，直線l：3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.2(2019·姜堰中學檢測)已知圓O：x2y24，點A(1，0)，圓C經(jīng)過點A且與圓O交于P，Q兩點(1)若圓C與x軸相切，且PQ的長為，求圓C的方程；(2)若·1，求PQ的長的取值范圍解：(1)因為圓C與x軸相切，且經(jīng)過點A(1，0)，所以可設(shè)圓心C(1，m)，則其半徑r|m|，圓C的方程為(x1)2(ym)2m2，即x2y22x2my10.與圓O的方程相減得直線PQ的方程2x2my50.取弦PQ的中點M，連接OM，OP，易知OMPQ，且OM，因為OM2PM2OP2，PMPQ，所以4，解得m±1.當m1時，圓C的方程為(x1)2(y1)21；當m1時，圓C的方程為(x1)2(y1)21.所以圓C的方程為(x1)