第八章 立體幾何第一節(jié) 空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積本節(jié)主要包括3個知識點：1.空間幾何體的三視圖和直觀圖；2.空間幾何體的表面積與體積；3.與球有關(guān)的切、接應(yīng)用問題.突破點(一)空間幾何體的三視圖和直觀圖 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個面平行，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個面的交線都平行且相等棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺(2)旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點的連線球半圓或圓直徑所在的直線2.空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖(2)三視圖的畫法在畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱用實線表示，重疊的線只畫一條，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體的正投影圖3空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸，y軸的夾角為45°或135°，z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半1判斷題(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點()(3)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()(4)用斜二測畫法畫水平放置的A時，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90°，則在直觀圖中，A45°.()答案：(1)×(2)(3)×(4)×2填空題(1)如圖所示的幾何體中，是棱柱的為_(填寫所有正確的序號)解析：根據(jù)棱柱的定義，結(jié)合給出的幾何體可知滿足條件答案：(2)有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體的形狀為_解析：從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以判斷是棱臺答案：棱臺(3)已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體從上往下依次由_構(gòu)成解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個圓臺和一個圓柱組成的組合體答案：圓臺，圓柱(4)利用斜二測畫法得到的：三角形的直觀圖一定是三角形；正方形的直觀圖一定是菱形；等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；菱形的直觀圖一定是菱形以上結(jié)論正確的個數(shù)是_解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知正確；錯誤，是一般的平行四邊形；錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，也錯誤答案：1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等其中正確命題的個數(shù)是()A0B1 C2D3解析錯誤，只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線；錯誤，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖(1)所示；錯誤，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖(2)所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等答案A方法技巧解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實物，提高空間想象能力；(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，如例1中的命題易判斷失誤；(3)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析空間幾何體的三視圖1.畫三視圖的規(guī)則長對正、高平齊、寬相等，即俯視圖與正視圖一樣長；正視圖與側(cè)視圖一樣高；側(cè)視圖與俯視圖一樣寬2三視圖的排列順序先畫正視圖，俯視圖放在正視圖的下方，側(cè)視圖放在正視圖的右方例2(1)(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)正方體ABCD ­A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(如圖)，用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()(2)(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A3B2C2D2解析(1)過點A，E，C1的截面為AEC1F，如圖，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C中的圖形故選C.(2)在正方體中還原該四棱錐如圖所示，從圖中易得最長的棱為AC12.答案(1)C(2)B方法技巧有關(guān)三視圖問題的解題方法(1)由幾何體的直觀圖畫三視圖需注意的事項注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖對應(yīng)的觀察方向；注意能看到的線用實線畫，被擋住的線用虛線畫；畫出的三視圖要符合“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余視圖的方法先根據(jù)已知的部分視圖推測直觀圖的可能形式，然后推測其剩余視圖的可能情形，若為選擇題，也可以逐項檢驗(3)由幾何體三視圖還原其直觀圖時應(yīng)注意的問題要熟悉柱、錐、球、臺的三視圖，結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖空間幾何體的直觀圖直觀圖與原圖形面積的關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖S原圖形(2)S原圖形2S直觀圖例3用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是()解析由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2.答案A1.如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個命題中，假命題是()A等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補C等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上解析：選B因為“等腰四棱錐”的四條側(cè)棱都相等，所以它的頂點在底面的射影到底面的四個頂點的距離相等，故A，C是真命題；且在它的高上必能找到一點到各個頂點的距離相等，故D是真命題；B是假命題，如底面是一個等腰梯形時結(jié)論就不成立2.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()解析：選B俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.3.已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊長為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖“高平齊”，故正視圖的高一定為2，正視圖和俯視圖“長對正”，故正視圖的底邊長為2.側(cè)視圖中的直角說明這個三棱錐最前面的面垂直于底面，這個面遮住了后面的一條側(cè)棱綜合以上可知，這個三棱錐的正視圖可能是C.4.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為()A4 cm2B4 cm2 C8 cm2D8 cm2解析：選C依題意可知BAD45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2.5.