（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（十二）“數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法”專題提能課1已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，S1010，S30130，則S40()A510B400C400或510 D30或40解析：選B等比數(shù)列an中，S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比數(shù)列，且由題意知，S20>0，所以S10(S30S20)(S20S10)2，即10(130S20)(S2010)2，解得S2040，又(S20S10)(S40S30)(S30S20)2，即30(S40130)902，解得S40400.2在數(shù)列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值為()A2 500 B2 600C2 700 D2 800解析：選B當(dāng)n為奇數(shù)時，an2an0an1，當(dāng)n為偶數(shù)時，an2an2ann，故an于是S100502 600.3在數(shù)列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)an0時，也有an2an1，n2,3，4，但an不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當(dāng)an是公比為2的等比數(shù)列時，有2，n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立4已知數(shù)列an的前n項和為Snn21，數(shù)列bn滿足bn，則bn_.解析：當(dāng)n1時，a1S12，因為Snn21，Sn1(n1)21(n2)，兩式相減得anSnSn12n1(n2)，所以當(dāng)n2時，an2n1，又a12不符合上式，所以an因為bn，所以bn答案：5已知一個等比數(shù)列an的前4項之積為，第2,3項的和為，則數(shù)列an的公比q_.解析：設(shè)數(shù)列an的前4項分別為a，aq，aq2，aq3，則可得所以(1q)464q2，即(1q)2±8q，當(dāng)q>0時，可得q26q10，解得q3±2，當(dāng)q<0時，可得q210q10，解得q5±2.綜上，q3±2或q5±2.答案：3±2或5±2B組方法技巧練1已知正項數(shù)列an中，a11，且(n2)a(n1)aanan10，則它的通項公式為()Aan BanCan Dann解析：選B因為(n2)a(n1)aanan10，所以(n2)an1(n1)an(an1an)0.又an為正項數(shù)列，所以(n2)an1(n1)an0，即，則an····a1····1.故選B.2(2019屆高三·豫南十校聯(lián)考)設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對任意的x，yR，都有f(x)·f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項和Sn的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C在f(x)·f(y)f(xy)中，令xn，y1，得f(n1)f(n)f(1)，又a1，anf(n)(nN*)，則an1an，所以數(shù)列an是首項和公比都是的等比數(shù)列，其前n項和Sn1，故選C.3已知數(shù)列an中，a11，an1(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_解析：因為an1(nN*)，所以1，設(shè)t3，所以3tt1，解得t，所以3，又1，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以×3n1，所以，所以an.答案：an4(2018·惠州調(diào)研)已知數(shù)列an中，點(an，an1)在直線yx2上，且首項a11.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn中，b1a1，b2a2，數(shù)列bn的前n項和為Tn，請寫出適合條件TnSn的所有n的值解：(1)根據(jù)已知a11，an1an2，即an1an2d，所以數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，ana1(n1)d2n1.(2)數(shù)列an的前n項和Snn2.等比數(shù)列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.數(shù)列bn的前n項和Tn.TnSn即n2，又nN*，所以n1或2. C組創(chuàng)新應(yīng)用練1(2018·襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：(1)構(gòu)造數(shù)列1，；(2)將數(shù)列的各項乘以，得到一個新數(shù)列a1，a2，a3，a4，an.則a1a2a2a3a3a4an1an()A. B.C. D.解析：選C依題意可得新數(shù)列為，×，所以a1a2a2a3an1an×.故選C.2已知數(shù)列an的通項公式為anlog(n1)(n2)(nN*)，我們把使乘積a1·a2·a3··an為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在(0,2 018內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為()A1 024 B2 012C2 026 D2 036解析：選Ca1·a2·a3··anlog23·log34·log45··log(n1)(n2)log2(n2)k，kZ，令0<n2k22 018，則2<2k2 020,1<k10，所有“優(yōu)數(shù)”之和為(222)(232)(2102)18211222 026.