2022高考數學二輪復習 專題二 函數與導數 第一講 函數圖象與性質學案 理1函數的三要素定義域、值域和對應關系是確定函數的三要素，是一個整體，研究函數問題務必遵循“定義域優(yōu)先”的原則2分段函數若函數在其定義域內，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數分段函數雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數對點訓練1(2018·廣東深圳一模)函數y的定義域為()A(2,1) B2,1C(0,1) D(0,1解析由題意得解得0<x<1，故選C答案C2(2018·山西名校聯考)設函數f(x)lg(1x)，則函數ff(x)的定義域為()A(9，) B(9,1)C9，) D9,1)解析ff(x)flg(1x)lg1lg(1x)，則9<x<1.故選B答案B3設函數f(x)若f(a)<1，則實數a的取值范圍是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)解析若a<0，則f(a)<1a7<1a<8，解得a>3，故3<a<0；若a0，則f(a)<1<1，解得a<1，故0a<1.綜合可得3<a<1.故選C答案C4(2018·贛中南五校聯考)函數f(x)x的值域為_解析由題意得2x10，解得x，又f(x)x在上為增函數，當x時，f(x)取最小值，f(x)minf，且f(x)無最大值f(x)的值域為.答案快速審題(1)看到求定義域，想到解析式中自變量的限制條件(2)看到分段函數，想到在不同的定義區(qū)間上的對應關系不同(1)函數定義域問題的3種類型已知函數的解析式：定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構建不等式(組)求解即可抽象函數：根據fg(x)中g(x)的范圍與f(x)中x的范圍相同求解實際問題或幾何問題：除要考慮解析式有意義外，還應使實際問題有意義(2)函數值域問題的4種常用方法公式法、分離常數法、圖象法、換元法考點二函數的圖象及其應用1作圖常用描點法和圖象變換法，圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換2識圖從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關系3用圖在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系，結合圖象研究但是，在利用圖象求交點個數或解的個數時，作圖要十分準確，否則容易出錯角度1：以具體函數的解析式選擇圖象或知圖象選解析式【例1】(2018·全國卷)函數f(x)的圖象大致為()解析因為f(x)的定義域關于原點對稱且f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數，排除A選項；由f(2)>1，排除C、D選項故選B答案B角度2：利用函數的圖象研究函數的性質(特別是單調性、最值、零點)、方程解的問題及解不等式、比較大小等【例2】設函數f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則實數a的取值范圍是()A BC D解析設g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由題知存在唯一的整數x0，使得g(x0)<h(x0)，因為g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，作出g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示，故即所以a<1.答案D函數圖象識別與應用的解題要領(1)已知函數的解析式，判斷其圖象的關鍵是由函數解析式明確函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等，以及函數圖象上的特殊點，根據這些性質對函數圖象進行具體分析判斷(2)運用函數圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數圖象本身的含義及其表示的內容，熟悉圖象所能夠表達的函數的性質圖象形象地顯示了函數的性質，因此，函數性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數形結合研究對點訓練1角度1(2018·貴州七校聯考)已知函數f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)1Df(x)x解析由函數圖象可知，函數f(x)為奇函數，應排除B、C若函數為f(x)x，則x時，f(x)，排除D，故選A答案A2角度2(2018·福建漳州八校聯考)已知函數f(x)若函數g(x)f(x)m有三個零點，則實數m的取值范圍是_解析令g(x)f(x)m0，得f(x)m，則函數g(x)f(x)m有三個零點等價于函數f(x)與ym的圖象有三個不同的交點，作出函數f(x)的圖象如圖：當x0時，f(x)x2x2，若函數f(x)與ym的圖象有三個不同的交點，則<m0，即實數m的取值范圍是.答案考點三函數的性質及其應用1函數的單調性單調性是函數的一個局部性質，一個函數在不同的區(qū)間上可以有不同的單調性判定函數的單調性常用定義法、圖象法及導數法2函數的奇偶性(1)奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱(2)確定函數的奇偶性，務必先判斷函數的定義域是否關于原點對稱(3)對于偶函數而言，有f(x)f(x)f(|x|)3函數的周期性對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a；(2)若f(xa)，則T2a；(3)若f(xa)，則T2A(a>0)4函數的對稱性(1)若函數yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖象關于直線xa對稱(2)若函數yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱(3)若函數yf(x)滿足f(ax)f(bx)，則函數f(x)的圖象關于直線x對稱角度1：確認函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值【例1】(2017·北京卷)已知函數f(x)3xx，則f(x)()A是奇函數，且在R上是增函數B是偶函數，且在R上是增函數C是奇函數，且在R上是減函數D是偶函數，且在R上是減函數解析易知函數f(x)的定義域關于原點對稱f(x)3xxx3xf(x)，f(x)為奇函數又y3x在R上是增函數，yx在R上是增函數，f(x)3xx在R上是增函數故選A答案A快速審題看到奇偶性的判斷，想到用x代x；看到單調性的判斷，想到函數的構成角度2：綜合應用函數的性質求值(取值范圍)、比較大小等，常與不等式相結合 