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為()A1B2 C3D4解析：選D由題意知，三棱錐放置在長方體中如圖所示，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形故選D.突破點(二)空間幾何體的表面積與體積 1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積間的關(guān)系：S圓柱側(cè)2rlS圓臺側(cè)(rr)lS圓錐側(cè)rl.2空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31判斷題(1)錐體的體積等于底面面積與高之積()(2)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差()(3)球的體積之比等于半徑比的平方()答案：(1)×(2)(3)×2填空題(1)已知圓柱的底面半徑為a，高為a，則此圓柱的側(cè)面積等于_解析：底面周長l2a，則S側(cè)l·h2a·a2.答案：a2(2)已知某棱臺的上、下底面面積分別為6和24，高為2，則其體積為_解析：V(624)×228.答案：28(3)已知圓錐的母線長是8，底面周長為6，則它的體積是_解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2r6，r3.設(shè)圓錐的高為h，則h，V圓錐r2h3.答案：3(4)正三棱柱ABC ­A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點，則三棱錐A ­B1DC1的體積為_解析：在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面B1DC1.VA ­B1DC1SB1DC1·AD××2××1.答案：1(5)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_解析：由三視圖可知該幾何體是一個底面為等腰梯形的平放的直四棱柱，所以該直四棱柱的表面積為S2××(24)×44×42×42××4488.答案：488空間幾何體的表面積例1(1)(2018·福州市五校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一個直角三角形，一個銳角為30°，則該幾何體的表面積為()A2412 B245C1215 D1212(2)(2018·南昌市十校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A(253)B(253)C(293)D(293)解析(1)由已知可得，該幾何體為三棱柱，底面是斜邊長為4，斜邊上的高為的直角三角形，底面面積為2，底面周長為62，棱柱的高為4，故棱柱的表面積S2×24×(62)2412，故選A.(2)由三視圖可知該幾何體由一個上下底面直徑分別為2和4，高為4的圓臺，一個底面直徑為4，高為4的圓柱和一個直徑為4的半球組成，其直觀圖如圖所示，所以該幾何體的表面積為×(12)××4×43168(253)，故選B.答案(1)A(2)B方法技巧求空間幾何體表面積的常見類型及思路求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積空間幾何體的體積柱體、錐體、臺體體積間的關(guān)系例2(1)(2017·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A60B30 C20D10(2)(2018·洛陽市第一次統(tǒng)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.B8 C.D9解析(1)如圖，把三棱錐A­BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5,3,4，BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A­BCD的高為4，故該三棱錐的體積V××5×3×410.(2)依題意，題中的幾何體是由兩個完全相同的圓柱各自用一個不平行于其軸的平面去截后所得的部分拼接而成的組合體(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一個截后所得的部分的底面半徑為1，最短母線長為3、最長母線長為5，將這兩個截后所得的部分拼接，恰好可以形成一個底面半徑為1，母線長為538的圓柱，因此題中的幾何體的體積為×12×88，選B.答案(1)D(2)B方法技巧求空間幾何體體積的常見類型及思路規(guī)則幾何體若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法不規(guī)則幾何體若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解三視圖形式若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解1.(2018·石家莊市教學(xué)質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示(在網(wǎng)格線中，每個小正方形的邊長為1)，則該幾何體的體積為()A2B3 C4D6解析：選A由三視圖知，該幾何體為四棱錐如圖所示，其底面面積S×(12)×23，高為2，所以該幾何體的體積V×3×22，故選A.2.(2018·長沙市統(tǒng)一模擬考試)如圖是某幾何體的三視圖，其正視圖、側(cè)視圖均是直徑為2的半圓，俯視圖是直徑為2的圓，則該幾何體的表面積為()A3B4 C5D12解析：選A由三視圖可知，該幾何體是半徑為1的半球，其表面積為23.選A.3.(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3解析：選A由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長為的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V××12×3××××31.4.(2018·南昌市模擬)如圖，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為_解析：根據(jù)題意可知，此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1，高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和，即表面積為·1·2·12·12(3).答案：(3)5考點二中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)：若取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x的值為_解析：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成，由題意得(5.4x)×3×1×2x12.6，解得x1.6.答案：1.6突破點(三)與球有關(guān)的切、接應(yīng)用問題 與球有關(guān)的組合體問題常涉及內(nèi)切和外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體時，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體時，正方體的各個頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球與其他旋轉(zhuǎn)體組合時，通常作它們的軸截面解題；球與多面體組合時，通常過多面體的一條側(cè)棱和球心及“切點”或“接點”作截面圖進行解題.多面體的內(nèi)切球問題例1(1)(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_(2)若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則_.解析(1)設(shè)球O的半徑為R，因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以.(2)設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14×·a2a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即r×aa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.答案(1)(2)方法技巧處理與球有關(guān)內(nèi)切問題的策略解答此類問題時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作多面體的外接球問題把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑例2(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A.B16 C9D.