（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例9 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題學(xué)案 文典例9(12分)(2017·全國)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時，證明f(x)2.審題路線圖(1).(2).規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax2a1(x>0).2分若a0，則當(dāng)x(0，)時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.4分若a<0，則當(dāng)x時，f(x)>0；當(dāng)x時，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6分(2)證明由(1)知，當(dāng)a<0時，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1，8分所以f(x)2等價于ln12，即ln10.9分設(shè)g(x)ln xx1，則g(x)1(x>0).當(dāng)x(0,1)時，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時，g(x)<0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.11分所以當(dāng)x>0時，g(x)0.從而當(dāng)a<0時，ln10，即f(x)2.12分第一步求導(dǎo)數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f(x).第二步定區(qū)間：根據(jù)f(x)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性.第三步尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.第四步寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立問題.第五步再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等.評分細則第(1)問得分點說明：正確求出f(x)得2分；求出a0時，函數(shù)的單調(diào)性得2分；求出a<0時，函數(shù)的單調(diào)性得2分第(2)問得分點說明：正確求出f(x)的最大值得2分；轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式得1分；構(gòu)造函數(shù)并正確求出函數(shù)的最大值得2分；正確寫出結(jié)論得1分跟蹤演練9(2018·全國)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明：<a2.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a>2，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x時，f(x)<0；當(dāng)x時，f(x)>0.所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)0<x1<x2，則x2>1.由于1a2a2a，所以<a2等價于x22ln x2<0.設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時，g(x)<0.所以x22ln x2<0，即<a2.