解析f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(，0上單調遞增，f(x)在區(qū)間0，)上單調遞減根據函數的對稱性，可得f()f()，答案B函數3個性質的應用要領(1)奇偶性：具有奇偶性的函數在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數值、解析式和單調性聯系密切，研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上，這是簡化問題的一種途徑尤其注意偶函數f(x)的性質：f(|x|)f(x)(2)單調性：可以比較大小，求函數最值，解不等式，證明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以轉化函數的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解對點訓練1角度1(2018·湖北荊州一模)下列函數是奇函數且在定義域內是增函數的是()Ayex BytanxCyx3x Dyln解析函數yex不是奇函數，不滿足題意；函數ytanx是奇函數，但在整個定義域內不是增函數，不滿足題意；函數yx3x是奇函數，當x時，y3x21<0，為減函數，不滿足題意；函數yln是奇函數，在定義域(2,2)內，函數t1為增函數，函數ylnt也為增函數，故函數yln在定義域內為增函數，滿足題意，故選D答案D2角度2已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數，則()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df(25)<f(80)<f(11)解析因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數，所以f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<f(80)<f(11)答案D1(2018·全國卷)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50 解析f(x)是定義域為(，)的奇函數，f(0)0，f(x)f(x)，又f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，由得f(2x)f(x)，用2x代替x得f(4x)f(2x)由得f(x)f(x4)，f(x)的最小正周期為4.由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0，令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12×0f(1)f(2)0202.故選C答案C2(2018·全國卷)函數yx4x22的圖象大致為()解析f(x)x4x22，f(x)4x32x，令f(x)>0，解得x<或0<x<，此時，f(x)遞增；令f(x)<0，解得<x<0或x>，此時，f(x)遞減由此可得f(x)的大致圖象故選D答案D3(2017·天津卷)已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，則a，b，c的大小關系為()Aa<b<c Bc<b<aCb<a<c Db<c<a解析奇函數f(x)在R上是增函數，當x>0時，f(x)>f(0)0，當x1>x2>0時，f(x1)>f(x2)>0，x1f(x1)>x2f(x2)，g(x)在(0，)上單調遞增，且g(x)xf(x)是偶函數，ag(log25.1)g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2，由g(x)在(0，)上單調遞增，得g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，b<a<c，故選C答案C4(2017·全國卷)設函數f(x)則滿足f(x)f>1的x的取值范圍是_解析當x>時，f(x)f2x2x>2x>>1；當0<x時，f(x)f2x12xx>2x>1；當x0時，f(x)fx112x，f(x)f>12x>1x>，即<x0.綜上，x.答案5(2018·江蘇卷)函數f(x)滿足f(x4)f(x)(xR)，且在區(qū)間(2,2上，f(x)則ff(15)的值為_解析f(x4)f(x)，函數f(x)的周期為4，f(15)f(1)，fcos，ff(15)f.答案1.高考對此部分內容的命題多集中于函數的概念、函數的性質及分段函數等方面，多以選擇、填空題形式考查，一般出現在第510或第1315題的位置上，難度一般主要考查函數的定義域，分段函數求值或分段函數中參數的求解及函數圖象的判斷2此部分內容有時出現在選擇、填空題壓軸題的位置，多與導數、不等式、創(chuàng)新性問題結合命題，難度較大熱點課題4動點變化中函數圖象辨析 感悟體驗1(2018·長沙模擬)如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數f(x)，則yf(x)在0，的圖象大致為()解析由題意知，f(x)|cosx|·sinx，當x時，f(x)cosx·sinxsin2x；當x時，f(x)cosx·sinxsin2x，故選B答案B2(2018·南昌二模)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F分別是棱A1B1，CD的中點，點M是EF上的動點(不與E，F重合)，FMx，過點M、直線AB的平面將正方體分成上下兩部分，記下面那部分的體積為V(x)，則函數V(x)的大致圖象是()解析當x時，V(x)增長的速度越來越快，即變化率越來越大；當x時，V(x)增長的速度越來越慢，即變化率越來越小，故選C答案C專題跟蹤訓練(十)一、選擇題1(2018·河南濮陽檢測)函數f(x)log2(12x)的定義域為()A BC(1,0) D(，1)解析要使函數有意義，需滿足解得x<且x1，故函數的定義域為(，1).