(2)(2017·天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_(3)(2018·河北衡水調(diào)研)一個直六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長為3，則它的外接球的表面積為_解析(1)如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O且球心為O，正四棱錐P­ABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，該球的表面積為4R24×2.(2)由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R3，R，所以這個球的體積為R3×.(3)由直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，知該直六棱柱的外接球的直徑為5，其外接球的表面積為4×225.答案(1)A(2)(3)25 方法技巧與球有關(guān)外接問題的解題規(guī)律(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距離恰為棱柱高的.(2)正方體外接球的直徑為正方體的體對角線的長此結(jié)論也適合長方體，或由同一頂點出發(fā)的兩兩互相垂直的三條棱構(gòu)成的三棱柱或三棱錐(3)求多面體外接球半徑的關(guān)鍵是找到由球的半徑構(gòu)成的三角形，解三角形即可1.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為()A200B150 C100D50解析：選D由三視圖知，該幾何體可以由一個長方體截去4個角后得到，此長方體的長、寬、高分別為5,4,3，所以外接球半徑R滿足2R5，所以外接球的表面積為S4R24×250，故選D.2考點一一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A1B2 C3D4解析：選B該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為r2，故選B.3.(2018·東北三省模擬)三棱柱ABC ­A1B1C1的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱AA1底面ABC，若球O與三棱柱ABC ­A1B1C1各側(cè)面、底面均相切，則側(cè)棱AA1的長為()A.B. C1D.解析：選C因為球O與直三棱柱的側(cè)面、底面均相切，所以側(cè)棱AA1的長等于球的直徑設(shè)球的半徑為R，則球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如圖所示因為AC，所以ADAC.因為tan ，所以球的半徑RMDADtan××1，所以AA12R2×1.4.三棱錐P ­ABC中，PA平面ABC，ACBC，ACBC1，PA，則該三棱錐外接球的表面積為()A5B. C20D4解析：選A把三棱錐P ­ABC看作由一個長、寬、高分別為1、1、的長方體截得的一部分(如圖)易知該三棱錐的外接球就是對應(yīng)長方體的外接球又長方體的體對角線長為，故外接球半徑為，表面積為4×25.5.(2018·洛陽統(tǒng)考)已知三棱錐P­ABC的四個頂點均在某球面上，PC為該球的直徑，ABC是邊長為4的等邊三角形，三棱錐P­ABC的體積為，則此三棱錐的外接球的表面積為()A.B. C.D.解析：選D依題意，記三棱錐P­ABC的外接球的球心為O，半徑為R，點P到平面ABC的距離為h，則由VP­ABCSABCh××h得h.又PC為球O的直徑，因此球心O到平面ABC的距離等于h.又正ABC的外接圓半徑為r，因此R2r22，所以三棱錐P­ABC的外接球的表面積為4R2，故選D.全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1.(2017·全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A10B12C14D16解析：選B由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為×212，故選B.2(2017·全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()AB. C.D.解析：選B設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2122，所以圓柱的體積V×1.3(2016·全國卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4B. C6D.解析：選B設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，R2.又2R3，R，Vmax××3.故選B.4(2016·全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A20B24 C28D32解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.5(2015·全國卷)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.B. C.D.解析：選D由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1××1×1×1，剩余部分的體積V213.所以，故選D.6(2017·全國卷)長方體的長，寬，高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_解析：由題意知，長方體的體對角線長為，記長方體的外接球的半徑為R，則有2R，R，因此球O的表面積為S4R214.答案：14 課時達標(biāo)檢測 小題對點練點點落實對點練(一)空間幾何體的三視圖和直觀圖1給出下列四個命題：各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱其中正確的命題個數(shù)是()A0B1 C2D3解析：選A直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；顯然錯誤，故選A.2(2018·廣州六校聯(lián)考)已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，給出下列5個圖形：其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數(shù)為()A5B4 C3D2解析：選B由題知可以作為該幾何體的俯視圖的圖形可以為.故選B.3在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O ­xyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)給出編號為的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A和B和C和D和解析：選D由題意得，該幾何體的正視圖是一個直角三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且內(nèi)有一條虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖是；俯視圖即在底面的射影，是一個斜三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是.4.如圖，OAB是OAB的水平放置的直觀圖，其中OAOB2，則OAB的面積是_解析：在RtOAB中，OA2，OB4，OAB的面積S×2×44.答案：45一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個圓臺的母線長為_cm.解析：如圖，過點A作ACOB，交OB于點C.在RtABC中，AC12 cm，BC835(cm)AB13(cm)答案：13對點練(二)空間幾何體的表面積與體積1已知圓錐的表面積為a，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑是()A.B.C.D.