故選C.3(2019屆高三·寧波十校聯(lián)考)中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第五天走了()A48里 B24里 C12里 D6里解析：選C由題意知該人每天走的路程數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，記為an，設(shè)其前n項和為Sn，由S6378，得378，解得a1192，所以a5192×12(里)，故選C.4(2019屆高三·杭二月考)如圖，矩形AnBnCnDn的一邊AnBn在x軸上，另外兩個頂點Cn，Dn在函數(shù)f(x)x(x>0)的圖象上，若點Bn的坐標(biāo)為(n,0)(n2，nN*)，記矩形AnBnCnDn的周長為an，則a2a3a10()A208 B212C216 D220解析：選C由題意得|AnDn|BnCn|n，設(shè)點Dn的坐標(biāo)為，則有xn，得x(xn舍去)，即An，則|AnBn|n，所以矩形的周長為an2(|AnBn|BnCn|)224n，則a2a3a104(23410)216.5(2018·上海松江區(qū)聯(lián)考)在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間添加一項，使其等于兩相鄰項的和，我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴(kuò)展”已知數(shù)列1,2第一次“H擴(kuò)展”后得到數(shù)列1,3,2，第二次“H擴(kuò)展”后得到數(shù)列1,4,3,5,2，那么第10次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的所有項的和為()A88 572 B88 575C29 523 D29 526解析：選B記第n次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列所有項的和為Hn，則H11236，H21324515，H315578742，從中發(fā)現(xiàn)H3H22733，H2H1932，歸納得HnHn13n(n2)，利用累加法求和得Hn，n2，所以H1088 575，故選B.6(2018·河北衡水中學(xué)檢測)對于數(shù)列an，定義Hn為an的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列an的“優(yōu)值”Hn2n1，記數(shù)列ankn的前n項和為Sn，若SnS5對任意的nN*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為_解析：由題意知Hn2n1，所以a12a22n1ann×2n1，當(dāng)n2時，a12a22n2an1(n1)×2n，得：2n1ann×2n1(n1)×2n，解得an2n2，n2，當(dāng)n1時，a14也滿足上式，所以數(shù)列an的通項公式為an2n2，且數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為2.令bnankn(2k)n2，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列，由SnS5對任意的nN*恒成立，知2k<0，且b5125k0，b6146k0，解得k.答案：7設(shè)函數(shù)f(x)sin x的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為xn(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)令bn，設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，求證：Sn<.解：(1)f(x)sin x，令f(x)cos x0，得x2k±(kZ)，由f(x)>02k<x<2k(kZ)，由f(x)<02k<x<2k(kZ)，當(dāng)x2k(kZ)時，f(x)取得極小值，xn2n(nN*)(2)證明：bnn，·3，Sn33，Sn<.8設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“幸福數(shù)列”(1)等差數(shù)列bn的首項為1，公差不為零，若bn為“幸福數(shù)列”，求bn的通項公式；(2)數(shù)列cn的各項都是正數(shù)，其前n項和為Tn，若ccccT對任意的nN*都成立，試推斷數(shù)列cn是否為“幸福數(shù)列”？并說明理由解：(1)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，其前n項和為Bn，k，因為b11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因為對任意正整數(shù)n上式恒成立，則解得故數(shù)列bn的通項公式是bn2n1.(2)由題意知，當(dāng)n1時，cTc.因為c1>0，所以c11.當(dāng)n2時，ccccT，ccccT.兩式相減，得cTT(TnTn1)(TnTn1)cn·(TnTn1)因為cn>0，所以cTnTn12Tncn.顯然c11適合上式，所以當(dāng)n2時，c2Tn1cn1.于是cc2(TnTn1)cncn12cncncn1cncn1.因為cncn1>0，所以cncn11，所以數(shù)列cn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以cnn，Tn.所以不為常數(shù)，故數(shù)列cn不是“幸福數(shù)列”