答案D2(2018·山東濰坊質檢)下列函數中，既是偶函數，又在(0,1)上單調遞增的是()Ay|log3x| Byx3Cye|x| Dycos|x|解析A中函數是非奇非偶函數，B中函數是奇函數，D中函數在(0,1)上單調遞減，均不符合要求，只有C正確答案C3(2018·湖北襄陽三模)已知函數f(x)則f(2)()A B C3 D3解析由題意，知f(2)f(1)1f(0)2cos023，故選D答案D4(2018·太原階段測評)函數yx1的圖象關于直線yx對稱的圖象大致是()解析因為yx1的圖象過點(0,2)，且在R上單調遞減，所以該函數關于直線yx對稱的圖象恒過點(2,0)，且在定義域內單調遞減，故選A答案A5(2018·石家莊高三檢測)若函數yf(2x1)是偶函數，則函數yf(x)的圖象的對稱軸方程是()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析f(2x1)是偶函數，f(2x1)f(2x1)f(x)f(2x)，f(x)圖象的對稱軸為直線x1，故選A答案A6(2018·山東濟寧二模)已知函數yf(x)是R上的偶函數，對任意x1，x2(0，)，都有(x1x2)·f(x1)f(x2)<0.設aln，b(ln)2，cln，則()Af(a)>f(b)>f(c) Bf(b)>f(a)>f(c)Cf(c)>f(a)>f(b) Df(c)>f(b)>f(a)解析由題意易知f(x)在(0，)上是減函數，又|a|ln>1，b(ln)2>|a|,0<c<|a|，f(c)>f(|a|)>f(b)又由題意知f(a)f(|a|)，f(c)>f(a)>f(b)故選C答案C7(2018·山西四校二次聯考)“a0”是“函數f(x)|(ax1)x|在(0，)內單調遞增”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析當a0時，f(x)|x|在(0，)上單調遞增；當a<0時，由f(x)|(ax1)x|0得x0或x<0，結合圖象知f(x)在(0，)上單調遞增，所以充分性成立，反之必要性也成立綜上所述，“a0”是“f(x)|(ax1)x|在(0，)上單調遞增”的充要條件，故選C答案C8(2018·安徽淮北一模)函數f(x)ln|x|的圖象大致為()解析當x<0時，函數f(x)ln(x)，易知函數f(x)ln(x)在(，0)上遞減，排除C，D；當x>0時，函數f(x)lnx，f(2)ln22，故排除A，選B答案B9(2018·山東濟寧一模)已知函數f(x)是(，)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x1對稱，當x0,1時，f(x)2x1.則f(2017)f(2018)的值為()A2 B1 C0 D1解析函數f(x)是(，)上的奇函數，f(x)f(x)，由f(x)的圖象關于x1對稱，得f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)的周期T4.當x0,1時，f(x)2x1.f(2017)f(2018)f(1)f(2)f(1)f(0)21111.故選D答案D10如圖，已知l1l2，圓心在l1上、半徑為1 m的圓O在t0時與l2相切于點A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令ycosx，則y與時間t(0t1，單位：s)的函數yf(t)的圖象大致為()解析如圖，設MON，由弧長公式知x.在RtAOM中，|AO|1t，cos1t，ycosx2cos212(1t)21.又0t1，故選B答案B11(2018·安徽池州模擬)已知函數的定義域為R，且滿足下列三個條件：對任意的x1，x24,8，當x1<x2時，都有>0；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函數；若af(6)，bf(11)，cf(2017)，則a，b，c的大小關系正確的是()Aa<b<c Bb<a<cCa<c<b Dc<b<a解析yf(x4)是偶函數，函數f(x)的圖象關于直線x4對稱f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，即函數f(x)是周期為8的周期函數bf(11)f(3)f(5)，cf(2017)f(1)f(7)對任意的x1，x24,8，當x1<x2時，都有>0，函數f(x)在4,8上單調遞增，b<a<c，故選B答案B12已知函數f(x)(xR)滿足f(x)2f(x)，若函數y與yf(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則(xiyi)()A0 Bm C2m D4m解析因為f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)2.因為0，1，所以函數yf(x)的圖象關于點(0,1)對稱函數y1，故其圖象也關于點(0,1)對稱所以函數y與yf(x)圖象的交點(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成對出現，且每一對均關于點(0,1)對稱，所以i0，i2×m，所以(xiyi)m.答案B二、填空題13(2018·石家莊質檢)函數的定義域為_解析由題意得解得<x，即函數的定義域為.答案14(2018·安徽蚌埠二模)函數f(x)是奇函數，則實數a_.解析解法一：函數的定義域為x|x0，f(x)xa2.因函數f(x)是奇函數，則f(x)f(x)，即xa2x(a2)，則a2(a2)，即a20，則a2.解法二：由題意知f(1)f(1)，即3(a1)a1，得a2，將a2代入f(x)的解析式，得f(x)，經檢驗，對任意x(，0)(0，)，都滿足f(x)f(x)，故a2.答案215(2018·河北石家莊一模)已知奇函數f(x)在x>0時單調遞增，且f(1)0，若f(x1)>0，則x的取值范圍為_解析奇函數f(x)在(0，)上單調遞增，且f(1)0，函數f(x)在(，0)上單調遞增，且f(1)0，則1<x<0或x>1時，f(x)>0；x<1或0<x<1時，f(x)<0.不等式f(x1)>0即1<x1<0或x1>1，解得0<x<1或x>2.答案(0,1)(2，)16(2018·河南許昌二模)已知函數f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm等于_解析f(x)2，設g(x)，則g(x)g(x)(xR)，g(x)為奇函數，g(x)maxg(x)min0.Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，Mm2g(x)max2g(x)min4.答案4