解析：選C設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知2rl，l2r，則圓錐的表面積S表r2(2r)2a，r2，2r.2(2017·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63 C42D36解析：選B由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V×32×10××32×663.3(2018·湖北四校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A16B(10)C4(5)D6(5)解析：選C該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為S444(5).4(2017·山東高考)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_解析：該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成，V2×1×12×××12×12.答案：25我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸)解析：由題意知，圓臺中截面圓的半徑為十寸，圓臺內(nèi)水的體積為Vh(rrr中r下)×9×(1026210×6)588(立方寸)，降雨量為3(寸)答案：36(2018·合肥市質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的_解析：由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為 ×2×(24)6的四棱錐，其體積為×6×24.而直三棱柱的體積為×2×2×48，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的.答案：對點練(三)與球有關(guān)的切、接應(yīng)用問題1在三棱錐A ­BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，ABC，ACD，ADB的面積分別為，則該三棱錐外接球的表面積為()A2B6 C4D24解析：選B設(shè)相互垂直的三條側(cè)棱AB，AC，AD分別為a，b，c則ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以三棱錐A ­BCD的外接球的直徑2R，則其外接球的表面積S4R26.2已知正四面體的棱長為，則其外接球的表面積為()A8B12 C.D3解析：選D如圖所示，過頂點A作AO底面BCD，垂足為O，則O為正三角形BCD的中心，連接DO并延長交BC于點E，又正四面體的棱長為，所以DE，ODDE，所以在直角三角形AOD中，AO.設(shè)正四面體外接球的球心為P，半徑為R，連接PD，則在直角三角形POD中，PD2PO2OD2，即R222，解得R，所以外接球的表面積S4R23.3(2018·湖北七市(州)聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為()A36B. C32D28解析：選B根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為4的正方形，高是2.將該四棱錐補形成一個三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球，其中心到三棱柱 6個頂點的距離即為該四棱錐外接球的半徑三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，底面三角形的中心到該三角形三個頂點的距離為×2，外接球的半徑R ，外接球的表面積S4R24×，故選B.4.(2018·陜西西工大附中訓(xùn)練)如圖，在四棱錐P ­ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD底面ABCD，且PDm，PAPCm，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則此球的最大半徑是_解析：由PD底面ABCD，得PDAD.又PDm，PAm，則ADm.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP ­ABCDVO ­ABCDVO ­PADVO ­PABVO ­PBCVO ­PCD，即·m2·m·m2×R×·m2·R×·m2·R×·m2·R··m2·R，解得R(2)m，所以此球的最大半徑是(2)m.答案：(2)m大題綜合練遷移貫通1有一根長為3 cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？解：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC3 cm，AB4 cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC5(cm)故鐵絲的最短長度為5 cm.2.一個幾何體的三視圖如圖所示已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為.所以V1×1×.(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形S2×(1×11×1×2)62.3一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，求這個三棱錐的體積解：正三棱錐S ­ABC如圖所示，設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高連接AH并延長交BC于點E，則E為BC的中點，且AEBC.ABC是邊長為6的正三角形，AE×63，AHAE2.在ABC中，S ABCBC·AE×6×39.在RtSHA中，SA，AH2，SH，V正三棱錐SABC·SH×9×9. 第二節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面的基本性質(zhì)；2.空間兩直線的位置關(guān)系.突破點(一)平面的基本性質(zhì) 1公理13文字語言圖形語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) l公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線有且只有一個平面，使A，B，C公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，且Pl，且Pl公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)2公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面1判斷題(1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線()(3)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于A點，并記作A.()(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()答案：(1)(2)×(3)×(4)×2填空題(1)空間不共線的四點，可以確定平面的個數(shù)是_答案：1或4(2)下列命題中，真命題是_空間不同三點確定一個平面；空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形；和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)解析：是假命題，當(dāng)三點共線時，過三點有無數(shù)個平面；是假命題，當(dāng)三條直線共點時，不能確定一個平面；是假命題，兩組對邊相等的四邊形可能是空間四邊形；是真命題答案：(3)設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條直線，表示兩個平面，給出下列四個命題，其中真命題是_(填序號)Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用典例已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CGBC，CHDC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)三直線FH，EG，AC共點證明(1)連接EF，GH，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，EFBD.又CGBC，CHDC，GHBD，EFGH，E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，設(shè)FHACM，M平面EFHG，M平面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG，F(xiàn)H，EG，AC共點方法技巧1證明點共線問題的常用方法公理法先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上同一法選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上2.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點3證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)輔助平面法先證明有關(guān)的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合1在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么正方體的過P，Q，R的截面圖形是()A三角形B四邊形C五邊形D六邊形解析：選D畫出正方體，結(jié)合共面的公理與推論求得選D.2如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()解析：選DA、B、C圖中四點一定共面，D中四點不共面3若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5解析：選Bn2時，可以；n3時，為正三角形，可以；n4時，為正四面體，可以；n5時，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長相等，這種情況不可能出現(xiàn)，所以正整數(shù)n的取值至多等于4.4以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是()不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面A0B1 C2D3解析：選B顯然是正確的，可用反證法證明；中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；構(gòu)造長方體或正方體，如圖顯然b，c異面，故不正確；中空間四邊形中四條線段不共面故只有正確5.如圖所示，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面證明：如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EFA1B且EFA1B，又因為A1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF與CD1確定一個平面，所以E，F(xiàn)，C，D1，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面突破點(二)空間兩直線的位置關(guān)系 1空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補2異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)范圍：.1判斷題(1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b不可能是平行直線()(2)沒有公共點的兩條直線是異面直線()(3)經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線(不在平面內(nèi))與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線()(4)若兩條直線共面，則這兩條直線一定相交()答案：(1)(2)×(3)(4)×2填空題(1)若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的_條件解析：若兩直線為異面直線，則兩直線無公共點，反之不一定成立答案：充分不必要(2)(2018·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是_解析：依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面答案：相交、平行或異面(3)空間兩個角、，且與的兩邊對應(yīng)平行，且60°，則為_解析：與兩邊對應(yīng)平行，但方向不一定與相等或互補答案：60°或120°(4)如圖所示，已知在長方體ABCD ­EFGH中，AB2，AD2，AE2，則BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_解析：BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45°.AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60°.答案：45°60°空間兩直線位置關(guān)系的判定例1(1)下列結(jié)論正確的是()在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；空間四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.AB CD(2)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)解析(1)錯，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；由公理4可知正確；錯，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；由平行直線的傳遞性可知正確故選B.(2)圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以在圖中，GH與MN異面答案(1)B(2)方法技巧判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷(2)異面直線的判定方法反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線異面直線所成的角1.平移直線(線段)法(定義法)求異面直線所成的角常用的平移方法有：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補形平移2向量法(基底法、坐標(biāo)法)求異面直線所成的角根據(jù)題意，確定兩異面直線各自的方向向量a，b，則兩異面直線所成角滿足cos .例2(1)(2018·福州五校聯(lián)考)已知P是ABC所在平面外的一點，M、N分別是AB、PC的中點，若MNBC4，PA4，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A30°B45°C60°D90°(2)空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小解析(1)取AC的中點O，連接OM、ON，則OM綊BC，ON綊PA，ONM就是異面直線PA與MN所成的角由MNBC4，PA4，得OM2，ON2，cosONM，ONM30°，即異面直線PA與MN所成角的大小為30°.故選A.(2)取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG綊AB，F(xiàn)G綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角AB與CD所成的角為30°，EGF30°或150°.由EGFG知EFG為等腰三角形，當(dāng)EGF30°時，GEF75°；當(dāng)EGF150°時，GEF15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.答案(1)A方法技巧用平移法求異面直線所成的角的步驟一作即根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角二證即證明作出的角是異面直線所成的角三求解三角形，求出作出的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角1.l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件解析：選A若l1，l2異面，則l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，則l1，l2是平行直線或異面直線，故pq，qp，故p是q的充分不必要條件2.正四棱臺中，AD所在的直線與BB所在的直線是()A相交直線B平行直線C不互相垂直的異面直線D互相垂直的異面直線解析：選C結(jié)合圖形和棱臺性質(zhì)易排除A，B，D.故選C.3.(2018·湖北七市(州)聯(lián)考)設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個平面與平面垂直C與直線m垂直的直線不可能與平面平行D與直線m平行的平面不可能與平面垂直解析：選B對于A，在平面內(nèi)可能有無數(shù)條直線與直線m垂直，這些直線是互相平行的，A錯誤；對于B，只要m，過直線m必有并且也只有一個平面與平面垂直，B正確；對于C，類似于A，在平面外可能有無數(shù)條直線垂直于直線m并且平行于平面，C錯誤；對于D，與直線m平行且與平面垂